где Bi = ------- число Био, характеризующее отношение температурного А.
перепада 8 1 к температурному напору At. Действительно,
~ x S u = a ( ' n " ' c) ^ ~xj =a At
8t_ a / = BL
At
При малых числах Био, когда температурный перепад меньше тем пературного напора (5/ < АО, в теплообмене большую роль играет усло вие на границе, т.е. внешнее тепловое сопротивление. При больших чис лах Био, когда температурный перепад больше температурного напора (51 > АО, в теплообмене большую роль играет теплопроводность, т.е. внутреннее тепловое сопротивление плоского слоя.
Вопросы для самоконтроля
1.Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.
2.Частные случаи уравнения теплопроводности: уравнения Лапла са, Фурье, Пуассона.
3.Как учитываются в уравнении теплопроводности неоднородные свойства?
4.Как учитываются в уравнении теплопроводности анизотропия свойств?
5.Выведите уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов.
6.Как задаются граничные условия теплообмена первого, второго
итретьего видов? Физический смысл коэффициента теплоотдачи.
7.Граничные условия контактного теплообмена (четвертого вида). Смысл и размерность теплового сопротивления контакта.
8.Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности. Числа Био и Фурье, их физический смысл.
Постоянные интегрирования Cj и Сг находятся подстановкой гра ничных условий (5.2) в общее решение (5.3),
\ = С | 0 + С2 ’2 — С, • 8 + С
и имеют вид
С ,= |
С2 — . |
(5.5) |
В результате получается решение задачи
(5.6)
дающее линейное распределение температуры по толщине слоя. Плотность теплового потока определяется в соответствии с законом
Фурье
q = - \ — = \ h |
-------*±--------------- |
(5.7) |
dc |
5 |
5Д |
и является постоянной, отношения Х/8 и 5/А, называются соответственно
тепловой проводимостью и тепловым сопротивлением плоского слоя. В соответствии с соотношением (5.7) плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур на поверхностях плоского слоя и обратно пропорциональна его тепловому сопротивлению. Потери тепла через плоскую стенку
S х |
< 5 - 8 ) |
' |
|
Пример 1. Определить |
потери тепла через кирпичную стенку |
(X к = 0,3 Вт / (м • К)) площадью 3x5 м2 за сутки. Как изменится теплопро
водность, если кирпичную стенку заменить деревянной (сосна поперек во локон, (А,д = 0,107 Вт / (м • К))? Толщины стенок составляют 8К= 5Д=25 см,
температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответствен
h - ^ 2 = ? ( 5 l A l ) . |
|
|
t г~* 2 ~ Я |
у |
(5.10) |
|
|
|
1"и ~ 1и+1 = 9 ( 5 яА л>.
Просуммируем левые и правые части уравнений (5.10), при этом по стоянную для стационарной задачи плотность теплового потока вынесем за общую скобку:
|
5, |
6 |
I |
(5.11) |
|
*1 *и+1 — Я |
г |
+ * - +- + г |
■ |
||
|
|||||
отсюда |
Я |
л-1 |
|
(5.12) |
|
я |
|
|
|||
E f + E * - |
|
|
|||
/=i |
|
/=1 |
|
|
|
Знаменатель отношения (5.12) представляет сопротивление много слойной стенки. В случае идеальных контактов расчет теплового потока можно проводить по формуле однослойной стенки с использованием ко
эффициента эквивалентной теплопроводности, |
|
Л |
п |
При практических расчетах из уравнения (5.12) можно найти темпе ратуру на поверхности любого слоя, например
= - Я |
а 1 |
Из-за постоянства плотности теплового потока q = —X dt/dx в много слойной стенке слои с меньшим значением теплопроводности X имеют больший температурный градиент и наоборот.
