1211

а б

Рис. 10. Строение слоев, формирующих образец графита

2. Принимая, что межатомные расстояния измеряются в единицах параметра потенциала α, имеющего размерность длины, определить полную потенциальную энергию полученного образца с помощью потенциала (5), задав значение параметра α =1, что будет соответствовать задаче определения безразмерных характеристик, соответствующих параметрам решетки. Поскольку в полученном выражении для потенциальной энергии множитель β (2-й параметр потенциала Леннарда-Джонса) является положительной величиной, не влияющей на положение минимума потенциальной энергии, принять в дальнейших расчетах β =1 . Из условия минимизации полученной функции (одной a или двух a и b переменных) найти их (без-

тавляющие минимум построенной функции потенциальной энергии. Для определения этих значений рекомендуется использовать метод Хука – Дживса или метод Нелдера – Мида. Полученные решения можно представить в виде

где α – параметр потенциала Леннарда-Джонса размерности длины.

атомов на ребре образца и аппроксимировать ее методом наименьших квадратов функцией вида

41

f (x)= c(x + x0 )−1 +d ,

имеющей горизонтальную асимптоту. Найденное значение d будет соответствовать макроскопическому значению соответствующего параметра решетки.

Провести идентификацию параметра потенциала α по найденному макроскопическому параметру.

3.Задать смещения uk (k – номер атома) всех атомов образца

снайденными равновесными параметрами решетки в соответствии

сдеформационным градиентом для простого сдвига вдоль оси х1

в плоскости, перпендикулярной оси х3: uk = FRk , где Rk – радиусвектор атома до деформации. Деформационный градиент принять в виде F = E +γe1e3 (подразд. 6.2.1). Параметр интенсивности сдвига

γ и параметры потенциала α и β считать произвольными. Предусмотреть относительное смещение простых подрешеток,

определяя величину относительного смещения при заданной интенсивности сдвига, решая задачу минимизации потенциальной энергии деформированного образца.

4.Выбрать атомы, принадлежащие граням образца. Определить силы, действующие на атомы каждой из граней со стороны всех остальных атомов образца. Для каждой грани найти сумму таких сил. Эти силы будут довольно сложного вида функциями от параметров

α, β и γ.

5.Вычислить площади Sj граней исходного недеформированного образца, найти площади граней sj после деформации по формуле

ds = J (NU−2N)1/2 dS.

6. Определить векторы напряжений на гранях образца tn , раз-

делив найденные силы на соответствующие площади после деформации.

7. С помощью соотношений Коши nσsj = tn найти компоненты тензора напряжений σij – функции параметров α, β и γ.

42

8. Раскладывая полученные выражения в степенной ряд по интенсивности сдвига γ в окрестности γ = 0 , оставить в разложении

только 1-е (при 1-й степени γ) члены. Члены ряда при нулевой степени параметра γ должны быть равны нулю, поскольку деформирование происходит из естественного состояния. Полученный коэффициент при 1-й степени интенсивности сдвига γ, зависящий от параметров α и β, равен коэффициенту при величине γ в законе Гука для соответствующего простого сдвига.

9. Повторить пп. 3–8 для различного числа атомов на ребре образца, используя найденные ранее равновесные параметры решетки для образцов соответствующего размера. Определить зависимость найденного упругого модуля от числа атомов на ребре образца. Аппроксимируя полученную зависимость, определить «макроскопический» упругий модуль и провести идентификацию 2-го параметра β потенциала Леннарда-Джонса.

10.Задать смещения uk (k – номер атома) всех атомов образца

снайденными равновесными параметрами решетки в соответствии с деформационным градиентом для чистого растяжения-сжатия вдоль

оси х1: uk = FRk , где Rk – радиус-вектор атома до деформации. Деформационный градиент задать согласно формуле F = E +(λ−1)e1e1 из

подразд. 6.2.1. Кратность удлинения λ считать произвольной, параметры потенциала α и β для выбранного материала задать в соответствии с проведенной идентификацией.

11.Определить векторы напряжений на гранях образца аналогично пп. 4–6 для найденных значений параметров потенциала.

12.Найти компоненты тензора напряжений Коши, разложить

их в степенной ряд по кратности удлинения λ в окрестности λ =1.

13.Найти соответствующий (анизотропный) упругий модуль Юнга, связанный с растяжением.

14.Построить зависимость найденного модуля Юнга от числа атомов на ребре образца и аппроксимировать ее. Найти соответствующее асимптотическое значение и провести верификацию резуль-

43

татов по сравнению с известным макроскопическим значением найденного модуля.

Замечание. При исследовании графита требуется провести большее число опытов – один опыт на простой сдвиг и два опыта на чистое растяжение. Для графена требуется два опыта – сдвиг и растяжение.

6.3.2. Прогнозирование теплофизических свойств кристаллов графита и графена

1.Построить геометрическую модель образца графита или графена (см. рис. 2) по алгоритму, описанному в подразд. 6.3.1.

2.Найти параметры кристаллической решетки в равновесном состоянии, так же как и в подразд. 6.3.1.

