1139

наблюдений а2 (для отыскания которой нужны параллель­ ные наблюдения). Может случиться так, что наше уравне­ ние, не нуждающееся в добавочных членах третьего порядка, допускает уточняющую добавку типа ^ In t.

В заключение оценим силу найденной связи с помощью корреляционного отношения. В нашем примере

откуда

0 = V T ^ l = V 1—0,00272 = 0,986.

Корреляционное отношение 0 близко к I, значит, найден­ ная нами связь близка к строгой функциональной.

§ iv,. DIE ВОПРОСЫ ПЛАНИРОВАНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТА

10.1. Способы отбора. Мы уже упоминали (п. 4.3), что применение методов математической статистики к обработке наблюдений основано на глубокой аналогии между про­ изводством наблюдений и отбором из некоторой генераль­ ной совокупности. При этом в качестве генеральной сово­ купности рассматривается чисто гипотетическая совокуп­ ность всех возможных результатов наблюдений при данном комплексе условий испытания. Отбор данных из этой сово­ купности производится в процессе наблюдений независимо от нашей воли. Благодаря этому основным фактором отбора наблюдений всегда является случайность, что и позволяет применять для обработки наблюдений основные положения теории вероятностей.

Отбор данных, происходящий помимо нашей воли, мо­ жно назвать естественным отбором; именно таким явля­ ется отбор данных при наблюдениях. Однако при производ­ стве наблюдений и при дальнейшей их обработке часто воз­ никает необходимость и в других, искусственных способах отбора. Например, при анализе вещества приходится де­ лать пробы из разных участков, чтобы нейтрализовать воз­ можную неоднородность материала; отбор проб при этом находится целиком в нашем распоряжении. При контроле за производством приходится выбирать образцы из общей продукции. При различных экономических и демографи­ ческих исследованиях также нужен предварительный от­ бор объектов для изучения. Примеры таких случаев, когда исследователь вынужден делать сознательный выбор, мож­ но еще долго продолжать; отметим лишь в заключение, что даже заготовленный уже цифровой материал может нуж­

даться в дополнительном отборе в целях сокращения объе­ ма, в целях удаления неподходящих данных и в целях про­ верки правильности и добросовестности полученных дан­ ных и подготовительных расчетов — подобный отбор также производится исследователем целиком по его воле.

Существует много способов искусственного отбора; выбор того или иного способа зависит от цели отбора, от постав­ ленной задачи. В самом общем плане способы отбора делят­ ся на две группы: пристрастные и репрезентативные.

Пристрастными называются такие способы отбора, при которых отбираются элементы по какому-либо заранее на­ меченному признаку; при этом проверке подлежат все эле­ менты совокупности, из которой делается отбор. Например, из совокупности чисел отбираются п самых больших или отбираются все числа, не достигающие нужной величины. Пристрастный отбор применяют и для того, чтобы изъять все наблюдения с нарушенными условиями испытания. Так, при изучении жирности молока новой породы коров стара­ ются отобрать и в дальнейшем не учитывать данные по боль­ ным и смешанно-породным особям. Пристрастный отбор является важной стадией эксперимента; его задача при этом состоит обычно в том, чтобы устранить все заметные наруше­ ния условий испытания. С помощью пристрастного отбора нередко удается ликвидировать те или иные доминирующие (несимметричные) факторы, нарушающие нормальность распределения.

Пристрастный отбор всегда является сознательным с ясной характеристикой данных, подлежащих отбору, поэ­ тому он редко вызывает затруднения. Сложнее обстоит дело со второй группой способов отбора.

Способы отбора называются репрезентативными, если отобранная группа элементов достаточно полно характе­ ризует всю совокупность, из которой был сделан отбор. Разумеется, как бы ни был удачен отбор, в суждениях о всей совокупности будет элемент случайности. Более того, некоторые особенности всей совокупности вообще не отра­ зятся на отобранной группе элементов, поэтому «репре­ зентативность» отбора, вообще говоря, является относи­ тельной и связана с конкретной числовой характеристикой совокупности, которая изучается с помощью отобранных элементов.

