Интегрирование методом подстановки.
Пусть требуется найти интеграл
З
аменим
переменную в подынтегральном выражении,
положив вместе где непрерывная вместе
со своими производными функциями.
Получим
После интегрирования по переменной t перейдем к прежней переменной x, вновь воспользовавшись формулой x=(t)
Например
Сделаем замену переменной, положив , тогда интеграл примет вид
На практике чаще всего удобнее применять замену не в виде
x=(t), а в виде t=(x).
Покажем это на примерах :
1.Найти
Положим , отсюда выразим х и найдем dx
,
Тогда
2.
Полагаем , тогда
3
.
Положим sin(x)=t тогда cos(x)dx=dt
Метод подведения под знак дифференциала.
Пусть требуется найти интеграл
Где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку t=(x), получим
Например:
Найти интегралы
1.
О
бозначим
, тогда
Следовательно
2.
Обозначим , тогда
И
нтеграл
примет вид
3.
4.
5.
Интегрирование по частям.
Формула интегрирования по частям имеет вид
Справедливость формулы вытекает из того факта, что
Отсюда, интегрируя получаем
Откуда
Формула интегрирования по частям сводит вычисление интеграла
К
вычислению интеграла . Поэтому
метод интегрирования
по частям применяют тогда, когда подынтегральное выражение представляет произведение двух дифференцируемых функций, причем производная от одной из функций, проще, чем заданная функция.
Например:
1.
тогда
полагаем
с
ледовательно
2.
тогда
п
олагаем
с
ледовательно
3.
тогда
Применим формулу интегрирования по частям повторно:
П
олагаем
4.
тогда
полагаем
С
ледовательно
Интеграл правой части снова берем по частям
П
олагаем
Тогда
С
ледовательно
Следовательно
О
ткуда
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Для вычисления интегралов вида
Содержащих квадратный трехчлен, поступают следующим образом:
Выделяют полный квадрат из трехчлена, стоящего в знаменателе
2
.
Обозначают , ,
3.Вычисляют интегралы с помощью одной из формул (12)-(16) непосредственно по таблице интегралов
Например:
1
.
Вычисления интегралов вида
Содержащих в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе двучлен первой степени применяют следущие преобразования
1. В числителе из двучлена Mx+N выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе
Полученный таким образом интеграл представляют в виде суммы двух интегралов, первый из которых вычисляют методом подведения под знак дифференциала; второй – способом указаным в начале этого параграфа
Например:
