Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част.-1

Основная трудность при экспериментальном построении полных диаграмм (см. приложение) состоит в создании достаточной жесткости системы нагружения элемента материала. Поскольку испытательная маши­ на воспринимает точно ту же нагрузку, что и образец, то естественно, что указанная нагрузка вызывает не только удлинение образца, но и некоторую упругую деформацию станины, зажимов и других частей машины. Чем больше эта деформация, тем податливее испытательная машина. С этой точки зрения растягиваемый образец и нагружающее устройство могут быть рассмотрены как соединенные последовательно упругие элементы разной жесткости. Величина жесткости испытательной машины может быть выражена отношением нагрузки к перемещению захвата, обусловлен­ ному деформациями всех частей машины.

Обычные испытательные машины имеют жесткость порядка 5-г-60 МН/м, для пресса Гагарина указанная характеристика — 55 МН/м, для раз­ рывной машины Р-5 — 15 МН/м. Жесткость испытательной машины Инс- трон-1195 зависит от величины рабочих нагрузок и увеличивается от 6 -г 8 МН/м при нагрузках, меньших 500 Н, до 57 МН/м при нагрузках 2000 Н и более. С целью исследования закритической стадии деформирования мате­ риалов разработаны устройства для увеличения жесткости стандартных машин, специальные образцы [34, 36], а также испытательные машины с быстродействующей обратной связью. Жесткость специально сконструи­ рованных машин может достигать 165 МН/м.

Однако даже при использовании машин очень большой жесткости может оказаться невозможным построение полных диаграмм деформиро­ вания, что зависит от конфигурации испытательных образцов. Это связано с тем, что по отношению к ослабленной зоне основной объем образца яв­ ляется также частью нагружающей системы, включающей, кроме того, на­ гружающее устройство. При правильном же подборе формы и размеров образца с учетом свойств испытательной машины частичная или полная реализация закритической стадии деформирования вполне осуществима (при отсутствии в силу структурной неоднородности материала механизма локализационной формы потери устойчивости).

Ниспадающая ветвь графика деформационной зависимости при ис­ пытаниях металлических образцов является отражением, большей частью, равновесного прорастания магистральной трещины. В отдельных случаях это справедливо и для композитов. Вместе с теАм, если прочностные и де­ формационные свойства элементов структуры неоднородной среды суще­ ственно отличаются, что характерно для большинства композиционных материалов, то формирования выраженной макротрещины может не про­ исходить. Однако развитое дискретное рассеянное разрушение слабых элементов и в этом случае приводит к спаду на диаграмме. Хаотичность включений обеспечивает последовательность возникновения зон разруше­ ния в отдаленных друг от друга частях неоднородной среды, что создает

преграду для локализации деформаций и позволяет с использованием ве­ роятностных подходов определять связи между средним напряжением и средней деформацией. Определенная структурная неоднородность обеспе­ чивает преимущественный вид деформации, отличный от локализованного. В частности, для тел волокнистой структуры ниспадающий участок диа­ граммы возникает в результате последовательного обрыва неравнопрочных волокон [31]. Характер процесса разрушения неоднородных сред сущест­ венно зависит от степени разброса свойств элементов структуры, поэтому статистические характеристики прочности этих элементов во многом пре­ допределяют параметры ниспадающей ветви, в частности, её наклон, кото­ рый отражает склонность материала к хрупкому разрушению.

Структурное разрушение в качестве, по крайней мере, одной из причин существования ниспадающей ветви на диаграммах деформирова­ ния неоднородных сред отмечено в работах [4-6, 10, 56, 63] на основании результатов математического моделирования процессов накопления по­ вреждений слоистых, зернистых и волокнистых композитов. Описание процессов деформирования и разрушения в рамках использованных моде­ лей структурно-неоднородных сред позволило зарегистрировать и исследо­ вать эффект роста предельных деформаций при увеличении жесткости на­ гружающей системы.

Для объяснения данного эффекта механического поведения можно воспользоваться энергетическим подходом механики разрушения [44] и рассмотреть соотношение между расходуемой (сумма приращений энергии упругой деформации и работы разрушения) и подводимой (приращение работы внешних сил) энергиями при виртуальном, в данном случае не при­ ращении длины трещины, а увеличении доли разрушенных элементов и, следовательно, приращении закритической деформации неоднородной среды, вызванных мгновенно действующим возмущением.

Если при этом под работой разрушения понимать диссипацию энер­ гии, связанную с процессом накопления повреждений, то для элементарно­ го объема материала работа разрушения и увеличение потенциальной энергии упругого деформирования составят удельную работу деформации, которая на любом интервале деформации находится как площадь под кри­ вой равновесной диаграммы. На участке упругого деформирования работа деформации равна приращению упругой энергии (работа разрушения равна нулю), на площадке текучести приращение упругой энергии отсутствует, а работа деформации равна работе разрушения, точнее, величине диссипа­ ции энергии при пластическом деформировании. На участке ниспадающей ветви работа разрушения больше, чем работа деформации. Это отличие тем сильнее, чем круче спадает диаграмма на заключительной стадии де­ формирования. Процесс разрушения дополнительно (кроме притока энер­ гии извне) поддерживается за счет освобождения потенциальной энергии упругого деформирования.

Приращение работы внешних сил связано с перемещениями точек границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жестко­ сти в процессе разрушения и определяемыми взаимодействием с нагру­ жающей системой. Превосходство суммы приращений энергии упругой деформации и работы разрушения над приращением работы внешних сил, которое тем меньше, чем выше жесткость нагружающей системы, является по сути условием устойчивости процессов структурного разрушения и закритического деформирования композита. Оно свидетельствует о том, что самопроизвольное (без увеличения внешней нагрузки) продолжение раз­ рушения невозможно, поскольку для совершения работы разрушения не хватает подводимой и освобождающейся энергии. Невыполнение данного условия соответствует лавинообразному росту дефектов, то есть динамиче­ скому разрушению.

Структурное разрушение, сопровождаемое разупрочнением неодно­ родной среда, является механизмом диссипации упругой энергии, доста­ точным для аккомодации к заданному процессу макродеформирования при ограничении притока механической энергии со стороны достаточно жест­ кой нагружающей системы. Элементарные акты частичной или полной по­ тери несущей способности отдельными элементами структуры на началь­ ном этапе деформирования проявляют себя как случайные события, опи­ сываемые в рамках статистических представлений, в то время, как этапы локализаций и формирования макродефекта определяются преимущест­ венно условиями перераспределения энергии между деформируемым те­ лом и нагружающей системой [6].

Отметим и еще одну закономерность деформирования. В структуре неоднородного тела обнаруживаются локальные области, лавинообразное разрушение которых не зависит ни от жесткости внешнего стеснения тела, ни от шага нагружения. Это свидетельствует о локальной потере устойчи­ вости процесса накопления повреждений. Подобная, дискретная, диссипа­ ция энергии наблюдается на закритической стадии деформирования и про­ является в виде отдельных более или менее протяженных срывов на диа­ граммах. Наблюдается смена стадий стабильного и нестабильного струк­ турного разрушения.

Данное явление происходит вследствие того, что, как было отмече­ но, процесс структурного разрушения неоднородного тела осуществляется за счет не только внешнего (нагружающая система), но и внутреннего ис­ точника подводимой механической энергии. Последний связан с освобож­ дением потенциальной энергии упругого деформирования при локальной разгрузке элементов структуры [3] в объеме активно деформируемого тела, окружающем области самоподдерживаемого, или, по терминологии Е.И. Шемякина [68], свободного разрушения. Поэтому даже в случае предельно “жесткого” монотонного нагружения характер накопления повреждений на структурном уровне полностью не контролируется.

Связь вида ниспадающих участков диаграммы с механизмами и ста­ диями разрушения отмечена в работе [29]. Каждая из этих стадий может характеризоваться автомодельным ростом трещины по четко выраженному механизму. На полных диаграммах деформирования этим стадиям соответ­ ствуют линейные участки ниспадающих ветвей, изменения наклона кото­ рых адекватно отражают изменения микромеханизмов роста вязкой тре­ щины [29]. Следует отметить, что еще в 1917 году А.М. Драгомиров уста­ новил связь между видом излома и характером снижения нагрузки после максимума при изгибе надрезанных образцов (кристаллические участки в изломе соответствовали срывам нагрузки) [44].

С.Д. Волковым высказана идея, что характер распределения напря­ жений в вершине трещины, в принципе, повторяет ниспадающий участок кривой на полной диаграмме деформирования материала, полученной при испытании гладкого образца [13, 15]. Проблема сингулярности задачи при этом решается автоматически вследствие убывания до нуля сопротивления материала в особой точке (вершина трещины), где деформация максималь­ на и равна предельной для полностью равновесного состояния [37]. По мнению автора работы [13], критерий роста макротрещины следует рас­ сматривать как условие потери устойчивости сопротивления разрушению тех элементов материала, которые находятся в малой окрестности особой точки. Жесткость нагружающей системы для элемента материала у верши­ ны трещины может быть конечной и достаточной для устойчивой закритической деформации в этой зоне, чем и объясняется возможность существо­ вания равновесных трещин.

