Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част.-1
.pdf
Если согласно статически возможному приращению напряжений da у имеет место разгрузка, а активное нагружение соответствует действи
тельным приращениям da у, то
л = [Cijmn - с 'цтп(е, X = О ]* !* * # - 2dcsljdzfj > 0.
Знак последнего неравенства был обоснован при доказательстве теоремы 2. Следовательно, |л < ю SO.
Я + Я '
Согласно уравнению виртуальных работ для области £2' и условию
(56) при замене вариаций (5^- = -QySSj) для dzy ф dzy,
jc;Jmn(z, х= 1) [ < я-& ия1 4 |
- а (У]л 2= |
Я + Я ' |
|
= J Сут„(е, X= l)[d C - ^ J ^ e * |
- ^е,у]<Ю + |
Я |
|
+jQ u(d S '-d S jld S * -d S i)dZ> 0.
I
Тем самым доказано, что
- |
- |
> о, |
(63) |
Я+ Я '
азначит
J |
- dttyfcJdQ S 2J (<£,*- dS)du]dL. |
(64) |
Я + Я ' |
т |
|
Равенство имеет место при совпадении статически возможных и действи тельных полей.
Согласно уравнению виртуальных работ, а также условиям сопряже ния (59) и du] - dut = QydSj,
J d<j*de-jdn = J dS*(du° - du')dZ = J Q9dSjdS*dZ,
Я ' |
I |
2 |
J doydZydQ. = j |
= J QvdSjdStdZ. |
|
a |
z |
z |
Следовательно,
Jda\<b*vdCl-\[idS'du] - QydSjdS*)dZ Z n z
> JdoydSydn - J(idSidu] -OydSjdS^dL = JdS,du,dZ
n
I
z
Справедливость сформулированного экстремального принципа доказана.
В частном случае, когда на части 1 и поверхности I заданы условия “жесткого” нагружения (j2,y = 0), а на другой части поверхности l s — ус ловия “мягкого” нагружения (Ry = 0) и требуется, чтобы статически воз можные поля удовлетворяли равенству
^ • " 4 - * г .
соотношение (65) приобретает вид
| Jdol-de'-dCl - JdS*du,dL >^Jdeydeydn - JdSfadL =
a |
zu |
a |
ztt |
= ± ld S ,d u ld Z - ± ld S ,d u ldZ |
|
||
|
zs |
zu |
|
и совпадает с выражением известного экстремального принципа, получен ного с использованием традиционных граничных условий [67].
В рамках рассмотрения статически допустимых полей, отличающих ся бесконечно мало от действительного,
da*j = daу +8(<fey),
функционал W* принимает экстремальное значение при выполнении усло вия его стационарности по отношению к вариациям 5(</а,у), удовлетво ряющим уравнениям равновесия. В этом случае уравнение
Jb{doi])d zij<K l-\ 8(<Я>,)И-QydSj]dZ = 0
Q Z
выражает модифицированный вариационный принцип для упругопласти ческих тел с возможными зонами разупрочнения и граничными условиями контактного типа.
Второй экстремальный принцип касается кинематически возможных приращений деформаций dzijy связанных с приращениями перемещений
dUj соотношениями Коши и удовлетворяющих на границе областей Q и
Q' кинематическим условиям сопряжения
(66)
но таких, что соответствующие им согласно определяющим соотношениям возможные приращения напряжений в области Q не обязательно
удовлетворяют уравнениям равновесия. В области £1' уравнения равнове сия выполняются, отклонения кинематически возможных полей от дейст вительных возникают вследствие отличия возможных и действительных перемещений на общей границе.
Теорема 4. Абсолютный максимум функционала
определенного для всех кинематически возможных полей, отвечает дей ствительному полю приращений деформаций.
Рассмотрим интеграл
П+П' |
т ) |
(68)
Г(Л')
и тождество
2(ds,j - d e v)do9 =
• (dS9dg9 - d o 9<k9) - [ & 9(<S9 -tfo9) + do9((k9 -<%)].
Определим знак следующей величины
П+О' п+су
- JQmn(e, X =ОИтл ~ dem„\dB,j - de^dn.
П + С У
В областях активного нагружения по всем кинематически возмож ным и действительному продолжениям процесса А = 0. В зонах упругого деформирования и разгрузки, производимой как do у , так и do у ,
Л = [Cijmn ~ Q«n(e,X = |
- <ктп){<&ч ~ <ky) > 0, |
что определяется отмеченными ранее свойствами рассматриваемых мате риалов. К аналогичному выражению для величины А придем и при рас смотрении случая, когда do у вызывают нагружение, a do у — разгрузку.