254 §10. ВОПРОСЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Фактически репрезентативный отбор применяется тог­ да, когда судить о характеристиках совокупности, исполь­ зуя все ее элементы, невозможно (либо слишком трудно) из-за того, что эта совокупность чересчур велика, а возмож­ но, и не вся доступна анализу. Если объем N этой совокуп­ ности очень велик, то его практически можно считать бес­ конечным. В этом случае заданную совокупность можно рассматривать как генеральную, а отобранные элементы как выборку, применяя в дальнейшем все достижения об­ щего выборочного метода. Если же N не очень велико по сравнению с количеством п отобранных элементов (скажем, N<i 10 п), то с числом N нужно считаться при интерпрета­ ции результатов отбора.

Количество отбираемых элементов можно определить, если известна дисперсия а2 изучаемой характеристики (по каким-либо предыдущим данным). Это количество будет за­ висеть от той точности, с которой мы хотим получить зна­ чение характеристики. Если эта точность задана допусти­ мой дисперсией s2, то п определяется из формулы

которая при очень большом N перейдет в известную нам уже формулу

п

Последнюю формулу легко объяснить: а2 есть как бы гене­ ральная дисперсия, a s2 есть дисперсия среднего выборки из п элементов, которая всегда в п раз меньше «одиночной» дисперсии.

Приведем пример. Допустим, что из предыдущих анали­ зов известна дисперсия, связанная с неоднородностью ве­ щества и равная а2=0,20. Допустим, что нам нужно знать содержание вещества с дисперсией sj, не превосходящей

0,40, причем на методику анализа приходится дисперсия s£=0,35 (ошибка воспроизводимости). Это значит, что на долю неоднородности допускается оставить дисперсию s2<! ^0,05. Если в нашем распоряжении N=50 проб вещества,

то необходимое число проб п определится из равенства

40,

т. е. равно пяти (точное решение уравнения равно -д).

Выбор того или иного способа репрезентативного отбора зависит от степени наших знаний о всей совокупности. Если, например, нам известно, что элементы в совокупности рас­ положены случайным образом, то можно применять меха­ нический отбор — отбирать каждый пятый или каждый десятый и т. п. элемент. Если же в последовательности эле­ ментов имеется некоторая ритмичность, то нужно приме­ нять аритмичный отбор, например, в первой десятке брать

Иногда вся совокупность заведомо разбивается на от­ дельные части, которые желательно равномерно учесть. В этом случае применяют типический отбор, т. е. отдельно отбирают элементы из каждой части и лишь потом сводят их в общую группу. Например, анализируя производствен­ ную деятельность колхозов в области, мы должны вначале разбить эту область на зоны, сообразно природным услови­ ям, и уже затем в каждой зоне отбирать для исследования необходимое число колхозов.

В тех случаях, когда о всей совокупности ничего не из­ вестно, единственной гарантией репрезентативности может служить случайный отбор. Для того чтобы отбор был слу­ чайным, нужно все элементы совокупности пронумеровать; номера отобранных элементов должны образовывать случай­ ную последовательность чисел. Проверить случайность ка­ кой-нибудь последовательности чисел нетрудно хотя бы методом серий (см. п. 7.5). Но здесь речь идет о том, чтсСы со­ здать случайную последовательность, собственной волей имитировать случай.

Имитация случая является весьма трудной задачей. Как бы вы ни старались, выписывая числа, делать их случай­ ными, в них обязательно проявится (особенно при больших объемах) какой-то бессознательно выбранный вами план. Можно провести следующий эксперимент. Предложите

256 § 10. ВОПРОСЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

кому-нибудь на выбор подбросить 100 раз монету, выписывая последовательность гербов и цифр в виде единиц и нулей, или же, не подбрасывая монету, самому произвольно выпи­

Итак, «подделать» случайность трудно. Тем не менее, в очень многих исследованиях случайный отбор или случай­ ное перемешивание (рандомизация) данных настоятельно необходимы. Как же быть в таких ситуациях?

На помощь случаю может прийти... сам случай. Выпиши­ те все номера элементов совокупности на отдельных би­ летиках, положите их в какой-нибудь закрытый сосуд, перемешайте и тяните билетики — столько, сколько вам нужно. Случайность вытянутых номеров будет полностью обеспечена.

Можно воспользоваться и другим способом. Если взять, например, восьмизначные таблицы логарифмов (или сину­ сов, тангенсов и т. п.), то последние три-четыре цифры в табличных числах будут абсолютно случайными. Берите подряд нужное количество двух-, трехили четырехзначных чисел, составленных из этих последних цифр, и случайность выбора вам вновь будет гарантирована.

