5. Оценка устойчивости процесса закритической деформации

Поскольку квазистатический процесс деформирования является следствием движения материальных частиц, то устойчивость понимается в данном случае, естественно, как устойчивость бесконечно медленного движения [32]. Будем основываться на определении устойчивости движе­ ния А.М. Ляпунова с учетом особенностей его использования в механике деформируемого твердого тела [18, 32].

Если по любой паре положительных сколь угодно малых чисел a Y и а 2 можно найти такие положительные числа Pj и р2, что при всяких возмущениях в данный момент времени параметров нагружения 5и° (г) и

85,°(г), удовлетворяющих условиям

(33)

вызванные этими мгновенными возмущениями отклонения параметров движения 5му(г) и 8е,у(г) в настоящий и любой последующий моменты

времени таковы, что

(34)

то невозмущенный процесс деформирования является устойчивым, в про­ тивном случае — неустойчивым.

Определение устойчивого состояния равновесия базируется на ана­ лизе поведения системы при фиксированных внешних параметрах и явля­ ется частью рассмотренного определения устойчивого процесса деформи­ рования при непрерывном и медленном изменении параметров нагруже­ ния. Один из путей отыскания момента потери устойчивости указывают теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова [18]. Рассматривая малые от­ клонения от основного состояния, можно судить о характере равновесия по знаку приращения полной потенциальной энергии механической системы.

Пусть в некоторой зоне С10 деформируемого тела Q имеет место ра­ зупрочнение материала в процессе деформирования. Для оценки устойчи­ вости закритической деформации, сопровождающейся равновесным рос­ том дефектов, воспользуемся энергетическим подходом механики разру­

устанавливающему связь приращений работы внешних сил &Ае, энергии упругой деформации AW и работы разрушения ДЛу при виртуальном

приращении закритических деформаций.

Приращение работы внешних сил связано, как уже было сказано, с перемещениями 5и точек границы деформируемого тела, обусловленными уменьшением его жесткости в процессе разрушения. Выражение для вы­ числения работы внешних сил на основе рассмотренных граничных условий контактного типа можно представить в виде

Для области Q с границей I с учетом того, что условия (9) могут быть получены из условий (10) и наоборот, неравенство (35) представим в виде

(37)

При записи последнего неравенства принято, что связь малых при­ ращений напряжений и малых приращений деформаций может быть пред­ ставлена дифференциально линейными соотношениями (24). Коэффициен­ тами пропорциональности на стадии упрочнения являются компоненты тензора С , а на закритической стадии деформирования компоненты тен­ зора модулей разупрочнения D , взятые со знаком минус.

Как известно, работа внешних сил на статически им соответствую­ щих перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Покажем спра­ ведливость аналогичного уравнения, включающего виртуальные переме­ щения и деформации. Умножим уравнение равновесия в предположении для простоты отсутствия массовых сил на 5м,, проинтегрируем по объему и используем формулы Гаусса — Остроградского и Коши:

J <т,уу5м,<Ю= J (ауЬщ) .d&- J а,у5ы,у<Ю =

=J<ЗуПjbiijdL -J0(У5ёijdn = 0.

£a

Всвязи с этим неравенство (37) сводится к виду

Таким образом, условие устойчивости закритической деформации в ослабленной зоне £2„ деформируемого тела О. с условиями на границе в виде (9) имеет вид (38) и эквивалентно неравенству (32), полученному при рассмотрении расширенного постулата устойчивости.

Отметим, что при анализе устойчивости необходимо исключить ди­ намические вариации смещений в области разупрочнения [38]. Использо­ вание других полей смещений означало бы экстраполяцию соотношений, описывающих закритическое деформирование, на условия, в которых они могут быть заведомо неприменимы.

Рассмотрим другой способ вывода условий устойчивости, приводя­ щий, как будет показано, к эквивалентным результатам и основывающийся на анализе функционала полной энергии деформируемой системы, опреде­ ленного с учетом ненулевой жесткости нагружающей системы. Для этого уместно использовать схему погружения деформируемого тела Q в об­ ласть Q ', обеспечивающую по своим свойствам требуемые условия на границе Q , тем самым моделируя взаимодействие двух указанных систем.

