воздействий. Это свойство жидкостей характеризуется ко­ эффициентом теплового расширения

где Г —температура.

Коэффициенты сжимаемости и теплового расширения обычно принимают постоянными, так как для давлений и температур, представляющих интерес для практики бурения, их изменение незначительно. В этом случае изменение объе­ ма можно определять по формулам

V = V0(1-P „Др);

У = У0(1 + ргДЛ.

где V0 — начальный объем.

В гидромеханике жидкость представляется сплошной сре­ дой с непрерывным распределением в ней основных физиче­ ских свойств, т.е. все механические характеристики являются функциями координат точки и времени. В этом заключается гипотеза о непрерывности и сплошности жидкой среды.

Одна из основных физических величин, характеризующих жидкость, — плотность

ДМ

р = lim — ,

где AM — масса жидкости в объеме AV.

По плотности жидкости можно определять удельный вес у, характеризующий объемные силы тяжести, согласно формуле

7 = рд,

где д —ускорение силы тяжести.

Принимая во внимание сжимаемость и тепловое расшире­ ние, имеем р = /(р, Г), а с учетом коэффициента сжимаемос­ ти и теплового расширения

Все реальные жидкости обладают свойством сопротивлять­ ся усилиям, касательным к поверхности выделенного объема,

т.е. усилиям сдвига. Это свойство называют вязкосты°* При­ чина ее возникновения — диффузий молекул, сопровоЖАаю" щаяся переносом количества движеИия из одного сдо# в АРУ" гой и тем самым обусловливающая возникновение сил внут­ реннего трения в жидкости. Для тогР чтобы дать определение подобного рода силам, рассмотрим равновесие выделеНН0Г0 в

жидкости элементарного объема.

В общем случае действующие сильг можно разделить на поверхностные и объемные. К поверхностным силам отно­ сятся силы трения, поверхностного натяжения, упругости; к объемным — силы тяжести, инерцИи» электрического и маг" нитного взаимодействия и др. В общем случае поверхностные силы разлагаются на нормальную И касательную составляю­ щие. Первая вызывает деформацию сжатия, и в гидромеха­ нике ее называют давлением и обозначают р, а вторая вызы­ вает деформацию сдвига или напряжения трения, и ее обо­ значают т. Взаимосвязь между касательными напряжениями т и характеристиками движения жидкости обусловливает рео­ логические свойства.

Если рассмотреть две параллельные площадки в движу­ щейся жидкости, которые отстоят друг от друга на расстоя­ нии dh и движутся со скоростями соответственно v и v + + dv, то жидкость, подчиняющаяся закону вязкости Ньюто­ на, имеет следующую формулу для определения касательного напряжения:

где г] —коэффициент внутреннего трения или динамической (абсолютной) вязкости.

На практике используют коэффициент кинематической вязкости

V = Г )/ р .

Наряду с жидкостями, подчиняющимися закону Ньютона (например, вода), в практике бурения приходится иметь дело с жидкостями, которые отклоняются от этого закона. Их называют неньютоновскими или аномальными. Взаимосвязь деформаций и напряжений для подобных жидкостей является предметом изучения реологии — раздела физической меха­ ники. В общем случае в зависимости от реологического пове­ дения жидкости можно разделить на две основные группы.

К первой группе относятся: вязкопластичные жидкости, для которых

Х = Х0 + Т\— ,

dn

где т0 —динамическое напряжение сдвига; т| — коэффициент структурной вязкости;

аномально вязкие жидкости, для которых

где к — коэффициент консистентности; п — показатель сте­ пени; при л < 1 аномально вязкие жидкоста называют псевдопластачными, при п > 1 — дилатантными, т.е. расширяю­ щимися или растягивающимися, а при п = 1 имеем ньюто­ новскую жидкость.

Ко второй группе отаосятся жидкоста, которые обладают свойствами твердого тела и жидкости, т.е. проявляют упругое восстановление формы после снятия напряжения. Эти жид­ кости называют вязкоупругими, и к ним относится модель Максвелла, или модель релаксирующего тела, для которого

-Lx

т) G dt d h '

где G — модуль упругости при сдвиге.

Для этих тел важным параметром является время релакса­ ции t = J]/G, которое характеризует время затухания упру­ гих напряжений в жидкости. Так, в случае dv/dn = 0 для этих тел имеем

где т0 — начальное упругое напряжение сдвига при мгновен­

равным нулю, т.е. напряжение в теле полностью исчезнет. Чем меньше для жидкости время релаксации (G —> «>), тем слабее проявляются твердообразные свойства таких жидкос­ тей, так как в их модели член, содержащий dz/dt, будет стремиться к нулю, и поведение тела станет ньютоновским.

При рассмотрении неньютоновских жидкостей вводится понятие эффективной вязкости цэ, которое для вязкоплас­ тичных жидкостей определяется по формуле

л,=л+ d vто/ d n 1

а для аномально вязких жидкостей

Использование приведенных гидромеханических Нобелей и свойств жидкостей позволяет решить основные задачи ГИА" ромеханики в бурении.

3.2. ГИДРОСТАТИКА И ЭЛЕМЕНТЫ

ДИНАМИКИ ЖИДКОСТЕЙ

Равновесие (покой) жидкостей изучает гидро­ статика, одним из основных положений которой является закон: давление в любой точке покоящейся жидкости остает­ ся постоянным для всех площадок, проходящих через эту точку: р„ = ру = рг = р„, где р,, ру, р„ р„ - гидростатические давления на площадках, перпендикулярных соответствен­ но к осям х, у, z, л.

