Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част.-1
.pdfa Vr e l(Q ) сг,уЛ; = 5 “ -RjjUJt тогда работа номинально заданных гра
ничных усилий на действительных перемещениях определяется соотноше нием
включающем удвоенное значение упругой энергии нагружающей системы, соответствующее действительным перемещениям граничных точек.
Если V r e l ( f t ) Uj = и° - |
jknk, то величина работы действи |
тельных усилий на номинально заданных перемещениях, определяемая по формуле
включает в себя удвоенное значение упругой энергии нагружающей систе мы, соответствующее действительным граничным усилиям.
Соотношения (9) и (10) относятся к третьему типу краевых условий в задачах математической физики, согласно которым на границе задаются не значения функции (задача Дирихле) или ее производной (задача Неймана)
вотдельности, а некоторая их комбинация.
Впредельных случаях “мягкого” или “жёсткого” нагружений (при
Rjj = 0 либо Qtj = 0, на участке свободной поверхности S° = 0 и RfJ = 0)
граничные условия (9) и (10) по форме совпадают с традиционно исполь зуемыми.
3. Определяющие соотношения для сред с разупрочнением
Весьма важной для современной теории пластичности является кон цепция о существовании предельных поверхностей в пространстве внут ренних параметров: поверхности нагружения / в пространстве напряже ний и поверхности деформирования F в пространстве деформаций. Форма и размеры указанных поверхностей определяются компонентами тензоров напряжений, пластических деформаций г? и историей пластического де формирования, которую можно формально отразить некоторыми парамет рами X/, изменяемыми только при изменении е% [30]:
( 12)
Полные деформации, равно как и их йриращения, состоят из упругой и пластической составляющих:
Ц = 4 + 4 > |
d e ij - d s v + d e u ■ |
Пусть данный путь нагружения приводит ко вполне определенному деформированному состоянию независимо от выбора системы координат Тогда функции нагружения и деформирования, описывающие предельные поверхности, зависят от инвариантов напряженного и деформированного состояний:
|
( 13) |
Здесь |
— инварианты тензора пластических деформаций. Количество |
независимых инвариантов N , используемых в качестве аргументов указан ных функций, определяется типом анизотропии среды.
В качестве основного принципа, закладываемого в основу построе ния теории пластичности, может быть использован принцип максимума скорости диссипации Мизеса [24]. Перейдя от скоростей к приращениям пластических деформаций, сформулируем принцип максимума следующим образом: при фиксированных параметрах е£, X/ для любого данного зна
чения компонент приращений деформаций dsfj имеет место неравенство
o yd sf к OydBf, |
(14) |
где а у — действительные значения компонент тензора напряжений, соот
ветствующие предельной поверхности при данном значении в£; &у —
компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого
данной функцией нагружения |
• $ ■ X/) ^ О- Инварианты тензора на |
пряжений в состоянии а у обозначены как
Из приведенного неравенства следует, что поверхность нагружения является невогнутой, вектор приращения пластической деформации в ре гулярной точке предельной поверхности направлен по ее внешней нормали (принцип градиентальности), а в особой точке лежит внутри или на грани це конуса внешних нормалей [30]. Как видим, в данной части факт разу прочнения материала не приводит к противоречию с традиционными по ложениями теории пластичности.
Особенность механического поведения материалов на стадии разу прочнения, приводящая к некоторому расширению традиционных пред ставлений, заключается в том, что при закритическом деформировании точка нагружения, принадлежащая поверхности нагружения, смещается внутрь первоначальной предельной поверхности:
(15)
Отметим при этом, что в качестве условия активного нагружения можно принять условие положительности диссипации:
c ijdsfj >0, f i a)< )> 0. |
(16) |
a=l |
|
При изотропном разупрочнении материала изменение конфигурации поверхности нагружения представляется подобным тому, как сдувается воздушный шар.
