Функция нескольких переменных Функция и её геометрическое толкование

Переменная  называется функцией двух независимых переменных x и y, если любой паре числовых значений x₀ и y₀, принадлежащей области их изменения D соответствует единственное числовое значение .

В этом случае D называют областью определения функции . Факт зависимости Z от переменных x и y записывают символами:

=f(x,y), =(x,y), =(x,y) и т. п.

Например площадь прямоугольника S_прям., равная произведению основания на высоту, является функцией двух переменных S_прям.= Z = x y, где x – основание, а y – высота.

Отметим, что определение верно для любого числа независимых переменных x₁ , x₂ …x_n :

u=( x₁ , x₂ …x_n).

Экономические процессы и явления требуют для своего описания, как правило, очень много переменных. Результат экономической деятельности всегда зависит от множества факторов и по этой причине наиболее часто в экономике используются функции многих переменных. Некоторые примеры экономических функций приведены ниже:

Логарифмическая функция ,a_i>0, x_i-c_i>0; Функция постоянной эластичности . Здесьa_i > 0, 0< b_i < 1; х_i > с_i 0.

На случай п переменных можно обобщить и понятие производственной функции. Если z — величина общественного продукта, х₁ — затраты труда а х₂ — объем производственных фондов, то функция Кобба—Дугласа запишется в виде:

z = b₀

а функция с постоянной эластичностью замещения:

z = e₀

Пусть x и y это координаты точки M( x, y). При изменении x и y в пределах области D точка М будет перемещаться по координатной плоскости ХОУ и каждой точке М будет соответсвовать единственное значение . Другими словами =(М). Т.е. мы будем получать некоторую поверхность в пространстве. Например уравнение поверхности верхней полусферы радиусом 1 и с центром в начале координат имеет вид:

Область допустимых значений переменных х и у — D определяется неотрицательностью подкоренного выражения: . Отсюда получаем неравенство_, то есть круг с радиусом R=1.

Функция трех переменных u=( x, y, z) – может быть истолкована как функция точки в трёхмерном пространстве XОYZ.

Предел функции. Непрерывность.

О пределе функции 2-х переменных можно говорить тогда, когда при М → М₁, т.е. при х→а, у→b, (М)→(М₁)= С.

Число С есть предел функции Z=f(M) при М → М₁, если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0 существует такое положительное число  =δ(ε)>0, что неравенство будет выполнено сразу же, как только расстояние между точкамиМ и М₁ станет меньше  (то есть ). Этот факт записывают следующим образом:

или

Функция называетсянепрерывной в точке , еслиZ определена в окрестности P, имеет предел при М→Р и этот предел равен .

Функция называетсянепрерывной на интервале(a, b), если она непрервна в каждой точке этого интервала

Непрерывные функции нескольких переменных обладают всеми свойствами, сформулированными для непрерывных функций одной переменной.

Всякая предельная точка области области определения функции , не являющаяся точкой непрерывности естьточка разрыва

Например функция имеет точку разрывах = 0, у = 0. Функция — линию разрыва: прямуюу=х, а функция — линию разрывау=х².