Будучи независимым от ориентировки площадок, само гидростатическое давление в разных точках жидкости может быть различным, т.е. р = f(x, у, z).

Если рассмотреть равновесие элементарного объема поко­ ящейся жидкости плотностью р в поле тяжести или любой другой силы, имеющей на осях х, у, z проекции X, Y, Z уско­ рений, соответствующих этой силе, то имеем следующую си­ стему уравнений:

X -

р дх

Y -

Р эу

Z - 1 * . о ,

Р 0Z

которая называется уравнениями гидростатики Эйлера.

Если в качестве силы выступает сила тяжести, то имеем для проекций ее ускорений X = 0; Y = 0 и Z = —д, где в

но

последнем выражении знак минус связан с тем, что ось на­ правлена вверх.

Тогда уравнения Эйлера примут вид:

Первые два уравнения указывают на то, что давление не зависит от координат х и у, т.е. одинаково во всех точках любой горизонтальной плоскости, а из третьего получаем:

dp

-Г = -Р 9 = dz

где у — удельный вес.

Для несжимаемой жидкости, т.е. у = const или р = const, после интегрирования имеем р + yz = С, где С — постоян­ ная интегрирования.

Если в какой-либо точке покоящейся жидкости с коорди­ натой известно давление р0, то С = р0 4- yzQ.

Следовательно, в общем случае для произвольной коорди­ наты имеем следующее основное уравнение гидростатики:

Р = Ро+ Y(z 0 - 2) или —+ Z = — = z0,

Y У

т.е. для всех точек покоящейся однородной жидкости сумма пьезометрической p/у и геометрической z высот имеет оди­ наковое значение. Отметим, что согласно этому соотноше­ нию для поверхности уровня (р = р0) имеем z = const, т.е. поверхности уровня жидкости — горизонтальные плоскости.

Основное уравнение гидростатики позволяет сделать ряд весьма важных для практики выводов. Так, если рассматри­ вать сообщающиеся сосуды, на поверхности жидкости кото­ рых действует давление ра, то для однородной вязкой жидко­ сти в обоих сосудах уровень будет располагаться на одной высоте. Если же в сосудах будут находиться вязкие жидкости разной плотности р, и р2, то zx/z2 = Р2/Р1 или zx/z 2 = Y2/Y1» т.е. высоты уровней в сообщающихся сосудах, отсчитанные от поверхности раздела несмешивающихся вязких жидкос­ тей, обратно пропорциональны их плотностям.

Если к свободной поверхности одного из сообщающихся сосудов приложить избыточное давление, т.е. ра1 > ра2, то для вязкой однородной жидкости уровень в другом сосуде уста­ новится в положении z2, для которого

in

или

y(z2- z j = Др.

На этом принципе основаны пьезометрические приборы

для измерения давлений.

Иная картина будет наблюдаться» если в сообщающихся сосудах находится вязкопластичная жидкость. В этом случае необходимый перепад давления для подъема жидкости на вы­

соту z2 определится по формуле

Др = y(z2- Z,) + 4т-°^ 2 ^ , d

где т0 — динамическое напряжение сдвига; d — диаметр со­ общающихся сосудов; z2, z, — высота сосудов от их общего

дна.

Дополнительный член в этой формуле отражает необхо­ димый дополнительный перепад давления для преодоления предельного напряжения сдвига. Так, для скважины, запол­ ненной однородной вязкопластичной жидкостью (буровой раствор), пусковой перепад давления на насосах необходимо определять с учетом дополнительного перепада

где L —глубина скважины; D — диаметр скважины, d^, о соответственно наружный и внутренний диаметры труб.

С помощью основного уравнения гидростатики, позволя ющего рассчитать давление в покоящейся жидкости, можно решить и вторую задачу гидромеханики, т.е. определить дав ление жидкости на ограничивающие ее стенки. Для этого не­ обходимо использовать основное правило: составляющая дав ления жидкости на плоский элемент ограничивающей по­ верхности, параллельная горизонтальной оси, определяется как давление на проекцию этого плоского элемента, перпен­ дикулярную к выбранной оси. При этом полная сила избы­ точного давления жидкости на плоскую стенку равняется произведению площади стенки на избыточное давление в центре тяжести стенки. Точка приложения этой силы назы­ вается центром давления и для плоской наклонной стенки центр давления располагается всегда ниже центра ее тяжести.

Особый интерес для практики имеет случай определения

сил, действующих на поверхность погруженного в жидкость твердого тела. Так, если рассмотреть цилиндрическое твердое тело, вертикально расположенное в жидкости, то на его верхний и нижний торцы будут действовать соответственно силы: р, = у жгхF; р2 = уMz 2F, где уж — плотность жидкости; z,, z2 — высота столба жидкости соответственно над верхним и нижним торцами; F — площадь горизонтального сечения цилиндра.

Результирующая этих сил

А = Р, - р2 = -У(z, - Z2)F = - 7 ЖУЦ1

где Уц = F(Z2 — ZJ) — объем цилиндра.

Отметим, что для такого осесимметричного тела, как ци­ линдр, очевидно равенство сил на боковой поверхности. В более общем случае на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх (о чем свидетельствует знак минус в последней формуле) и равная весу вытесненной им жидкости (закон Архимеда):

А = ужУт,

где VT — объем тела.

