Интегрирование рациональных функций

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. двух многочленов

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени полинома знаменателя.(m<n)

Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (mn)

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь M(x)- многочлен, правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

I.

II.

III. ( не имеет действительных корней)

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.

Теорема

Е сли знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

,то дробь

может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Д ля определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следущем:

В правой части разложения простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен P(x),

п осле чего знаменатель P(x) в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен F(x) , а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты

П риравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов

Например:

Найти интеграл

П одынтегральная дробь неправильная. Поэтому надо сначала выделить целую часть. Для этого поделим многочлен на многочлен и данную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной дроби:

Н апишем разложение

П риводим к общему знаменателю, и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

О тсюда A= -1, B=1

Окончательно имеем

С ледовательно

Пример 2

Напишем разложение:

Приводим его к общему знаменателю и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

A+C=1

2A+B+4C+D=6

4A+4C+4D=8

8A+4B+4D=8

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид

Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Интегрирование иррациональных выражений, вообще говоря, предствляет большую трудность.

Многие интегралы от иррациональных функций не выражаются через элементарные функции. Поэтому мы рассмотрим только некоторые частные случаи, когда заменой переменных можно от интеграла от иррациональной функции. Поэтому мы рассмотрим только некоторые частные случаи, когда заменой переменных можно перейти от интеграла от иррациональной функции перейти к интегрированию рациональных выражений.

1.Рассмотрим интеграл вида

где R-рациональная функция, m, n, … p,q –целые числа

Пусть к-общий знаменатель дробей …

П рименим подстановку

Тогда каждая дробная степень выразится через целую степень t и иррациональная функция преобразуется в рациональную

Например

П рименим подстановку

2. И нтегралы вида

вычисляются с помощью подстановки

где -наименьшее общее кратное чисел n…q

Например:

О бозначим тогда