1139

102 $ 5. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

непрерывной случайной величины £ с плотностью распре­ деления /(х) называется величина

+ со

тк= ^ (х — / (jt) dx.

—оо

Число k называется порядком момента; оно может прини­ мать любое целое положительное значение. Нетрудно про­ верить, что момент первого порядка равен нулю, момент второго порядка есть дисперсия. Если дисперсия дает лишь общую оценку рассеяния значений случайной величины, то моменты дают уже более детальные сведения — они ха­ рактеризуют крутизну, степень симметричности графика плотности распределения и т. п.

Для выборки с элементами хъ х2, ..., хп моменты опреде­

ляются формулой

П

mk = - ^ ^ ( x i — x)k. i =i

Наиболее важную роль играют выборочные моменты треть­ его и четвертого порядков (см. п. 7.1).

Моменты являются общими (интегральными) характе­ ристиками распределения. Вторая группа параметров ха­

F ( t P) = P-

Иными словами, квантиль £ есть такое значение случайной величины £, что Р{£<£,, }=р. Вероятность р, задаваемая в процентах, дает название соответствующему квантилю; например, £0)3 называется 30%-ным квантилем.

Квантили стандартного нормального распределения (т. е. распределения с параметрами а=0, а=1) обозначаются

Приложения. Если р < у , то, подбирая такое х, для кото­

рого Ф(.<)=** ~ —р, мы найдем, чтои^——х. Если же р>-^-,

ир=х, например, 40%-ный квантиль ы0)4= —0,25; 85%-ный квантиль WO)85= 1,04. Д ля удобства пользования некоторые часто употребляемые квантили стандартного нормального распределения приводятся в

отдельной таблице II Прило­ жения.

Квантиль vp общего нор­ мального распределения с параметрами а и а выражает­ ся через квантиль ир стан­ дартного распределения по формуле

Например, 40%-ный квантиль для нормального распреде­ ления с параметрами а= 4, сг=2 равен

t;0(4 = 4 + 2 (—0,25) = 4 —0,5 = 3,5.

Понятие квантиля используется не только для нормаль­ ного, но и для большинства встречающихся в дальнейшем распределений. Если известны два квантиля, \р и то

Р Ц Р< 1 < 1 ,} = < 7 -р ;

на этом равенстве и основывается использование квантилей. Некоторые часто встречающиеся квантили носят спе­ циальные названия. Так, квантили | LH £ 3 называют квар-

мый медианой распределения. Если изобразить график плот­ ности распределения (рис. 18), то вертикальная прямая, проходящая через медиану, рассечет пополам площадь между графиком плотности и осью абсцисс (одна из таких половин на рис. 18 заштрихована); площадь каждой поло-

вины равна у1.

104 § 5. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Отметим, что медиана может не совпадать с математиче­ ским ожиданием распределения. Если же распределение симметрично, то = М£. Выше уже упоминалось, что рас-

2

пределение случайных ошибок симметрично. Поэтому при отсутствии систематических и грубых ошибок в качестве истинного результата можно брать как математическое ожидание, так и медиану распределения.

и для выборок) понятие квантиля используется редко. Чаще других используется выборочная медиана, т. е. такое значе­ ние, для которого эмпирическая функция распределения

Fn( x ) = Y . В силу ступенчатости графика Fn(x) подобных

значений бесчисленное множество, поэтому понятие выбо­ рочной медианы несколько уточняют. А именно, нужно все элементы выборки расположить в возрастающем по­ рядке и в качестве медианы взять средний из них (т. е. такой, слева и справа от которого расположено одинако­ вое число элементов). Если выборка имеет четный объем, то у нее два средних элемента и нужно брать их полусумму.

Выборочная медиана является состоятельной и несме­ щенной оценкой генерального среднего, поэтому ее, так же как и выборочное среднее, можно брать в качестве прибли­ жения к истинному результату. Помимо простоты вычисле­ ния, у медианы есть еще одно преимущество перед выбороч­ ным средним: при достаточно большом объеме выборки ее распределение как случайной величины близко к нор­ мальному, независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Эти преимущества, правда, пор­ тит малая по сравнению с выборочным средним эффектив­ ность медианы — ее дисперсия в полтора с лишним раза больше дисперсии среднего. Поэтому медиану редко ис­ пользуют при обработке нормально распределенной сово­ купности.

Третья группа параметров определяется только для вы­ борок и служит главным образом для проверки однородно­

сти испытаний (см. п. 6.5). Сюда относятся такие парамет­ ры, как размах (или амплитуда) выборки — разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки; наиболь­ шее абсолютное отклонение, т. е. наибольшая по абсолют­ ной величине разность между элементами и средним выбор­ ки. Если в выборке многие элементы повторяются, то ис­ пользуют понятие моды — элемента с наибольшим числом повторений.

Определенные в этом пункте параметры используются в различных разделах статистического анализа. Отметим еще одну их сторону, не менее важную, по крайней мере для обработки наблюдений. Каждая серия наблюдений над

Особенно важна такая информация, если сопоставляются и анализируются результаты, полученные в различных лабораториях, различными исследователями. Эти резуль­ таты найдены на разных установках, с различной тщатель­ ностью — не зная всех деталей, провести надежный анализ невозможно.

С результатами других исследователей экспериментатор знакомится главным образом по публикациям. Какихнибудь 50-100 лет назад экспериментаторов было немного, и они могли в публикациях подробно описывать все прибо­ ры, методику, качество работы. Однако со временем число публикаций настолько возросло (подсчитано, что этот рост имеет экспоненциальный характер), что их размеры при­ шлось резко сокращать; этот процесс продолжается и сей­ час. Нет возможности опубликовывать не только описа­ ния, но даже все цифровые данные, полученные при наб­ людениях. Все настоятельней стала необходимость сверты­ вать информацию, причем для свертывания нужны такие показатели, которые самым наглядным и компактным об­ разом характеризовали бы не только результаты, но и ка­ чество исследования.

Наилучшим в этом отношении показателем является дис­

106 §5- ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

исследования. Простое сравнение дисперсий позволяет находить лучший метод исследования, выделять в изучае­ мом процессе наиболее сильно действующие факторы, выяснять неслучайность тех или иных событий и многое другое.

Если есть возможность, желательно указывать и неко­ торые другие параметры, что еще лучше охарактеризует полученный результат. Особенно важны такие сведения, если распределение генеральной совокупности не является нормальным.

5.2. Доверительные интервалы и доверительные вероят­ ности. Выше неоднократно отмечалось, что выборочные параметры могут служить приближенными оценками соот­ ветствующих генеральных параметров. При этом ограничи­ вались простым утверждением, что погрешность такой оценки тем меньше, чем больше объем выборки. Теперь настало время выяснить, каким образом оценивается по­ добная погрешность.

Все выборочные параметры являются случайными ве­ личинами, следовательно, и их отклонения от генеральных параметров (погрешности) также будут случайными. Та­ ким образом, вопрос об оценке этих отклонений носит ве­ роятностный характер: а именно, можно лишь указать ве­ роятность той или иной погрешности. Фактически мы ре­ шаем при этом задачу, рассматривавшуюся в п. 2.2,— найти вероятность того, что некоторая случайная величина Av (в нашем случае — отклонение выборочного параметра v от исследуемого генерального) не превосходит по абсолют­ ной величине некоторого заданного числа е, т. е. находится в пределах от —е до е. Эта задача легко решается, если известна функция распределения F(x) или плотность распре­ деления f(x) величины Av:

Распределение отклонения Av есть смещенное распре­ деление самого параметра v. У этих распределений одина­ ковые дисперсии и все соответствующие моменты, разли­ чаются у них лишь математические ожидания. Иногда рас-г

пределение Av удается довольно точно (в пределах точности всех производимых вычислений) определить по элементам выборки, иногда это распределение вообще зависит только от объема выборки п и его можно вывести теоретически. Во всяком случае, знание этого распределения является обязательным условием для проведения соответствующего анализа.

Итак, допустим, что распределение Av известно; в част­ ности, известно M(Av). Если бы при этом было известно математическое ожидание самого параметра v, то величина /=M v—M(Av) дала бы точное значение генерального пара­ метра. Однако Mv, как правило, неизвестно. Поэтому за­ дачу о генеральном параметре решают следующим образом: находят из опыта (по выборке) одно значение v0 выбороч­ ного параметра v и принимают его за приближенное значе­ ние генерального параметра /. Полученное выше неравен­ ство (5.2) позволяет оценить это приближение.

ний случайной величины v, то вероятность неравенства |v„—/|sST.e также равна Р.

Мы получаем формулу

8

р { К —/ |< е } = Р(е) —Р ( —е )= $ f(x)dx,

- е

позволяющую сравнивать найденное значение выборочного параметра с неизвестным генеральным параметром.

вестному генеральному параметру /; вероятность нового не­ равенства по-прежнему равна Р. Мы сталкиваемся здесь с неравенством иного типа, чем раньше, при изучении слу­ чайных величин, а именно, неизвестная (но не случайная) величина / оценивается случайными границами, ибо опреде­ ленное по выборке значение v0 является, вообще говоря, случайным. Подобная ситуация постоянно встречается в математической статистике, где для оценки любого, пара­ метра генеральной совокупности используются выборочные, а значит, случайные величины.

108 § 5. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

лять вероятность соответствующей оценки. Наиболее удоб­ но в качестве границ v' и v" брать квантили одной какойлибо случайной величины v. Вероятность оценки

находится тогда очень лег­ ко и равна q—р.