Следует обратить внимание на то, что архимедова сила яв­ ляется поверхностной, т.е. действует на смоченную поверх­ ность тела. Равнодействующая этой силы приложена в точке пересечения смоченной поверхности с вертикалью, проходя­ щей через центр тяжести массы вытесненной жидкости в объеме погруженной части тела. Последнее обстоятельство является важным, так как неправильное представление о природе поверхностных сил может служить источником ошибочных выводов при решении задач по определению внутренних напряжений, например при расчете бурильных и обсадных труб.

Эта сила возникает при наличии замкнутой в жидкости смоченной поверхности (в случае частично погруженного или плавающего тела смоченная поверхность замыкается гори­ зонтальной плоскостью сечения тела в плоскости уровня жидкости). Если же тело погрузить на дно сосуда и вытес­ нить жидкость из зоны контакта с дном, то подъемная сила

го инструмента, аналогичных присосу подводных лодок на грунте.

В случае если вес тела уравновешивается архимедовой си­ лой для погруженной его части, то тело плавает. В противном случае оно тонет, а в общем случае тела, погруженные в жидкость, теряют в весе столько, сколько весит выте£ненная ими жидкость.

При движении жидкости или тел в ней для того, чтобы процессы взаимодействия были бы полностью описаНы» не' обходимо, чтобы в каждой точке пространства, занятого жидкостью, были известны давление, плотность и составля­ ющие скорости перемещения частиц жидкости, т.е.

p= /1(x,y,z,0;

р= f2(x,y,z,t);

v* = f3(x,y,z,t); = fA(x,y,z.t)\

= h(x,y,z,t).

При этом, если указанные величины являются функциями времени t, то движение называют неустановившимся, а в противном случае — установившимся. В большинстве прак­ тических задач движение жидкости является не установив­ шимся, то во многих случаях изменение процесса движения во времени протекает весьма медленно, и для практических целей его можно считать установившимся.

В качестве одного из основных в гидромеханике приме­ няют понятие о расходе жидкости. В расчетах используют массовый и объемный расходы, под которыми понимается соответственно массовое dM или объемное dO количество

рость течения жидкости по нормали к поперечному сече­ нию dW.

Поперечное сечение плоскостью, нормальной к скорости, называют живым сечением, и общий расход О через любое сечение можно определить по формуле

0 = Jvcos(vn)dW,

О

где £2 — общая площадь сечения потока; п — направление нормали к элементарной площадке.

В ряде задач с целью упрощения используют понятие ско­ рости потока, и в этом случае О = vcp£2, откуда средняя скорость

. л

vc? = ± j vcos(vn)dW.

В случае установившегося течения несжимаемой жидкости средний расход не меняется во времени, и при отсутствии притока или оттока расход будет одинаковым во всех сече­ ниях по длине потока, т.е. vcpQ = const, а для течения в по­ токе с одинаковым сечением

vcp = const.

Помимо понятий расхода, живого сечения и средней ско­ рости в гидромеханике характеристиками потока служит ряд геометрических величин, таких как смоченный периметр х, гидравлический радиус гг. Смоченным периметром называют периметр живого сечения, по которому последний соприка­ сается с ограничивающими стенками, а гидравлический ради­ ус представляет собой отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру. Так, в случае течения жид­ кости в кольцевом пространстве концентрически располо­ женных труб диаметрами D и d имеем

X = n(D + d);

_ л(P2 + d2) _ D - d

При течении жидкости одним из принципов анализа является рассмотрение потока с позиций баланса механической энергии.

Для любого сечения потока жидкости полная механическая энергия складывается из потенциальной энергии Mgz, кине­ тической энергии 1/2 Mv2 и энергии упругого состояния pV. В этих выражениях М — масса элемента жидкости; д — ус­ корение силы тяжести; v — скорость этого элемента; V =

— М/р — его объем. Относя все составляющие к единице веса, получаем, что удельная энергия

3= z +£ +-^-.

У2д

Кроме указанных составляющих в общем случае затрачи­ вается энергия на преодоление сил сопротивления, обуслов­ ленных внутренним трением, удельную величину которой обозначим Лс.

Таким образом, если воспользоваться законом сохранения энергии двух сечений потока, получим

сопротивления X, который зависит от характера течения жидкости, ее свойств, геометрических характеристик пото­ ка, шероховатости трубопровода и др. Прежде чем дать основные формулы для расчета к, необходимо определить два вида течения вязких жидкостей, основные закономер­ ности возникновения которых были экспериментально уста­ новлены Рейнольдсом. Им было выявлено, что при движе­ нии вязких жидкостей в круглом трубопроводе при опреде­ ленных условиях окрашенные струйки движутся парал­ лельно твердым стенкам, не смешиваясь друг с другом. Та­ кое течение было названо ламинарным или слоистым. В дальнейшем при увеличении скорости течения возникает перемешивание движущихся слоев жидкости, которое все более интенсифицируется с ростом скорости течения. Такое движение называется турбулентным или возмущен­ ным. Основное отличие турбулентного движения от ламинар­

Кроме того, если ламинарное течение может быть устано­ вившимся и неустановившимся, то турбулентное движе­ ние — неустановившимся, даже если оно происходит под действием постоянного во времени перепада давления в тру­ бопроводе.

При течении вязкопластичных жидкостей характер возникновения и развития течения несколько иной. В на­ чальный момент времени жидкость остается неподвижной, пока касательные напряжения на стенках трубы не превы­ сят т0.

После достижения перепада давления, достаточного для преодоления сил пластичности, жидкость начинает двигаться, сохраняя недеформированное ядро радиусом г0, на границе которого касательные напряжения равны т0, а в пристенной зоне наблюдается сдвиговое течение в ламинарном режиме. Такой характер потока вязкопластичной жидкости носит на­ звание структурного течения. По достижении определенного перепада давления ядро потока исчезает, и некоторое время поток движется ламинарно, а затем начинается переход в турбулентное течение.

В общем случае течение несжимаемой вязкой жидкос­ ти описывается системой уравнений, основывающихся на втором законе Ньютона и неразрывности потока и имею­ щих в прямоугольной системе координат х, у и z следующий вид:

При этом объемный расход О определяется по формуле

Таким образом, для плоской щели при ламинарном тече­ нии вязкой несжимаемой жидкости расход при постоянном перепаде давления пропорционален кубу расстояния между плоскостями или потери давления при постоянном расходе обратно пропорциональны кубу расстояния между плоско­ стями.

Аналогичный подход к решению задачи для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической круглой трубе диаметром d = 2R дает следующие результаты:

v = д pR2 ALr\

v= *£*!•

““41л *

V = ^ l = I v

т.е. для цилиндрической круглой трубы расход пропорциона­ лен уже четвертой степени радиуса R (или диаметра), и поте­ ри давления растут с уменьшением радиуса R по закону чет­ вертой степени. Из последних выражений следует соотноше­ ние

называемое формулой Гагена —Пуазейля.

Используя формулы Дарси —Вейсбаха и Гагена—Пуазейля, можно определить величину X для несжимаемой вязкой жид­ кости при ламинарном течении:

1 - i 2T0I + 1 2T0I V

[RAp) 3 [ R A P )

что указывает на невозможность определения X без знания величины Ар. В общем случае X для вязкопластичной жидкос­ ти при структурном режиме течения может определяться по формуле

x0d

Re cpj

где V*/(T|vcp) = Sen — безразмерный комплекс, называемый числом или критерием Сен-Венана —Ильюшина и характери­ зующий эффект пластичности жидкости.

Вид функции ф аналитически определить затруднительно, но с достаточной для практических расчетов точностью X можно вычислить по формуле

i ^ [ ,+i ( i+vFFs55)}

которая дает незначительную погрешность в области малых скоростей сдвига. Обратите внимание, что

где безразмерная величина Re" определяет собой отношение сил инерции к силам пластичности.

На рис. 3.1. приводится номограмма для определения X по значению чисел Рейнольдса и Сен-Венана —Ильюшина.

Для упрощенных расчетов с достаточной для целей буре­ ния точностью X можно определить по формуле

X = J * L (I + _ES£LI

-J L _ /i + _^od_l = — R?— = Re*

p v cpd ^ 6 ^ v Cp J j | Tpd

бЛ^ср

называют обобщенным параметром Рейнольдса, который не является критерием для оценки вида течения, так как для по-

следнего необходимо знать Sen. Но для практических расче тов зависимость \ = 64/Re* используется широко при струк турном режиме течения ввиду ее простоты.

При турбулентном режиме течения для круглой цилиндри ческой трубы коэффициент сопротивления для Re = 2500+7000 можно определить по формуле Блазиуса

А.= 0,3164/^ReT

Для глинистых и цементных растворов может быть использована формула Б.И. Мительмана

для Re* = 2500+40000, или формула Р.И. Шищенко и К.А. Ибатулова

X = 0,075/VRe*,

которая рекомендуется для Re* = 2500+50000. При значениях Re* > 50000 коэффициент сопротивления может быть принят постоянным и равным 0,02.

При ламинарном течении в трубах аномально вязких сис­ тем (псевдопластичных жидкостей) X определяют по формуле, приведенной в работе У. Уилкинсона:

к f 6n + 2\n

8l n у

где Re' — обобщенный критерий Рейнольдса псевдопластич­ ных жидкостей; к, п — показатели соответственно консистенции и степени для псевдопластичных жидкостей.

При турбулентном режиме течения вязкопластичных жид­ костей в трубах X определяют по кривой 1 (рис. 3.2) в зави­ симости от Re.

Значение X при турбулентном течении псевдопластичных жидкостей в трубах вычисляют по аппроксимационной фор­

При течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндри­ ческом коаксиальном канале, представляющем для бурения существенный интерес, имеем следующие основные зависи­ мости:

по Гродде

Для определения коэффициента сопротивления для вязко­ пластичной жидкости используются формулы:

по Я.М. Раси-заде и С.Г. Турбанову

где e — эксцентриситет (e = 0 — концентричное располо­ жение, e = I — полный эксцентриситет).

Коэффициент сопротивлений для псевдопластичных жид­ костей при течении в цилиндрическом коаксиальном канале при d/D > 0,5 и п > 2 с погрешностью менее 3 % определяет­ ся по упрощенной формуле Фредериксона и Бирда:

В общем случае известные эмпирические зависимости для определения X* могут быть представлены в виде

К = С/ Re;,

где С —постоянная.

Постоянная С имеет разные значения у различных авто­ ров, а имеющихся экспериментальных данных недостаточно, чтобы сделать окончательные выводы.

При турбулентном течении вязкопластичных жидкостей в

цилиндрическом коаксиальном канале для 1600 < Re*^ 6500 можно использовать формулу Б.И. Мительмана

или Р.И. Шищенко

а при Re* > 6500 коэффициент сопротивления можно считать равным 0,030—0,032.