откуда
*d “ |
*i = 9 a |
|
|
|
|
я |
X |
я - 1 |
■ |
*\ |
h + \ 9 E f •+E*» |
|||
|
/=1 |
K i |
<=l ) |
|
. |
~ К г = Ч — |
- |
|
|
|
a , |
|
|
|
После суммирования получаем уравнение теплопередачи
t„, - |
t_ |
(5.15) |
|
9 = |
я—I |
||
|
^ + |
Ё т - + е * . |
a |
/=] |
Знаменатель уравнения (5.15) является общим термическим сопротив лением многослойной стенки, состоящим из внешних (1 /а ,, ] /а 2), внУт~ ренних ( ^ 5. / Xf) и контактных (У^ Л К|.) сопротивлений. Величину, об ратную общему термическому сопротивлению, называют коэффициен том теплопередачи
к —- |
1 |
(5.16) |
|
1 п Я HZL |
|||
|
1 |
~ + ^ 2 т ~ + У Х , . + — a , t f a 2
с учетом этого обозначения уравнение теплопередачи (5.15) принимает вид
(5.17)
Я = к ( ' с ~ * с г ) -
Коэффициент теплопередачи
к = |
(5.18) |
характеризует плотность теплового потока при единичной разности тем ператур между теплоносителями.
Из уравнения теплопередачи можно вычислить температуры по верхностей стенки
*1 *с \ ?/а 1» *„+1 ~ ^ с 2 + ? / а 2- |
(5 1 9 ) |
Пример 4 . Определить плотность теплового потока через плоскую стальную стенку котла толщиной 8i=10 мм с теплопроводностью A,j=50 Вт/(м*К) для нагрева воды. В процессе эксплуатации поверх ность нагрева со стороны газов покрылась слоем сажи толщиной 52=2 мм с Х2=0,09 Вт/(м*К). Температура газов /с1=1127°С, температура кипящей воды fc2=227°C, коэффициент теплоотдачи от газов к стенке aj=100 Вт/(м2 К) и от стенки к кипящей воде а 2=5000 Вт/(м2 К). Вы числить температуры поверхностей стенки котла, а также определить, во сколько раз уменьшится теплопередача с появлением слоя сажи.
Решение. Коэффициент теплопередачи для чистой стенки (без слоя сажи) определяем по формуле (5.16),
к = ■1 |
" |
я |
Л-1 |
|
1 |
|
|
L + |
E |
r + E « » + |
^ |
|
|||
a |
(=1 |
л , |
|=1 |
|
а |
2 |
Вт |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Е Д |
+ -!- |
|
|
|
|
= 96,2 |
|
1 |
0,01 |
1 |
м 2 К' |
||||
a , |
|
a . |
100 |
50 |
|
5000 |
|
Плотность теплового потока находим по уравнению (5.17),
q = k (teX - t e2) = 96,2(1127-227) = 86,6 к В т/м 2
Температуры поверхностей стенки определяем по формулам (5.19): со стороны газов /, = tcl — q ja , = 1127 —86600/l00=261°С,
со стороны воды t2 = tc2 + q /a г =227 + 86600/5000 = 244,3°С
Коэффициент теплопередачи для стенки с сажей
к = |
------------- -------------- = -------------------------------- |
= 30,7 |
|
_L- А +Ь. +_L _L+^1+№ _L |
м к |
<*1 * 1 * 2 |
“ 2 |
100 |
50 |
0,09 5000 |
Плотность теплового потока через стенку с сажей
q = к (tel ~ t c2) = 30,7(1127-227) = 27,6 к В т / м 2
Температуры поверхностей стенки: наружная температура сажи
t \ = t cX - q ! а , =1127-27600/100 = 851°С;
со стороны сажи
f, = t 'i - q b j \ x = 8 5 1 -2 7 6 0 0 0,002/0,09 = 238°С,
со стороны воды
t2 = tc2 + q / a 2 = 227 + 27600/5000 = 232,5°С
Таким образом, слой сажи в 2 мм уменьшает тепловой поток от газов к воде в 86,6/27,6=3,1 раза.