Существует связь диаграммы деформирования с энергоемкостью процесса разрушения [57]. Площадь под ниспадающей ветвью полной диа­ граммы определяет, вместе с тем, и работоспособность материала на ста­ дии формирования макротрещины. С.Д. Волков предположил связь этой величины с характеристиками трещиностойкости материалов [13]. К на­ стоящему времени А.А. Лебедевым и Н.Г Чаусовым разработан и экспе­ риментально обоснован экспресс-метод оценки трещиностойкости пла­ стичных материалов по параметрам ниспадающих участков полных диа­ грамм деформирования [35].

Существуют определенная аналогия и общность между подходами механики распространения трещин и феноменологической механикой раз­ рушения. В частности, в рамках первой теории рассматриваются докритические диаграммы разрушения, представляющие собой зависимости сред­ него растягивающего напряжения в неповрежденном сечении образца от длины трещины при различных начальных длинах последней. Геометриче­ ское место критических (соответствующих динамическому росту трещин) точек индивидуальных кривых называется критической диаграммой раз­ рушения. Естественно, что при испытаниях гладких образцов критическая точка соответствует пределу прочности.

Не рассматривая явным образом трещины и разрывы и описывая по­ ведение материала с использованием ниспадающей ветви диаграммы де­ формирования, можно заключить, что она, по сути, также представляет со­ бой критическую диаграмму, поскольку является геометрическим местом критических точек для образцов с различной степенью поврежденности, получаемых в результате равновесного деформирования до той или иной степени и последующей упругой разгрузки.

При описании докритического роста дефекта используется также подход Дж. Р. Ирвина [44], состоящий в рассмотрении зависимости работы разрушения R от длины трещины как характеристики сопротивления росту трещины. Если в рамках феноменологического подхода под работой раз­ рушения понимать диссипацию энергии, связанную с процессом накопле­ ния повреждений, то она может быть вычислена с использованием диа­ граммы деформирования на любом интервале деформаций. Получаемая таким образом графическая зависимость работы разрушения от величины деформации носит характер, аналогичный известным в механике разруше­ ния ^-кривым.

Феноменологический подход дает возможность не сталкиваться с проблемами моделирования сложной геометрии реальных трещин и разры­ вов в поврежденных структурно-неоднородных средах и определения пло­ щади поверхности разрушения вместе с фактом её неограниченного воз­ растания по мере более детального рассмотрения. В то же время, он позво­ ляет описывать все этапы повреждения, включая переход к нестабильной стадии, функциями состояния материала и использовать при этом энерге­ тические соотношения механики разрушения и полные диаграммы дефор­ мирования материала.

Реализация закригической стадии деформирования в элементах кон­ струкций или сооружений приводит к использованию прочностных резер­ вов и повышению их безопасности. Полнота реализации несущей способ­ ности материала определяется степенью закригической деформации. При этом экспериментальная оценка опасности разрушения должна произво­ диться с учетом и сопоставлением податливости реальной нагружающей системы, что определяется условиями эксплуатации, и податливостью ла­ бораторного испытательного оборудования [66].

Кроме того, следует отметить важность практически не исследован­ ной ранее задачи определения условий устойчивого закритического де­ формирования элементов структуры в составе композиционного материала как базы для создания материалов с повышенными механическими харак­ теристиками (эти вопросы будут рассмотрены в третьей части данного по­ собия).

Оптимальное (с точки зрения протекания процессов повреждения в равновесном режиме) проектирование требует математического описания закритического деформирования, которое не сводится лишь к аппроксима­

ции диаграмм, имеющих ниспадающие участки. Не потеряли актуальность вопросы обоснования континуальных моделей разупрочняющихся сред и определения области их применимости. Возникает ряд математических проблем, связанных, в первую очередь, с изучением устойчивости процесса деформирования и единственности решения краевой задачи [2], возможной сменой типа дифференциальных уравнений, а также необходимостью учета свойств нагружающей системы, разработкой определяющих соотношений (даже для изотропных материалов), развитием численных методов и созда­ нием эффективных итерационных процедур решения такого рода нелиней­ ных задач.

2. Граничные условия с учетом свойств нагружающей системы

Важность понятия “нагружающая система” с точки зрения исследо­ вания процессов деформирования и разрушения была отмечена в [66]. Да­ дим следующее определение этого понятия.

Нагружающая система — это совокупность твёрдых, жидких и/'или газообразных тел, деформирующихся в результате передачи нагрузки рас­ сматриваемой области. При изменении состояния, например, поврежде­ нии среды в этой области внешняя по отношению к ней нагрузка изменяет­ ся в зависимости от упругих свойств и конструктивного устройства нагру­ жающей системы.