3.Задать случайные тепловые смещения с (безразмерной)

амплитудой A1 = 0,01 для всех атомов образца с найденными параметрами решетки. Определить потенциальную энергию воз-

параметров решетки, приводящие образец в новое равновесное состояние, соответствующее минимуму изменившейся потенциальной энергии образца.

4. Получить выборку равновесных приращений параметров решетки на 100–500 реализациях тепловых возмущений атомов. Найти и сохранить медианы полученных наборов значений

∆ˆ ∆ˆ m( a1) и m( b1) .

5. Повторно задать случайные тепловые смещения с амплитудой A2 = 0,02 для всех атомов образца с параметрами решетки, уве-

личенными на найденные медианы приращений ∆ˆ1 ∆ˆ1 m( a ) и m( b ) .

Определить потенциальную энергию возмущенного образца. Найти

∆ˆ ∆ˆ

новые приращения a2 и b2 параметров решетки, приводящие образец в следующее равновесное состояние.

44

6. Получить выборку равновесных приращений параметров решетки на 100–500 реализациях тепловых возмущений атомов. Найти и

m(∆aˆ ) ∆ˆ

сохранить медианы полученных наборов значений 2 и m( b2 ) .

7. Продолжая описанную процедуру при увеличении амплитуды тепловых возмущений с шагом ∆A = 0,01 , получить после-

∆ˆ ∆ˆ

довательность медиан m( ai ) и m( bi ) при A [0; 0,5] . Постро-

ить графики изменения равновесных параметров решетки графита (медиан получаемых в реализациях значений) в зависимости от амплитуды тепловых возмущений A для разного числа атомов на ребре образца.

8.Аппроксимируя приращения параметров решетки для каждого фиксированного значения амплитуды возмущений гиперболической зависимостью от числа атомов на ребре образца, найти предельную кривую, соответствующую макроскопическому телу.

9.Показать, что кривые, соответствующие образцам различных размеров, пересекаются в одной точке – точке возгонки графита (из экспериментов известно, что она соответствует 2300 К).

10.Принимая, что все атомы совершают гармонические коле-

бания с одинаковой частотой ω, и связывая температуру T образца с амплитудой тепловых возмущений и их частотой с помощью соот-

ношения kT = mA2ω2 , где k – постоянная Больцмана, m – масса атома, получить оценку частоты ω по найденной предельной кривой

иточке возгонки графита.

11.Найти значение амплитуды A, соответствующей нормальной температуре. Определить равновесные параметры решетки при этой амплитуде и сравнить с известными из натурных экспериментов параметрами кристаллической решетки. Оценить значение па-

раметра α потенциала Леннарда-Джонса.

12. Пользуясь построенной предельной кривой для параметров решетки (макроскопического) образца, а также идентифицированными значениями α и ω параметров модели, получить зависимости анизотропных коэффициентов теплового расширения графита и графена от температуры.

45

6.3.3.Задачи исследования НДС кольца

1.Получить точное решение уравнения (9) самостоятельно, используя методы теории дифференциальных уравнений в частных производных. Обратим внимание на то, что в силу симметрии тела и граничных условий поле температур не зависит от окружной координаты θ.

2.Построить в пакете ANSYS 12.0 геометрическую модель и обосновать выбор схемы дискретизации ограниченного по длине толстостенного цилиндра, внутренний, внешний радиусы и высота

которого a =15,0 мм, b = 22,5 мм, а H = 300,0 мм соответственно.

Сэтой целью:

−провести дискретизацию тела методом триангуляции («свободного разбиения»). Проанализировать топологию конечно-эле- ментной сетки, выявить признаки геометрической анизотропии, к числу которых относится наличие на боковой поверхности областей с неоднородной схемой дискретизации, вызванные изменением порядка взаимного расположения элементов вдоль образующей цилиндра, а на торцевой поверхности – областей с несимметричным расположением элементов;

−задать упругие модули материала в соответствии с полученными при выполнении заданий подразд. 6.3.1 значениями (либо взять для примера E = 200 ГПа и ν = 0,25 ), равномерно распреде-

ленное давление на внутренней боковой поверхности цилиндра pint =1 МПа и кинематические условия на торцевых поверхностях

(исключить перемещения в осевом направлении, а на криволинейных контурах, которые являются результатом пересечения цилиндрической наружной поверхности с плоскими торцами, исключить перемещение в окружном и радиальном направлениях). Решить задачу о нагружении цилиндра внутренним давлением, проанализировать распределение радиальных напряжений в различных поперечных сечениях. Показать, что при используемом способе дискретизации («свободном разбиении») в цилиндре имеются неравномерно нагруженные области с концентраторами напряжений, наличие ко-

46

торых должно быть исключено осевой симметрией цилиндра и приложенной нагрузки. Сделать вывод о неприемлемости использования «свободного разбиения» при численном решении задач для цилиндрических тел;

−исключить геометрическую анизотропию при дискретизации цилиндрического тела, сделав структуру конечно-элементной сетки симметричной в осевом, радиальном и окружном направлениях. Провести предварительную разбивку контурных линий (окружности