То же самое можно сказать и о поверхности деформирования. Вместе с приращениями полных и пластических деформаций, соответствующим
условиям (16), упругая часть деформаций в*- на закритической стадии
уменьшается таким образом, что точка, описывающая процесс в простран ство деформаций и лежащая на поверхности деформирования, также сме щается внутрь первоначальной предельной поверхности (рис. 1):
dF |
3F . |
dF , п dF , |
(17) |
|
|
|
Кроме того, возникает и трансляция всей поверхности деформирования на вектор dep [62]. Вид предельных поверхностей, разделяющих области упругого и неупругого деформирования, как при упрочнении, так и при ра зупрочнении исследуется в работе [58].
Рис, 1. Изменения предельных поверхностей на закритической стадии деформирования
Подобие в поведении двух предельных поверхностей естественно, поскольку напряжения и деформации, соответствующие внутренним и гра ничным точкам поверхностей нагружения и деформирования, должны быть связаны соотношениями теории упругости.
В случае нейтрального нагружения
d f = - ^ - d a y =0, |
dF = ^ - d z y = 0, |
(18) |
day |
дву |
|
а также при разгрузке, когда
d f = |
<0, dF = |
< 0, |
(19) |
dutj |
|
dztJ |
|
пластические деформации не возникают: dzfj = 0, dxi = 0, а предельные поверхности не изменяются.
При пластическом деформировании, согласно принципу градиентальности,
м - к Ж . ш К * г |
(20) |
до у д*у ’ |
|
где к и К — скалярные коэффициенты, удовлетворяющие условиям d f - О и dF = 0. В то же время в рамках теории приращения деформаций опреде ляющие соотношения могут быть записаны в виде [30]:
7 |
=Jijkldc kl +Q J J |
(21) |
d a /y дош |
|
|
Здесь |
— компоненты тензора модулей упругой податливости, а коэф |
|
фициент Q (в случае конической особенности на поверхности нагружения |
||
вводится совокупность коэффициентов Qa и поверхностей / а |
[30]) опре |
|
деляется состоянием GiJf efj и историей нагружения, но не зависит от do у
ипоэтому считается известным.
Вотличие от традиционной теории пластичности при описании закригической стадии деформирования материала следует допустить отрица тельные значения коэффициента
= 0, |
|
d f < 0; |
|
Q >0, |
df |
da и > 0; |
(22) |
|
day |
|
|
< 0, |
df |
d a y < 0, O y d z f j |
> 0. |
— |
|||
Ga
Уравнения связи приращений напряжений и приращений пластиче ских деформаций могут быть получены из выражений для полного диффе ренциала функции нагружения (15), в частности, с использованием соот ношений d i n - A ^ d z fj. В данной точке нагружения коэффициенты
Zf/д а у , df/d zfj, (Э//5хп)4 л) представляют собой вполне определен
нее постоянные [24]. Как показано в [30], любая теория пластичности с гладкой поверхностью может быть в активном процессе представлена дифференциально-линейными соотношениями.
В общем случае анизотропии дифференциальные тензорно линейные
определяющие соотношения представим в виде |
|
dOy = С 'Ц Л я1Л;Кх,.х)<1ет„, |
(23) |
гДе %— индикатор, отражающий характер процесса: активное нагружение (X = 1) или разгрузка. При разгрузке и повторном нагружении до предела упругости х = 0 • В сокращенных обозначениях будем писать
Уравнения типа (23) являются широко используемыми в теории ус тойчивости упругопластических систем [32], особенность же их примени тельно к разупрочняющимся материалам заключается в появлении отрица тельных компонент тензора С' на закритической стадии деформирования.