Непосредственное включение нагружающей системы как совокупно­ сти деформируемых тел в расчётную схему или краевую задачу является далеко не всегда рациональным и часто невозможным, так как приводит к неоправданному усложнению рассматриваемой области. Учесть же влия­ ние нагружающей системы, тем не менее, можно на основе введения ха­ рактеризующего “оператора влияния” [25], устанавливающего связь сило­ вых и кинематических величин во всех граничных точках нагружающей системы, которые могут вступить во взаимодействие с исследуемой обла­ стью. При этом характеризующий оператор должен строиться для нагру­ жающей системы в отдельности, без учёта деформируемого тела. Влияние нагружающей системы может быть учтено путём включения указанного оператора в краевые условия для деформируемой области.

Рассмотрим деформируемое тело £2 с границей 2 и в отдельности от него некоторую фиктивную ограниченную двусвязную область упругого материала £2' с жестко закрепленной внешней границей и внутренней по­ верхностью 2 ', мало отличающейся от 2 . Деформируемое тело £2' будет

вдальнейшем играть роль нагружающей системы.

Вкаждой точке г е£2' справедливы уравнения равновесия, геомет­ рические соотношения Коши и физические уравнения теории упругости. К

точкам поверхности 2 ' приложим усилия - S J такие, что вызванные ими

перемещения - и° граничных точек обеспечат совпадение конфигураций

поверхностей 2 ' и 2 . Связь указанных величин описывается уравнениями

0 )

где G (r',r) — тензор Грина для области £2'

Указанный тензор характеризует свойство податливости тела £2' как нагружающей системы и устанавливает связь между перемещениями точек границы области £2' и вызвавшими их усилиями, приложенными на той же

всех точках границы, кроме рассматриваемой, а изменение коэффициентов жесткости Rjj(г,и) на интервале от и0 до и пренебрежимо мало, то урав­ нения (3) для всех г € Z можно представить в упрощенном варианте:

Врезультате принятия аналогичных упрощающих гипотез из (4), (1)

и(5) следуют уравнения

и становится очевидным переход к граничным условиям контактного типа, сформулированным с учётом конечной и ненулевой жёсткости нагружаю­ щей системы:

где л* (г) — направляющие косинусы вектора нормали к поверхности тела Q в точке с координатой г

Величины 5° и и] на границе Z = 2,s связаны соотношениями

(5), из которых следует взаимная обратность уравнений (9) и (10), что в общем случае позволяет использовать граничные условия одного вида для всей поверхности.

Согласно рассмотренным краевым условиям, на части границы об­ ласти Q номинально, то есть без учета ее сопротивления внешней нагруз­

ке, заданы перемещения uj(r в ! и) в соответствии с выбранной програм­

мой деформирования.

На другом участке поверхности также номинально, в данном случае без учета деформации тела Q и, соответственно, перемещений его гранич­ ных точек, заданы внешние усилия S ° ( r e Z s ), определяемые выбранной программой нагружения. Действительные перемещения ui и усилия S, = Cij-rij определяются взаимодействием деформируемого тела и нагру­

жающей системы.

Такой же вид имеют граничные условия, если устройство нагру­ жающей системы таково, что изменение прикладываемого внешнего уси­

лия в любой точке границы определяется только вызванным деформацией тела Q перемещением указанной точки и не зависит (или почти не зави­ сит) от перемещений всех других точек границы. В этом случае жёсткость и податливость нагружающей системы определяются следующим образом:

л,у(г.и°)= as;(r)/a»;(r). & ,(r,s°)= a<;(r)/as;(r). ( i i )

В приведённых граничных условиях явным образом учитывается из­ менение внешних нагрузок, связанное с изменением конфигурации тела вследствие деформации или повреждения, чем обычно пренебрегают, ко­ гда деформации малы. Однако, подобно тому, как малые деформации мо­ гут привести к весьма большим напряжениям и являются предмегом изу­ чения механики деформируемого твёрдого тела, так и малые перемещения границ при высокой жёсткости системы нагружения являются причиной резкого изменения внешних нагрузок и заслуживают внимания. Это, повидимому, в первую очередь, относится к задачам теории устойчивости и механики разрушения.

Рассмотренные граничные условия дополняют задачу информацией о свойствах нагружающей системы и позволяют описывать перераспреде­ ление механической энергии между ней и деформируемым телом при по­

ля перемещений и{ с соответствующим ему распределением деформаций е у справедливо уравнение:

Приведенное тождество называется уравнением виртуальных работ или математическим выражением известной теоремы Клапейрона.

Согласно граничным условиям (9) и (10),

J о jjZjjdQ = J X ,u,da + J (5; - + J (if - Q&Sk)S,<IL.

Разделение поверхностного интеграла на два является необязательным, по­ скольку используемые граничные условия могут быть приведены к едино­ му виду на всей поверхности.

Полученное соотношение позволяет дать несколько отличную от традиционной формулировку теоремы Клапейрона.