Конечно, найти такие таблицы не так-то легко. По­ этому для удобства пользования получаемые таким обра­ зом случайные числа выписывают в виде специальных таблиц (таблица XIII Приложения к настоящей книге).

Пользоваться таблицей случайных чисел очень просто. Допустим, вам нужно отобрать 10 элементов из совокупно­ сти, содержащей 100 элементов. Пронумеруйте все элементы от 00 до 99. Затем, начиная с любого места таблиц, выпи­ шите две последние цифры десяти идущих подряд чисел. Получившиеся номера и покажут, какие элементы надо ото­ брать. Так, начиная с первого числа мы получим номера

82 49 18 48 09 50 17 10 3-7 51

(если числа будут повторяться, их надо опустить). Выбранную последовательность случайных чисел в даль­

нейшем никоим образом нельзя изменять. Нужно помнить: именно случайность служит основой применения методов математической статистики, именно она обеспечивает репре-

ошибки первого рода была не больше а, мы должны считать гипотезу неверной только, если яОНд^а, где и1_а— кван­ тиль стандартного нормального распределения. Действи­ тельно, с доверительной вероятностью 1—а справедлива односторонняя оценка

а ^ х — иг_ао,

которая позволяет утверждать, что а> 0 лишь при х > и 1_1Хо. Если окажется, что х ^ .и 1_аа, то мы будем вынуждены рассматриваемую гипотезу признать справедливой, хотя, возможно, допустим при этом ошибку второго рода. Веро­ ятность неравенства хк^и1_а о зависит от того, каким на са­ мом деле является а. Если обозначить через F(x) функцию нормального распределения со средним а и дисперсией а2,

то

Р {* = F {u 1_aa).

Используя функцию Лапласа (п. 3.2), получим, что

Р^< Ц1-.р 1= У + Ф ( ‘'1~'-° — ) = | + Ф («!-.— £).

Если а > 0, то принимаемая гипотеза неверна. Однако при этом а может быть сколь угодно близким к нулю, а это

значит, что Ф [их_л— ^ будет сколь угодно близко к

0(Wi_a) = y —а. Иными словами, максимальная вероят­ ность ошибки второго рода равна

Р = у + Ф(м1- а) = 1 —а-

Например, при обычном уровне значимости а=0,05 будет Р = 0,95, т. е. мы почти всегда ошибемся и примем неверную гипотезу.

Итак, желая застраховать себя от несправедливого от­ клонения верной гипотезы, мы впадаем в другую крайность, объявляя правильными почти сплошь неверные гипотезы. Точно такая же картина возникнет, если в качестве отправ­ ной точки взять фиксированную малую вероятность р. Для того чтобы вероятность принять неверную гипотезу не пре­ вышала р, мы должны будем отклонять гипотезу уже при

Действительно,если вместо одиночного провести лпараллельных наблюдений и рассмотреть их среднее х, то его диспер-

сия а=^= — . Проверяя гипотезу по значению х, мы долж­

критерия задается обычно заранее, наряду с вероятностями а и 0. Это позволяет сразу же определить необходимое число

Проиллюстрируем сказанное конкретным примером. Лаборатория химического завода проверяет выпускаемую продукцию, чтобы содержание вредной примеси не превы­ шало 0,04%. Ошибка воспроизводимости одиночного ана­ лиза а= 0 ,002%. Требуется, чтобы вероятность пропустить бракованную продукцию не превышала 0= 0,02. Вместе с тем анализ не должен браковать хорошую продукцию. Ра­ зумеется, если содержание примеси в продукции «на преде­ ле», какие-либо гарантии дать трудно. Но мы можем, напри­ мер, потребовать, чтобы вероятность забраковать продук­ цию с содержанием примеси ниже 0,036% (достаточно хорошая продукция) не превышала а = 0 ,05. Нужно опреде­ лить число параллельных анализов п, которое позволило бы удовлетворить всем поставленным требованиям.

Чтобы использовать проведенные ранее теоретические рассуждения, будем в качестве случайной величины £ рас­ сматривать отклонение результата анализа примеси от за­ данного предела 0,04. Генеральное среднее а величины £ даст истинное значение этого отклонения. Предположение «продукция годна» совпадает с гипотезой а ^ 0 . Вероятно­ сти а и 0 заданы в явном виде, допустимую неопределен­ ность критерия легко найти:

6 = 0,04 —0,036 = 0,004.