Свойства определителей.

1. Определитель матрицы равен нулю, если она содержит строку (столбец) с нулевыми элементами.

2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) матрицы можно выносить за знак определителя.

Следствие: Чтобы умножить определитель на скаляр, достаточно умножить на него элементы только одной строки (столбца) исходной матрицы.

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

5. Определитель матрицы, содержащей, по крайней мере, две одинаковых строки (столбца), равен нулю.

6. Определитель матрицы, содержащей две (или более) пропорциональных строки (столбца), равен нулю.

7. Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) матрицы равна нулю.

,

(доказывается заменой в - той строки на- тую). Объединяя это свойство с утверждением теоремы Лапласа, имеем

8. Если любой элемент строки матрицы является суммойслагаемых, то ее определитель может быть представлен в виде суммыопределителей-го порядка. Например,

.

Линейной комбинацией строк (столбцов) называется строка (столбец), полученная суммированием соответствующих элементов исходных строк (столбцов), умноженных на некоторые постоянные для каждой строки (столбца) числа, не равные одновременно нулю.

Например, произвольная линейная комбинация -той,-той и-той строк имеет вид:

Линейная комбинация называется произвольной, т.к. числа ,,- произвольные (но не равные нулю одновременно) постоянные числа, илинейной – потому, что элементы входят в нее только в первой степени и не перемножаются друг на друга.

Теперь мы можем сформулировать следующее свойство:

10. Определитель матрицы не изменится, если к любой ее строке прибавить произвольную линейную комбинацию любых двух ее строк. В частности, если положить ,, то определитель не изменится, если к какой-либо строке матрицы прибавить другую, умноженную на.

Если в матрице какая-либо строка является линейной комбинацией других строк, то говорят, что оналинейно-зависима. Если же строку матрицы нельзя представить в виде линейной комбинации других строк, или, в частном случае, ее элементы не пропорциональны элементам ни одной другой строки, то говорят, что данная строка является линейно-независимой.

11. Определитель матрицы равен нулю, если она содержит хотя бы одну линейно-зависимую строку. Если определитель матрицы равен нулю, но среди ее миноров порядка, есть хотя бы один, отличный от нуля, то данная матрица содержит ровнолинейно-независимых строк. Так, если в матрицеесть хотя бы один отличный от нуля элемент, то она содержит хотя бы одну линейно-независимую строку.

12. Определитель произведения двух квадратных матрициравен произведению их определителей:

.

Т.к. , то, даже если.

Использование сформулированных свойств существенно упрощает вычисление определителей. Преобразуя исходную матрицу , мы можем добиться, чтобы какая-либо строка будет содержать только один ненулевой элемент. Тогда вычисление определителя порядкабудет сведено к вычислению только одного определителя порядка.

Например, требуется вычислить определитель:

Прибавим ко второму столбцу третий, умноженный на 2, и к первому – третий, умноженный на –4. В результате получим

Разлагая по третьей строке, получим

теперь в определителе третьего порядка к первому и второму столбцам прибавим третий, умноженный на –13 и 4 соответственно:

.