Экстремум функции нескольких переменных

Исследование функций многих переменных выполняется по схеме, аналогичной для функций одной переменной. Наиболее важными характеристиками являются экстремумы — то есть точки минимума и максимума и соответствующие им значения функции

Точка М(х₀,у₀) называется точкой максимума (минимума) функции Z=f(х, у), если существует такая окрестность точки М, в которой выполняется неравенство

f(х₀ , у₀) f(х , у) (f(x₀ , y₀) f(x , y)).

Максимум и минимум функции являются локальными понятиями.

Необходимое условие экстремума формулируется теоремой:

Теорема. Если точка (х₀,у₀) — точка экстремума диф- ференцируемой функции Z= f(х,у), то частные производные ив этой точке равны нулю,

Точки, в которых частные производные иравны нулю, называютсякритическими. В точке минимума или максимума дифференцируемой функции ее градиент равен нулю.

Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных также дается теоремой:

Теорема. Пусть функция Z = f(x ,y) определена в некоторой окрестности критической точки (х₀ ,у₀), в которой ии имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если Δ = AC – B² > 0, то в точке (х₀ , у₀) функция Z = f(x ,y) имеет экстремум, причем если А < 0 — максимум, если А < 0 — минимум. В случае Δ = AC – B² < 0, функция z = f(x ,y) экстремума не имеет. Если Δ = AC – B² = 0 то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводится по следующей схеме:

а) Находятся частные производные функции и;

б) Решается система уравнений = 0,= 0 для нахождения критических точек;

в) Находятся частные производные второго порядка и вычисляются их значения в каждой критической точке. С помощью достаточного условия делается вывод о наличии или отсутсвии экстремумов;

г) Находятся экстремальные значения функции.

Пример. Найти экстремумы функции

а) Находим частные производные

б) Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1). в) Находим частные производные второго порядка:

вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в них выполнение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) А = ; B = –2; C = –2 . Так как Δ = AС – В² = (–2)² – 0= 4 > 0 и А = –2 < 0, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (–1; –1) — точка минимума, а в точках (1; –1) и (–1; 1), в которых Δ = AC–B²< 0 , — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

г) Находим экстремумы функции z_max = z(1 ; 1) = 2 , z_min= z(–1; 1) =2.

При нахождении наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, следует иметь в виду, что эти значения достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.