В зарубежной практике значение X* при турбулентном ре­ жиме течения буровых растворов в кольцевом зазоре буря­ щейся скважины определяют по кривым 2 и 3 (см. рис. 3.2) для обсаженной и необсаженной частей ствола в зависимости от Re*.

Зависимостей для вычисления Хк при турбулентном тече­ нии псевдопластичных жидкостей в трубах кольцевого сече­ ния нет. В первом приближении можно использовать зависи­ мость для X по формуле Доджа с заменой Re' на R e'.

При течении вязкопластичных жидкостей коэффициент сопротивления при структурном режиме течения зависит от двух безразмерных критериев, и переход к турбулентному течению уже не однозначно определяется критерием Рей­ нольдса.

Условия перехода от структурного к турбулентному режи­ му течения для жидкостей, обладающих вязкопластичными свойствами, рекомендуется определять по эмпирической формуле Е.М. Соловьева:

ReKp = (2100+ 7,ЗНе0-58);

0 < Не < 1.2-107;

где Не - критерий Хедстрема; (v^)^ — критическая ско­ рость течения, м/с; ц — пластическая вязкость, Па/с; р - плотность, г/см3; т0 - динамическое напряжение сдвига, Па;

Рис. 3.3. Зависимости коэф­ фициента с от показателя л для расчета критерия, оп­ ределяющего смену режи­ мов течения для псевдопластических жидкостей:

(D = dB — для трубы;

D = (D - dH) - для кольцевого простран­ ства, здесь dB, dH — внутренний и наруж­ ный диаметры трубы, м; D — внутренний диаметр кольцевого пространства, м).

При ReKp < 2100 —режим течения жидкости структурный, при ReKp >2100 — режим турбулентный.

Для жидкостей, обладающих псевдопластичными свойст­ вами, переход режима определяется по Z-критерию:

Z = е,

е — коэффициент, зависящий от п.

На рис. 3.3 приведена зависимость е от п для бурильных труб и кольцевого пространства. При Z < 26,2 режим течения ламинарный, если же Z > 26,2 — характер движения жидкос­ ти турбулентный.

Аксиальное движение потока, а также вращение трубы несколько увеличивают значения Z.

Для ряда гидромеханических задач не удается дать строго теоретического решения, и тогда прибегают к исследованию явлений экспериментальным путем. В этом случае чрезвычай­ но важно организовать эксперимент таким образом, чтобы полученные результаты не носили частного характера и их можно было бы распространять на широкий класс объектов. Достижение такой цели связано с необходимостью соблюде-

ния принципов гидромеханического подобия явленийПер­ вый из них —принцип геометрического подобия. Для геоме­ трически подобных тел необходима пропорциональность сходственных размеров. Так, два цилиндрических круглых трубопровода будут геометрически подобны, если выполняет­ ся условие d,/I, = dj/I^

Иными словами, все размеры одного тела получаются ум­ ножением сходственных размеров другого тела на постоян­ ный множитель.

Если два потока жидкости имеют геометрически сходст­ венные ограничивающие поверхности и скорости в сходст­ венных точках будут пропорциональны, то для таких пото­ ков выполняется принцип кинематического подобия.

Наконец, для геометрически подобных потоков жидкостей при пропорциональности действующих на сходственные эле­ менты каких-либо сил имеем динамическое подобие.

Наиболее общий подход при использовании теории подо­ бия — анализ дифференциальных уравнений движения, поз­ воляющий определить критерии подобия объектов. Так, если обратиться к одномерному уравнению Навье —Стокса для двух объектов 1 и 2

dvx2 = J f __ 1 Эр2 + Т)2 Э2Ух2

ш 2 р2 дх2 р2 Ъ х\

то для выполнения условий подобия явлений необходимо обеспечить следующее

=vxl = pvvX2;

Длин, скоростей, вязкости, давления, сил тяжести и плотно­ сти.

Подставляя последние выражения в уравнение Навье -

Для того чтобы явления для объектов 1 и 2 были одинако­ выми, необходимо равенство коэффициентов для всех членов (тогда уравнение для объекта 1 переходит в уравнение для объекта 2), т.е.

Из полученного условия можно составить три независи­ мых гидромеханических критерия подобия:

М ! = 1;

J .

M L=1I

Hz

Согласно первому критерию, который называют критери­ ем Эйлера или коэффициентом давления, имеем

Plvl Р2^2

для второго — критерий Рейнольдса

Re = Wib. =М г к = const; Л1 Л2

для третьего — критерий Фруда

Следовательно, для полного гидромеханического подобия ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости необхо­ димо равенство Re, Fr и En. В отдельных задачах возможно равенство некоторых критериев. Так, для определения потерь давления в горизонтальной круглой цилиндрической трубе ранее была показана необходимость равенства лишь крите­ рия Рейнольдса, что соответствует одинаковому значению коэффициента сопротивления X. Обратим внимание, что критерий Re является отношением сил инерции к силам тре­ ния; критерий Fr — сил инерции к силам тяжести и крите­

рий En — сил перепада давления к силам инерции. Из этих критериев можно получить еще три критерия:

число Стокса

St' =^ - =—;

r\v Fr

число Лагранжа

U ' =M =EnRe;

vr

гидравлический уклон

/ =— = EnFr. Yt

Все остальные сочетания из отношений сил инерции, тяжести, трения и перепада давления будут обратными величи­ нами приведенных шести критериев.

Для вязкопластичных жидкостей помимо приведенных критериев подобия имеются условия динамического подобия, обусловленные наличием сил пластичности.

