Калужский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана

Кафедра высшей математики

Интегралы Краткий курс лекций

Составитель Ю.В.Обрубов

Калуга - 2012

Неопределенный интеграл.

В дифференциальном исчислении основной задачей является нахождение производной дифференциала от данной функции.

В интегральном исчислении основной задачей является обратная задача – отыскание функции F(x) по заданной ее производной f(x) или дифференциалу f(x)dx, т.е. для данной функции f(x) надо найти такую функцию F(x), что:

и ли

Опр.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) если на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняются равенства

и ли

Например, для функции , то первообразная

будет т.к.

Л егко видеть, что если F(x) первообразная функции для функции f(x), то функция (F(x)+C) тоже является первообразной для функции f(x), так как .

Опр.

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

Функция F(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx –подынтегральным выражением.

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2 . Дифференциал от неопределенного интеграла равен

3 . Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

4 .Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Д ля доказательства достаточно найти производные от левой и прав

ой частей этого равенства

5 . Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Д ля доказательства найдем производные от левой и правой частей равенства

6. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x)

первообразной для функции f(x), то функция

я вляется первообразной для функции f(ax+b) или, если

, то

Д ля доказательсва найдем производные от левой и правой частей равенства

Таблица интегралов.

Т аблица интегралов получается непосредственно из определения и таблицы производных

1. n-1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1 0.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Заметим, что последних формул нет в таблице производных. Однако непосредсвенным дифференцированием функций, стоящих в правых частях равенств они легко могут быть доказаны.

Например формула 12:

Аналогично проверяются остальные формулы:

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов и различными алгебраическими или трансцендентными преобразованиями подынтегральных функций можно вычислить многие интегралы.

Например:

1.

2 .

3.

4.

5.

6.

7.