4. О признаке закритической деформации и постулате устойчивости неупругого деформирования в связи со свойствами нагружающей системы
Пусть тело из деформируемого состояния А перешло в бесконечно близкое состояние В (при постоянной температуре). Признаком того, что переход сопровождался закритическими деформациями, будем считать выполнение неравенства
At y f e * <0 . |
(25) |
Если в процессе указанного перехода из состояния А в состояние В возникает необратимая часть деформаций dzfj, обнаруживаемая при раз грузке, когда упругая часть деформаций ds исчезает, то можно сформу
лировать другой, возможно, более точный, признак закритической дефор мации:
da ijdzfj < 0. |
(26) |
Неравенство (26) не изменится, если приращения напряжений выра зить через приращения упругих частей деформаций согласно закону Гука:
Сцтп^тп&у < 0, а также левую и правую части неравенства домножиггь на положительно определенную форму dzkldzk l> 0. Учитывая, что dzu = dZjjSfcSjt = d z ^ b ^ d ^ , получим эквивалентную (26) запись призна ка закритической деформации:
dee„dB$<0. |
(27) |
Отметим, что признак возникновения необратимой части деформа ции d&%, вызванной, в общем случае, различными механизмами, включая
структурное разрушение, устанавливается постулатом пластичности А.А. Ильюшина, согласно которому работа внешних сил на замкнутом по де формациям цикле является положительной [26]. Поведение разупрочняющихся сред на закритической стадии деформирования удовлетворяет ука занному утверждению. Вследствие этого, в рамках постулата А.А. Илью шина закритическая деформация не отличается от пластической. Таким образом, неравенство (26) может рассматриваться как необходимый и до полнительный по отношению к постулату пластичности признак закрити ческой деформации.
ер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигу рацию.
Используя введённую при записи граничных условий (9) характери стику жёсткости нагружающего устройства или системы, сформулируем постулат устойчивости следующим образом.
В процессе нагружения суммарная работа дополнительных усилий, связанная с деформированием твёрдого тела и нагружающей системы, является положительной:
Л щ |
Д ы ,- |
|
j J |
(85, + Rybuj ytUidZ + J J bFjdUjdQ > 0; |
(28) |
E 0 |
Q 0 |
|
суммарная работа дополнительных усилий, связанная с деформированием твёрдого тела и нагружающей системы, за полный цикл нагружения и разгрузки является неотрицательной:
J |
Д и} |
Ли } |
|
| |
(85, + R,j8u})du;dZ + j J 8F,du;dn 20. |
(29) |
|
s o |
n o |
|
|
Величины 8Sit 8Fh 8uit SMJ представляют собой разности текущих и исходных значений и изменяются от нуля до ASit &Fit ku jt Аи\ соответст венно. В предельном случае, когда жёсткость нагружающей системы равна нулю, сформулированный постулат устойчивости совпадает с постулатом Друккера [21]. Естественно, что равенство нулю в соотношении (29) имеет место только в том случае, когда изменения в теле носят упругий характер.
Неравенства (28) и (29) соответствуют определению устойчивости в большом. Постулат устойчивости в малом выражается неравенствами
J (85, + R fjb U j^d Z + J bFfiUjdQ > 0, |
(30) |
|
z |
n |
|
J(85, + Rjjbu'j )8u !d l + f SFfiu l-d n 2 0. |
(31) |
|
z |
n |
|
Согласно уравнению виртуальных работ [33], из неравенства (30) следует, что при нагружении устойчивому состоянию равновесия соответ ствует условие
J 8стvSe9d a +f RjjbujbitjdL > 0. |
(32) |
|
n |
z |
|
В соответствии с признаком закритической деформации, сопровож даемой разупрочнением материала, 8а,у5е;у < 0, что часто считается также
признаком неустойчивости. Однако при достаточной жёсткости нагру жающей системы деформирование разупрочняющегося материала даже во всём объёме тела Q, согласно сформулированному постулату и следствию (32), определяется как устойчивое.
Таким образом, учет свойств механической системы, передающей нагрузку рассматриваемой деформируемой области или телу, позволяет выявить стабилизирующее влияние жесткой нагружающей системы на ста дии деформирования, которая, согласно постулату Друккера, безусловно классифицируется как неустойчивая. Выполнение условия (32) обеспечи вает устойчивое деформирование “неустойчивых” (по Друккеру) материа лов.