К приведенным шести критериям можно добавить крите­ рии:

Сен-Венана—Ильюшина

Sen = та1./(Л?ср);

Стокса S r = у1/т0:

Лагранжа

Ьа" = Др/т0;

Рейнольдса

Re = pv^/x0.

Эти критерии характеризуют подобие в смысле соот­

ния к силам пластичности и сил инерции к силам пластично­ сти.

Все приведенные критерии подобия относятся к случаю установившегося движения. В случае неусгановившегося дви­

жения появляется дополнительный критерий подобия sh = = vt/L, представляющий собой отношение инерционной си­ лы при нестационарном движении pvl}/t к инерционной силе при стационарном движении pv2! 2 и называемый критерием Струхаля или гомохронности.

3.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК БУРОВЫХ РАСТВОРОВ

Расчетные зависимости для определения рео­ логических характеристик зависят от вида используемого ви­ скозиметра и реологического состояния бурового раствора, отображаемого условными математическими моделями, уста­ навливающими связь между касательными напряжениями и соответствующими скоростями сдвига в любой точке жидко­ сти.

Основное затруднение в реологических исследованиях — изменение структурно-механических свойств буровых рас­ творов, как и большинства гидрофильных геотерогенных си­ стем, во времени.

Обычно в буровых растворах, оставленных в состоянии покоя, происходит тиксотропное упрочнение до определен­ ных пределов, в результате чего коагуляционно-тиксотропная структура со временем может приобрести значительную прочность. Под воздействием касательных напряжений, пре­ вышающих прочность тиксотропной структуры, начинаются довольно сложные процессы перехода от покоя к течению. В этом случае тиксотропные связи разрушаются во времени, т.е. наблюдается тиксотропная деструкция.

Таким образом, при наличии тиксотропной структуры буровые растворы следует относить к реологически неста­ ционарным жидкостям. Поэтому при определении стаци­ онарных реологических характеристик необходимо иметь уверенность в том, что в изучаемой системе произошла тиксотропная деструкция, т.е. осуществлен переход к реоло­ гически стационарной жидкости.

На рис. 3.4. приведены условные кривые течения бурового раствора, обладающего тиксотропными свойствами. При не­ прерывном увеличении градиента скорости du/dr касатель­ ные напряжения т растут по некоторой кривой АВ. Если сра­ зу же по достижении точки В начать снижение градиентов

уменьшении градиентов скорости реограмма будет представ­ лена прямой DE. В некоторых случаях прямая DE является единственным отображением вязкопластичной модели Шве­ дова-Бингама, однако для ряда буровых растворов это ото­ бражение может быть получено лишь при условии длительно­ го деформирования жидкости при нескольких стабилизиро­ ванных скоростях сдвига.

Таким образом, в общем случае стационарное реологичес­ кое состояние (вязкопластичная модель) тиксотропного буро­ вого раствора может характеризоваться некоторой прямой, имеющей с прямой DE лишь одну общую точку D.

Твердо установленных критериев оценки тиксотропных свойств буровых растворов не существует.

Известны работы, посвященные оценке тиксотропных свойств на основе анализа изменений касательных напряже­ ний во времени при деструкции и упрочнении структуры бу­ ровых растворов, изучению причин неинвариантности стати­ ческого напряжения сдвига и т.д.

В практике бурения тиксотропные свойства бурового рас­ твора оценивают величинами 0lt 01О, а процесс тиксотропного

где 0„ 0,о~ статические напряжения сдвига после 1 и 10 мин

Если скольжение жидкости на стенках обоих цилиндров отсутствует, то

Приведенные граничные условия позволяют найти распре­ деление скоростей u(r) по сечению путем интегрирования

Из соотношений (3.28) и (3.29) следует, что напряжение сдвига на стенке внутреннего цилиндра больше, чем на стен­ ке внешнего.

С учетом консистентных переменных т, и vp зависимость (3.33) примет следующий окончательный вид

ч

Уравнения (3.16) и (3.36), отображающие течение жидкос­ тей и консистентных переменных, служат для получения ос­ новных расчетных соотношений по определению реологиче­ ских характеристик на капиллярных вискозиметрах И при­ борах с коаксиальными цилиндрами соответственно.

Точную расчетную формулу для определения реологичес­ ких характеристик вязкопластичных жидкостей на капилляр­ ных вискозиметрах можно получить в результате интегриро­ вания уравнения (3.16) при условии, что жидкость в приосевой области не подвержена сдвигу, т.е.

Решение (3.38) приводит к формуле, известной под названием полного уравнения Букингема, записанного в консис­ тентных переменных,

Определить искомые реологические характеристики (т„, Л) из уравнения (3.39) практически невозможно, хотя в принципе эта операция осуществима с помощью компьютера мето­ дом наименьших квадратов. В этой связи уравнение (3.39) в практической реометрии не используется.

Если предположить, что жидкость во всей области от оси до стенки капилляра подвержена сдвигу, т.е.

Ф) = (т, - т0) /ц, 0 < х < т4,

то, используя уравнение (3.16), после интегрирования полу­ чаем

(3.40)

Зависимость (3.40) отображает асимптоту уравнения (3.39)

иносит название неполного уравнения Букингема. Использование (3.40) взамен (3.39) приводит к погрешности

менее 6 % при т0/т5 <>0,5 (по Р.И. Шищенко).

Основное расчетное соотношение на основании формулы (3.40) имеет вид

*,=-|т0+лук.

