Частные производные и частные дифференциалы

Придадим аргументу x приращение ∆x, полагая аргумент у неизменным — y=const. Тогда функция Z получит приращение

,

Которое называют частным приращением z по аргументу х. Аналогично, полагая неизменным аргумент х, и придавая аргументу у приращение ∆у, найдем частное приращение функции z по аргументу у:

Отношения дают среднюю скорость изменения Z по соответствующим аргументам. Истинные же скорости мы получим, когда или .

Частной производной первого порядка функции Z=f(x,y) по одному из аргументов называется предел отношения соответствующего приращения функции к приращению этого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Правила, формулы и приемы нахождения частных производных аналогичны правилам, формулам и приемам для функций одной переменной. Отличие заключается в том, что при нахождении производной, например по переменной х, все остальные переменные считаются постоянными величинами

Пример 1. Задана . Найти .

Z’_x=

=

Z’_y=

=

Пример 2. Задана функция U(x,y,z). Найти U_z’

По аналогии можно ввести понятия второй, третьей и других частных производных более высокого порядка по соответствующим переменным. Например производные второго порядка определяются следующими формулами:

Теорема. Если имеет всевозможные частные производные до k-1 порядка включительно и имеет непрерывные смешанные производные до k-го порядка, то значения k-й смешанной производной не зависит от порядка её вычисления, а определяется лишь общим числом дифференцированием по любому из аргументов.

Справедливость последней теоремы иллюстрирует пример 3:

Пример 3. Вычислить частные производные первого, второго и третьего порядков для функции .

Частным дифференциалом функции — по аргументу (или у) называют главную линейную относительно x (или y) часть частного приращения функции — _хZ (или _уZ ), линейную относительно x (или y)

Пусть дана функция или . При переходе из точки М_о(х_о,у_о) в точку Р(х_о+x, у_о+у) , Z получит полное приращение Z:

Полным дифференциалом dZ функции называется главная часть полного приращения этой функции, линейная относительно x и y:

dZ = dx + dy

Функция, имеющая дифференциал dZ в данной точке (области) называется дифференцируемой в этой точке (области). Дифференцируемая в точке функция имеет в частные производные первого порядка.

Производная в данном направлении. Градиент функции

Частные производные и определяют скорость изменения при изменении или . Геометрически частные производные – и – определяют «крутизну» поверхности , заданной уравнением Z=f(x,y), в соответствующей точке в направлениях и , т.е. вдоль кривых и на поверхности , лежащих в координатных плоскостях и .

Будем теперь рассматривать скорость изменения в точке в произвольном направлении, образующим угол с осью . Геометрически это означает определение крутизны в точке вдоль кривой .

Производной в направлении — от функции в точке называется предел отношения приращения функции , возникшего при перемещении точки из вдоль луча, составляющего угол с положительным направлением к величине такого перемещения, когда .

.

В силу определения равна угловому коэффициенту касательной к кривой :

.

Доказывается, что для функции двух переменных, производная по направлению  выражается через частные производные следующей формулой:

Если же U функция трех переменных U=f(x,y,z), то

,

Где cos , cos , cos  — направляющие косинусы направления .

Пример. Вычислить производную от функции в точке , в направлении .

, ,

.

Подставим теперь координаты точки М:

.

При изучении поведения функции в данной точке пространства большой интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания в этой точке. Он решается, если рассмотреть как функцию и найти ее максимум. Для этой цели вводится специальный вектор, называемый градиентом .

Градиентом функции в точке называется вектор, расположенный в плоскости ХОУ, имеющий начало в точке и проекции на координатные оси, равные значениям частных производных в :

, где i и j – орты.

Доказывается, что направление градиента – направление быстрейшего возрастания функции Z, а модуль градиента численно равен наибольшей скорости возрастания этой функции:

,

при этом .

Направление, противоположное градиенту, является направление быстрейшего убывания функции .

Для функции трех переменных градиент определяется формулой: