Калужский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана

Кафедра высшей математики

Интегралы Краткий курс лекций

Составитель Ю.В.Обрубов

Калуга - 2012

Неопределенный интеграл.

В дифференциальном исчислении основной задачей является нахождение производной дифференциала от данной функции.

В интегральном исчислении основной задачей является обратная задача – отыскание функции F(x) по заданной ее производнойf(x) или дифференциалуf(x)dx, т.е. для данной функцииf(x) надо найти такую функциюF(x), что:

или

Опр.

Функция F(x) называется первообразной для функцииf(x) если на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняются равенства

или

Например, для функции , то первообразная

будет т.к.

Легко видеть, что еслиF(x) первообразная функции для функцииf(x), то функция (F(x)+C) тоже является первообразной для функцииf(x), так как.

Опр.

Если функцияF(x) является первообразной для функцииf(x), то выражениеF(x)+Cназывается неопределенным интегралом от функцииf(x) и обозначается символом

Функция F(x) называется подынтегральной функцией,f(x)dx–подынтегральным выражением.

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Для доказательства достаточно найти производные от левой и прав

ой частей этого равенства

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей равенства

6. Если функция F(x) является первообразной для функцииf(x)

первообразной для функции f(x), то функция

является первообразной для функцииf(ax+b) или, если

, то

Для доказательсва найдем производные от левой и правой частей равенства

Таблица интегралов.

Таблица интегралов получается непосредственно из определения и таблицы производных

1. n-1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Заметим, что последних формул нет в таблице производных. Однако непосредсвенным дифференцированием функций, стоящих в правых частях равенств они легко могут быть доказаны.

Например формула 12:

Аналогично проверяются остальные формулы:

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов и различными алгебраическими или трансцендентными преобразованиями подынтегральных функций можно вычислить многие интегралы.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Интегрирование методом подстановки.

Пусть требуется найти интеграл

Заменим переменную в подынтегральном выражении, положив вместе где непрерывная вместе со своими производными функциями. Получим

После интегрирования по переменной tперейдем к прежней переменнойx, вновь воспользовавшись формулойx=(t)

Например

Сделаем замену переменной, положив , тогда интеграл примет вид

На практике чаще всего удобнее применять замену не в виде

x=(t), а в видеt=(x).

Покажем это на примерах :

1.Найти

Положим , отсюда выразим х и найдем dx

,

Тогда

2.

Полагаем , тогда

3.

Положим sin(x)=tтогдаcos(x)dx=dt