Пластическая вязкость находится по любым двум точкам полученной прямой, дающим две пары значений x5l — v Kl и

Ts2 “ V К2»ПОЗВОЛЯЮЩИХ ИСКЛЮЧИТЬ Т0,

Динамическое напряжение сдвига определяется значением отрезка, отсекаемого консистентной прямой на оси т5:

*5 = *so при vK = 0 .

Следует отметить, что согласно полному уравнению Букин­ гема (3.39), консистентная кривая течения для вязкопластич­ ных жидкостей должна иметь заметную кривизну в области малых скоростей сдвига.

Получение линейной зависимости свидетельствует, что в пределах наблюдаемых значений скорости сдвига пластичное ядро течения в потоке жидкости отсутствует, однако это не означает невозможность его формирования при малых зна­ чениях vK, не реализованных в опыте. В этом случае необхо­ димо иметь уверенность в соответствии диапазона скоростей сдвига в капиллярном вискозиметре реальным условиям дви­ жения жидкости в элементах циркуляционной системы, тре­ бующих гидравлического расчета.

Определение реологических характеристик в значительной мере осложняется, если в области малых скоростей сдвига

опытные точки отклоняются от прямой. В этом случае ап­ проксимация данных линейной зависимостью методом наи­ меньших квадратов недопустима. Необходимо экстраполиро­ вать линейный участок консистентной кривой до переселения с осью т5, имитируя асимптоту реальной кривой течения. Погрешность подобной аппроксимации уменьшается с рос­ том прямолинейного участка консистентной кривой, в про­ тивном случае вычисленные реологические характеристики могут существенно отличаться от реальных.

Реологическое уравнение истинной кривой течения псевдопластичных и дилатантных (степенных) жидкостей имеет вид

Интегрирование (3.42) приводит к зависимости, позволяю­ щей определить реологические характеристики степенных жидкостей при течении в капиллярных вискозиметрах,

Формулу (3.43) можно применять при постоянстве во всем диапазоне касательных напряжений сдвига от т5 на стенке до нуля на оси капилляра, т.е. в соответствии с условиями инте­ грирования уравнения (3.42). Опытные точки в этом случае удовлетворительно аппроксимируются прямой на графике с

координатами In т, - In vK. Так, логарифмирование (3.43) Дает

1пт, = lnlc' + nlnvK;

( \ п

*' = к Зл + Г

Используя любые две точки аппроксимирующей прямой, можно вычислить п по формуле

Затем определить показатель

или

к =т '/ an+ i - \'-л 4л VK2

Практически график логарифмической зависимости т4 от vKаппроксимируется несколькими прямыми в разных диапа­ зонах xs.

В этом случае определение показателей п и к базируется на теоретических разработках капиллярной вискозиметрии,

Уравнение (3.46) удобно для определения градиента скоро­ сти на стенке трубы независимо от вида истинной кривой течения. Оно наглядно показывает, что градиент скорости на стенке трубы совпадает по значению со средней скоростью сдвига лишь у ньютоновских жидкостей.

Преобразуя уравнение (3.46), приходим к зависимости Ра­ биновича и Муни

Вели обозначить производную в любой точке логарифми­ ческой зависимости т, от vKчерез

dlnvK

то подстановка этого значения в уравнение (3.47) приводит к выражению, предложенному Метцнером и Ридом,

Имея в виду (3.49), уравнение касательной в любой точке логарифмической консистентной кривой можно записать в виде

которое после дифференцирования принимает вид, удобный для определения л и л',

Величины п и к определяются следующим образом. Опыт­ ные точки наносят на график в координатах In TS — In vK. Проводят линейно-кусочную аппроксимацию опытных дан­ ных )-х участков (j = 1, 2, 3, ..., m). В пределах каждого j-ro линейного участка кривой согласно формуле (3.48) показатель неньютоновского поведения л' является постоянной величи­ ной, не зависящей от In Ts.

При этом dri/d In xs = О и из уравнения (3.54) следует, что л = л'.

Таким образом, для каждого выделенного участка показа­ тели п и к будут иметь разные значения. Для их определения используют формулы (3.44) и (3.45).

В связи с многообразием применяемых буровых раство­ ров график логарифмической зависимости т5 от vx может существенно отличаться от линейного в широком диапазоне изменения средних скоростей сдвига.

Возникают затруднения в классификации жидкости по ре­ ологическому состоянию. В этом случае необходимо осуще­ ствить переход от консистентной кривой течения к истин­ ной. Здесь следует подчеркнуть, что реологическое уравнение, отображающее истинную кривую течения, является исходным для последующего описания течения сложных сред в рабочих элементах применяемого оборудования с помощью интег­ ральных величин.

Основные правила перехода сводятся к следующему. Логарифмический график зависимости т5 от vK использу­

ют для определения л' по формуле (3.48) для фиксированных значений т5.

Вычисляют скорость сдвига на стенке капилляра по урав­ нению (3.49) для vK, соответствующих фиксированным т5.

торая затем отображается в аналитическом виде. Величина л для фиксированных значений т5 и л' может быть определена по формуле (3.54).

Изложенный метод универсален, поскольку его можно применять для широкого круга реологически стационарных жидкостей даже в том случае, если п' меняет свое значение в определенных интервалах напряжений сдвига. Естественно, что в этом случае истинная кривая течения будет описывать лишь исследованный интервал напряжений сдвига. Описан­ ный способ определения истинной кривой течения трудое­ мок, и для реализации рационально использовать компьютер.