Можно решать и обрат­ ную задачу: по заданной вероятности определить границы. Эта задача имеет бесчисленное множество решений — например, ве­

где 0<Са<[1—р. При обработке наблюдений для оценок бе­ рут, как правило, симметричные, квантили. В этом случае вероятности р соответствует оценка

Связь между квантильными границами и соответствую­ щей вероятностью хорошо видна, если воспользоваться графиком плотности распределения величины v (рис. 19).

Квантили v(1_p)/2 nv(1+p)/2 находятся на одинаковом рас­ стоянии от начала координат соответствующие им орди­ наты отсекают площадь,равную р (на рис. 19 заштрихована).

Как же пользоваться полученными оценками на прак­ тике? Ведь все практические рекомендации должны но­ сить категорический характер. Например, исследуя грунт, мы должны дать ответ, можно или нельзя здесь строить плотину; вряд ли строителей удовлетворит ответ: «Стройте с вероятностью 0,9». Более того, на основании наблюдений человечество сумело за всю историю науки сделать немало важных выводов, правильность которых подтверждена всем дальнейшим прогрессом. А ведь мы только что пока­ зали, что все эти выводы держатся лишь на случайных опенках!

И еще одно соображение: производя различные измере­ ния, мы привыкли всегда указывать определенный, досто­ верный результат измерения. Если же мы и указываем

Возникшее противоречие между теорией и практикой оказывается легко устранимым. Во всех перечисленных слу­ чаях результаты действительно являются достоверными. Однако при этом речь идет о так называемой практической достоверности, в отличие от абсолютной (или теорети­ ческой).

Событие называется абсолютно достоверным, если оно появляется при любом осуществлении комплекса основных факторов (именно так определялась достоверность в п. 1.1). Абсолютную достоверность нельзя установить никакой самой длительной проверкой, ее можно вывести лишь тео­ ретически, путем логических умозаключений. Сюда отно­ сятся в основном математические истины и некоторые вы­ воды других точных наук.

Большинство привычных достоверных событий при ближайшем рассмотрении не оказываются достоверными абсолютно. Нельзя, например, считать абсолютно достовер­ ным тот факт, что подброшенная монета упадет или гер­ бом, или цифрой — ведь у монеты есть и другие состояния равновесия (скажем, на ребре). Даже строго математически доказанные теоремы не всегда можно считать абсолютно достоверными, так как сюда примешивается возможность ошибки доказавшего теорему математика; могут ошибаться и те,, кто проверял доказательство.

Таким образом, безупречное с научной точки зрения понятие абсолютной достоверности оказывается совершенно неприемлемым с практической точки зрения. Однако отбра­ сывать это понятие нельзя. Вспомним выводы, связанные с последовательностью независимых испытаний (п. 1.5). Вероятность того, что событие И с вероятностью р осущест­ вится во всех п испытаниях, равна р". Но при p<L1 (как бы ни было.р близко к 1) обязательно рп->~0 при п -м ». А это значит, что проводя достаточно большое число испытаний, гуты обязательно получим такое испытание-, в котором

ПО §s. ОСНОВНЫЕ ЗАД АЧ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

событие А не произойдет. Если же вспомнить геометрическое определение вероятности, то мы столкнемся с событиями, вероятность которых даже равна 1 и которые, тем не ме­ нее, в отдельном испытании могут не произойти.

Итак, вопрос о том, какие результаты исследования можно считать практически достоверными, оказывается далеко не простым. Все в конечном счете зависит от того, сколь велико число дальнейших применений этого резуль­ тата, а также сколь велика опасность единичной ошибки. Так, например, вероятность ясной погоды 0,9 достаточна для того, чтобы выйти йз дому без зонтика; однако если 0,9 — это вероятность того, что у некоторого вещества не будет самопроизвольного взрыва, вряд ли вы станете не­ брежно хранить это вещество.

Из всего сказанного ясно, что событие А с вероятностью р& 1 может считаться практически достоверным, если чис­ ло п всех реально проводившихся ранее и проводимых в будущем испытаний над этим событием невелико, т. е. вероятность рп м'ало отличается от 1. Определение, как мы видим, весьма расплывчатое и к тому же несет в себе психо­ логический элемент (оптимизм или скептицизм самого ис­ следователя). Поэтому лучше всего регулярно указывать вероятность {уровень достоверности) каждого получаемого результата.

Отметим еще одно обстоятельство. Вероятность боль­ шинства реальных событий заранее неизвестна и вычис­ ляется опять-таки с помощью испытаний. Поэтому каждое реально проведенное испытание, при котором появилось событие А, с одной стороны, Приближает то «роковое» испы­ тание, в котором событие А может не появиться, а с другой стороны, увеличивает вероятность события А и, значит,

Вернемся к вопросу об оценках генеральных парамет­ ров. Использование принципа практической достоверности позволяет не доводить окончательную вероятность оценки до 1 (Что дало бы бесконечный интервал в качестве границ), а считать окончательной менее вероятную оценку. Прини­ маемый при этом уровень достоверности называется до­