вобласти торца и образующей цилиндра) с заданным шагом, осуществляя сгущение сетки по направлению к внутренней поверхности, а затем, опираясь на заданные «базовые» узловые точки, выполнить дискретизацию цилиндра;

−задав коэффициент теплопроводности материала в соответствии с полученными при выполнении заданий подразд. 6.3.2 значе-

ниями (или взяв для примера λ =122 Вт(м К)) и однородные тем-

пературы на внешней и внутренней боковых поверхностях Tint = 550 °C и Text = 20 °C, получить численное решение краевой задачи и проанализировать распределение температуры в направлении радиальной координаты, выбрав анализируемое поперечное сечение в средней части ограниченного по высоте цилиндра. Провести сравнение полученного распределения с аналитическим решением [21], выбрать параметры геометрии сетки конечных элементов и способ дискретизации. Показать, что если выбрать в качестве конечного элемента 8-узловой Solid70 (объемный элемент задач термического анализа) с одной степенью свободы (температура) в каждом узле, то 30 конечных элементов на окружных линиях и 10 – на образующей (общее количество конечных элементов и узловых точек равно 4400 и 17 160 соответственно) достаточно для того, чтобы в поперечном сечении, находящемся в центральной части цилиндра, различие аналитического и численного решений не превышало 0,1 %, чем обеспечивается приемлемая точность;

− выбрать параметры геометрии конечно-элементной сетки на основе сравнения численного решения краевой задачи Ламе для ог-

47

раниченного по длине трансверсально-изотропного цилиндра и соответствующего аналитического решения [22, 23]. Для этого необходимо задать модули Юнга, оценка которых получена при выполнении заданий из подразд. 6.3.1, либо принять E = 9,04 ГПа,

ла, главные оси анизотропии которого совпадают с осями цилиндрической ортогональной системы координат, равномерно распределенное внутреннее и внешнее боковое давление pint = 2 МПа

и pext =1 МПа соответственно. Кроме того, необходимо задать ки-

нематические условия, исключив перемещения в осевом направлении на торцевых поверхностях, в окружном и радиальном направлениях на криволинейных контурах, которые являются результатом пересечения цилиндрической наружной поверхностей с плоскими торцами. Показать, что при выборе 8-узлового конечного элемента Solid45 (объемный элемент задач механики деформируемого твердого тела) с тремя степенями свободы (обобщенные перемещения) в каждой узловой точке наличие 30 конечных элементов на окружных линиях и 50 – на образующей (общее количество конечных элементов и узловых точек равно 72 000 и 79 560 соответственно) гарантированно обеспечивает в поперечном сечении, находящемся в центральной части цилиндра (на достаточном удалении от закрепленных торцевых поверхностей), точность численного определения радиальных напряжений не менее 0,1 %, а окружных напряжений не менее 0,7 % по сравнению с аналитическим решением [22, 23];

− для задания распределенной осевой поверхностной нагрузки построить гибридную сетку, состоящую из элементов Solid45 и специальных элементов Surf154, позволяющую моделировать различные эффекты на внутренней и внешней боковых границах цилиндра, выполняя сопряжение между ними и осуществляя сгущение по направлению к внутренней поверхности цилиндра. Поскольку 8-узло- вой элемент Solid45 не имеет промежуточных узлов на ребрах, то сопряжение с элементом Surf154 необходимо провести по 4 узловым

48

с тем кинематические граничные условия на остальных поверхностях, рабочее давление и торцевое давление герметизации во всех рассматриваемых случаяходинаковы.

6. Решить краевые задачи, вычислить компоненты тензора напряжений. Провести обработку полученных результатов с использованием специально разработанного и программно реализованного кода, совместимого с ANSYS 12.0, получить значения независимых инвариантов тензора напряжений и построить их распределения

вуплотнительных кольцах.

7.Для различных режимов работы запорной арматуры (воз- вратно-поступательное и вращательное движение штока) провести оценку влияния температуры рабочей среды на величину максимальных и минимальных значений независимых инвариантов тензора напряжений и расположение тех областей внутри уплотнительного кольца, в которых достигаются эти экстремальные значения.

8.Принимая гипотезу об одинаковом сопротивлении наноструктурированного ТРГ растяжению и сжатию, на основе экспериментально определенных предельных напряжений при сжатии в поперечной плоскости и осевом направлении, поперечном и продольном сдвиге вычислить критические значения независимых инвариантов тензора напряжений и провести оценку начальной прочности УЭ из наноструктурированного ТРГ для различных режимов работы запорной арматуры и температур рабочей среды.

9.Определить контактное давление на внутренней поверхности уплотнительного кольца. Проанализировать влияние направления движения штока (вращение по и против хода часовой стрелки, движение в направлении нажимной втулки или в противоположную сторону) на характер распределения инвариантов тензора напряжений и величины контактного давления. Построить функцию распределения контактного давления вдоль осевой координаты и показать, что это распределение неоднородно. Объяснить причину зависимости значений инвариантов и контактного давления от направления поступательного движения и независимости от направления вращения.

50