Расчетные формулы для определения реологических ха­ рактеристик вязкопластичных и степенных жидкостей на приборах с коаксиальными цилиндрами можно получить в результате решения уравнения (3.36) с учетом зависимостей (3.37) и (3.41) соответственно.

Решению этой задачи для вязкопластичных жидкостей по­ священы работы Б.П. Вайнберга, М. Рейнера и Р. Ривлина.

Подставляя формулу (3.37) и уравнение (3.36), получаем

После интегрирования получим уравнение течения вязкопласгичной жидкости в кольцевом зазоре вискозиметра с коаксиальными цилиндрами, выраженное в консистентных переменных:

Как видно из уравнения (3.56), зависимость между тх и vp линейная. Практически по опытным данным строят график в координатах т, — vp. По любым двум точкам аппроксими­

рующей прямой, дающим две пары значений ти — vpI и т12 — vp2 вычисляют пластическую вязкость

Динамическое напряжение сдвига определяется по формуле

где т,о —напряжение сдвига на стенке внутреннего цилиндра при vp = 0, численно равное отрезку, отсекаемому прямой

на оси напряжений сдвига.

Уравнение в консистентных переменных (3.36) для псевдопластичных и дилатантных (степенных) жидкостей с учетом зависимости (3.41) имеет вид

где к'р — показатель консистенции жидкости в кольцевом зазоре вискозиметра.

Реологические характеристики буровых растворов заме­ ряют на капиллярных вискозиметрах и приборах с коакси­ альными цилиндрами (торсионных вискозиметрах), представ­ ляющих разновидность большой группы ротационных при­ боров с сочетанием измерительных поверхностей различных форм.

Каждому типу используемого вискозиметра присущи свои достоинства и недостатки. Капиллярные вискозиметры вслед­ ствие громоздкой и сложной конструкции применяются в основном для научно-исследовательских целей.

В буровой практике широко используются приборы с ко­ аксиальными цилиндрами ВСН-3, ВСН-4, "Реотес?”, ФАН и т.д.

Следует отметить, что при замере реологических характе­ ристик любой жидкости для получения инвариантны* данных требуется учет поправок на пристенное скольжение, кинети­ ческую энергию потока, донный эффект, начальный участок и т.д.

Стабильные значения реологических характеристик тик­ сотропных суспензий при работе с вискозиметрами с коак­ сиальными цилиндрами обычно можно получить следующим образом.

Стабилизированную суспензию заливают до нужного уровня в цилиндр вискозиметра и приводят в равновесное состояние вращением внешнего цилиндра на большой скоро­ сти до получения не зависящего от времени крутящего мо­ мента. Аналогичные операции проводят и при каждой после­ дующей, более низкой частоте вращения цилиндра. Замерен­ ные таким образом углы закручивания и соответствующие им частоты вращения цилиндра используют для вычисления консистентных переменных и определения реологических характеристик.

Интенсивное перемешивание раствора вращением цилинд­ ра вискозиметра на большой скорости до равновесного со­ стояния, без последующей выдержки вращения по ступеням до равновесного состояния дает менее стабильные результаты замеров, особенно в растворах, обладающих сильной тиксо­ тропией.

3.4. ГИДЮДИНАМИКА ПРИ СПУСКОПОДЪЕМНЫХ ОПЕРАЦИЯХ

Одна из специфических гидромеханических задач, возникающая в процессе бурения и существенно влия­ ющая на качество буровых работ с позиций предупреждения гидроразрывов, газоводонефтепроявлений и поглощений, - определение гидродинамических давлений в стволе скважины в процессе спускоподъемных операций с бурильным инстру­ ментом, спуска обсадных колонн и их расхаживания. Физи-

скоростей в соответствии с характером сдвигового течения, отвечающего условиям равенства совокупного расхода, по

формулам:

при закрытом нижнем конце

Я =v u f:

при открытом нижнем конце

Я = vTn(r2 - г,2),

где г„ r2, vT соответствуют приведенным обозначениям (см.

Из этого соотношения следует, что перепад давления

Др = _____ 4л

(Я2 + г | ) 1 п — - ( Я 2

Гг

где L —длина труб; ц — вязкость жидкости; vr — скорость движения труб.

Скорость жидкости v для любого текущего значения ради­ уса / в кольцевом пространстве может быть определена по формуле

Приведенными формулами можно воспользоваться и для вязкопластичных жидкостей, используя значение эффектив­ ной вязкости, рассчитанной по формуле

1 ( Тр(Я-г2)

3ii(vT-vcp

гАе vcp — средняя скорость в кольцевом пространстве, опре­ деляемая по формуле

150

где gT, дкп - расход жидкости соответственно в трубах и кольцевом пространстве.

Из выражения следует, что гидродинамическое давление и расход в трубах могут быть рассчитаны по формулам

Для наиболее часто применяемых на практике сочетаний обсадных труб и долот значение qT составляет 20 —30 % об­ щего расхода вытесняемой жидкости, а для бурильных труб это значение равно примерно 10 %.

Приведенными формулами можно пользоваться и для при­ ближенных расчетов при наличии вязкопластичной жидкости, используя эффективную вязкость

которая соответствует условию gT = 0,25g.

Использование формул для движения труб с частично от­ крытым концом, что соответствует наличию долота с промы­ вочными отверстиями или дроссельных обратных клапанов, нецелесообразно ввиду малости qTпо сравнению с qw. В этих случаях рекомендуется применять формулу для труб с закры­ тым концом, что соответствует расчетам с запасом.

Все рассмотренные формулы основаны на учете гидроди-