Пример 5. Как изменится плотность теплового потока и температу ры поверхностей стенки, если в примере 4 со стороны воды появится на
кипь толщиной |
53=10 |
мм |
с А,3=2,0 |
Вт/(м К)? |
Со стороны газа |
|||
поверхность стенки чистая. |
|
|
|
|
|
|||
Решение. Коэффициент теплопередачи для стенки с накипью |
||||||||
к |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|0,01 |
|0,01 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а , |
А,, |
Х3 |
а 2 |
100 |
50 |
2 |
5000 |
|
Плотность теплового потока через стенку с накипью |
||||||||
q = k (tcl - t c2) = 65,0(1127-227) = 58,5 |
к В т / м 2 |
|||||||
Температуры поверхностей стенки: со стороны газов
=*с1 - ? / a i = 112758500/100 = 542°Q
со стороны накипи
tf7 = tx ~ q b j \ x = 54 2 -5 8 5 0 0 -0 ,0l/50 = 530°C;
Отсюда получаем уравнение теплопередачи |
|
|
|
|
||||
|
ф — ^ ( 'c i |
j |
|
g 2 |
|
j |
> |
(5-22) |
|
|
a , S, |
*" X S, |
^ а 2^2 |
|
|
||
где к - |
коэффициент теплопередачи ребристой |
стенки. Поделим Ф |
||||||
(5.22) на площадь гладкой стенки S\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
9 = ^pr(*ci —*сг)> |
* Рг = - j |
* |
j |
о- |
» |
(5.23) |
|
|
|
± |
+ 1 + - т |
- |
|
|
||
|
|
а , |
X |
а 2 |
S 2 |
|
|
|
где к рг- |
коэффициент теплопередачи |
ребристой стенки, |
отнесенный |
|||||
к площади гладкой поверхности; S 2/ S l- |
коэффициент оребрения. |
|||||||
Полученные формулы справедливы, если материал хорошо прово дит тепло. При малых теплопроводностях ребро становится дополни тельным тепловым сопротивлением и расчет усложняется. Для прямо угольных ребер постоянной толщины существует оценка
2Х > 5 =>■ X > |
5 а -6 |
(5.24) |
|
а - 8 |
~ Ч ~ ' |
при которой ребро уменьшает общее тепловое сопротивление.
Пример 6. Ребристая стенка толщиной 5=0,5 см изготовлена из стали с коэффициентом теплопроводности Х=54 Вт/(м К). Коэффициенты теп лоотдачи со стороны гладкой и оребренной поверхностей соответствен но имеют значения <Xi=1000 Вт/(м2 К), 02=20 Вт/(м2-К), коэффициент оребрения S 2/S {=2. Увеличивается ли теплопередача через ребристую стенку и если увеличивается, то во сколько раз по сравнению с гладкой стенкой?
Решение. По критерию (5.24)
5 а -5 |
5 - 1000-0,5-10-2 t. _ _. |
— -— = |
---------- ----------- = 12,5 < 54, теплопередача увеличивается. |
Коэффициент теплопередачи ребристой стенки по формуле (5.23)
рг |
|
|
|
|
|
=38,5 |
Вт |
- U |
i + |
- ! 3 |
1 |
|°.°05 | |
1 |
2 |
м 2К |
а , |
X |
а 2 S 2 |
1000 |
54 |
20- |
|
этот же коэффициент для гладкой стенки
1 |
1 ( |
1 |
= 19,6 |
Вт |
-а. + !X + -а , |
0,005 | |
1 |
м 2К |
|
1000+ |
54 |
20 |
|
Следовательно, ребристая стенка увеличила теплопередачу примерно в 2 раза (38,5/19,6^2).
5.4. Теплопроводность цилиндрической стенки
Цилиндрический слой с радиусами внутренним гхи наружным г2 не ограничен в направлении оси z и не содержит внутренних источников те пла {qv=0). На его поверхностях г = гхи г = г2 поддерживаются температу ры соответственно tx и t2, т.е. заданы граничные условия первого рода. Температурное поле в этом случае осесимметрично (dt/diр= 0) зависит только от одной координаты (dt/dz = 0), и математическая формулиров ка краевой задачи теплопроводности имеет вид
|
|
|
|
|
dr2 |
г dr |
|
|
|
(5.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
) = |
'.> < r = r2) = |
;2 • |
(5.26) |
|||
Найдем общее решение уравнения (5.25) |
|
|
|||||||||
и = |
dt |
dи |
и |
п |
=> |
rdu |
г dr |
|
|
||
— |
= > -----1— = 0 |
/ — = - |
/ |
— =*4n w+ l n r = InC, |
|
||||||
|
dr |
dr |
г |
|
|
J |
и |
J |
г |
|
|
^ м |
= ^ - = » — = ^ - = > |
fd t= f c t - ^ |
1 = С ,Ы г + С. , |
(5.27) |
|||||||
|
|
г |
dr |
г |
|
J |
J |
|
г |
|
|
Постоянные интегрирования С, и С2 находятся подстановкой гра ничных условий (5.26) в общее решение (5.27),