Если согласно кинематически возможному приращению деформаций dZy имеет место активное нагружение, а упругая разгрузка соответствует
действительным приращениям dzijy то
А= [Сфт, - c;jmn(e,x = |
- IdGydzfj > 0. |
Истинность подобного неравенства уже была обоснована при доказатель стве теоремы 2.
Согласно уравнению виртуальных работ для области ГУ и условию (56) при dZy*dZy,
|
J C\jmn(e, X = |
“ |
\& ij “ * 0 |
= |
|
|
Q+O' |
|
|
|
|
|
|
= JQy»m(s»X = 0[^шл ~ |
~ |
JdE2 + |
|
|||
|
Cl |
|
|
|
|
|
+ J Rjj{duj - dUj^dUj - |
diij)dL > 0. |
|
|
|||
|
s |
|
|
|
|
|
Таким образом доказано, что |
|
|
|
|||
|
~ & ij) + do у(<fe^ - |
> 0, |
|
|||
Q |
+ C Y |
|
|
|
|
|
а следовательно, |
|
|
|
|
|
|
\ |
jid a y d E y -d c y d e ^ d C l* |
j{dty - dsiJ)dalJd n . |
(69) |
|||
1Cl+Cl' |
|
|
Q+Q' |
|
|
|
Согласно условиям сопряжения (66) и dS° - dS, = Ryduy,
JddijdZytKl = J(dS; - R ydSjpu. -cto)dL =
С У |
Z |
= J(dS°du° - 2jdS°dui + RydSjdu^dZ, z
JdcydBydQ = J(dS; - R,?du;)(du° - dd,.)ds =
П ' |
I |
= J(dS°du° - 2dS°dUj + Rtjdujdu)dL.
E
Возвращаясь к (69) с учетом (68) и последних соотношений, получим
| da,y<ie;y<iQ- J(У-ЩсЕ* - |
R ^ jd u ^ d Z > |
|
n |
z |
(70) |
|
|
|
> JdcydEydCl - J{2dutdS° - Rydujdu^dZ = -Jdu,dS°dL. |
||
П |
Z |
z |
Экстремальный принцип доказан.
В частном случае, когда
^ ’1е$ = |
^ 1 еы = |
= м/'1еи ““ Ui ’ |
неравенство (70) имеет вид
JdUjdSjdL-^JddydiydQ <
Is л
< JdUjdSjdL - iJdOydEydn = ^ JdS,A,aK - 1J
E $ |
О |
Е $ |
Z „ |
и совпадает с выражением известного экстремального принципа, получен ного с использованием традиционных граничных условий [67].
При рассмотрении кинематически допустимых полей, отличающихся бесконечно мало от действительного,
diy =dEy+S(dzy),
функционал W принимает экстремальное значение при выполнении усло вия его стационарности по отношению к вариациям 5(^6^), удовлетво ряющим соотношениям Коши. В этом случае уравнение
Jda^ds^dD. -J5(<fc,)[aS; -fydu^dZ = О
Q |
Г |
выражает второй модифицированный вариационный принцип для упруго пластических тел с возможными зонами разупрочнения и граничными ус ловиями контактного типа.
Согласно сформулированным принципам,
W* > W > W ,
где
W = j [ - d S ° - dS^jdu°dL = J ( A , - - dutydS°dL,
г 2 г 2
что создает условия для получения верхней и нижней границ в приближен ном решении краевых задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Потеря устойчивости накопления повреждений на заключительной стадии деформирования означает, что образование и рост трещин приобре тает лавинообразный характер. Это проявляется в виде макроразрушения тела и происходит, как уже отмечалось, когда выделяющаяся вследствие разгрузки частей тела упругая энергия совместно с энергией, подводимой со стороны нагружающего устройства, начинают превышать энергетиче ские потребности процесса трещинообразования. Опыты и расчеты под тверждают, что моменту потери устойчивости может соответствовать лю бая точка на ниспадающей ветви в зависимости от характеристик среды в ослабленной зоне, доли ее в объеме деформируемого тела, жесткости ос новного объема в текущий момент, а, кроме того, и нагружающей системы.
Обеспечение условий реализации закритического деформирования элементов конструкций и сооружений является средством использования резервов несущей способности и повышения их живучести — способности оказывать сопротивление внешним нагрузкам на стадии формирования и роста системы трещин или разрушения части элементов конструкций. Кон струкция должна быть спроектирована таким образом, чтобы обеспечива лась необходимая для сдерживания процесса накопления повреждений же сткость системы нагружения тех участков, где максимальна концентрация напряжений от внешней нагрузки. Это достигается путем выбора допусти мых в смысле жесткости граничных условий и геометрических параметров данного несущего элемента.