Выражение для нахождения полной энергии деформируемого тела имеет вид

(39)

С учетом граничных условий (9) работа внешних сил определяется по формуле

£

Таким образом,

но к главным осям, частные производные в (46) заменить отношением аб­ солютных величин, dx заменить на Ах и принять, что каждая компонента тензора S должна быть положительна (условие достаточное, но не являю­ щееся необходимым для выполнения (44)).

Устойчивость состояния свидетельствует об отсутствии его бифурка­ ции, что само по себе не исключает возможность бифуркации процесса де­ формирования [32]. В общем случае не исключены ситуации, когда со­ стояние единственно, но неоднозначно продолжение процесса. В связи с этим, утверждение об устойчивости процесса закритической деформации требует в дополнение к полученным условиям устойчивости состояний ма­ териала доказательства также и их достаточности для отсутствия бифурка­ ции процесса, что эквивалентно требованию единственности решения краевой задачи, сформулированной относительно малых приращений внутренних и внешних параметров. Этот вопрос будет рассмотрен далее.

Условия нагружения тела £2 с границей 2 = 2 5 + 2 и определим с помощью граничных условий контактного типа в форме

Характеристики жесткости i^ (u ,r) и податливости Q, (S,r) нагружающей системы удовлетворяют следующим условиям:

Номинально, без учета деформации или сопротивления тела, задаваемые приращения усилий и перемещений на границе связаны соотношениями

из которых вместе с (51) следует взаимная обратность уравнений (49) и (50), что в общем случае позволяет использовать граничные условия одно­ го вида для всей поверхности. В связи с этим, из (47}-{50) следуют соот­ ношения

где dSi = Лт,уЛу|г

Уравнения (53) и (54) аналогичны уравнению виртуальных работ [33] и, как и условие устойчивости (32), являются основой доказательства основных теорем механики неупругого деформирования тел с граничными условиями контактного типа.

Теорема 2. Пусть для ограниченного поверхностью 2 тела £2, со­ держащего область £2Сс £2 (2 g £20), выполняются неравенства

£2- £2e. Cljmn(e,x = 0^/шЛу > О»

ругопластического упрочняющегося тела (.Q0 = 0) с граничными условия­

ми в форме (49) и (50).

Если, согласно различным решениям краевой задачи, в каждой точке области С10 имеет место активное нагружение (% = 1), то при выполнении условия устойчивости закритической деформации (56) равенство (58) не­ возможно, что свидетельствует о наличии связанного с исходным предпо­ ложением противоречия.

Однако возможен вариант, когда в некоторой области Г2' с П0 со­ гласно одному из решений, например, первому, имеет место упругая раз­ грузка. Принимая во внимание, что в этом случае

для любой точки из указанной области запишем

d^jdz'ij = Cijmd z ® c k f - I d v f d z f - C,jmnd z ^ d z f p + d v f d z f

Следовательно,

da'ijdzlj - C'tJmn(z,x = Ijdz'^dz’j =

Знак последнего неравенства определяется направленностью векто­ ров d a ^ и d e ^ p соответственно внутрь поверхности нагружения и по внешней нормали к ней и тем фактом, что рассматриваемый материал, как было оговорено, обладает мягкой характеристикой.

Поэтому, обращаясь к (58), запишем

придя и в этом случае к противоречию с условием (56). Теорема доказана.

После вывода условия устойчивости, выполнение которого означает отсутствие бифуркации процесса закритической деформации, о чем свиде­ тельствует доказанная теорема единственности, требует уточнения вопрос определения самого критического напряженного состояния. Традиционно используемые критерии разрушения, основанные на сравнении значения некоторой функции компонент тензора напряжений или деформаций с ее предельным значением, обычно не включают в себя жесткость нагружаю­ щей системы и соответствуют нулевой жесткости. В этом случае подобные критерии могут быть использованы для оценки критического напряженно­