Механика композитных материалов 4 1980

2) из решения задачи минимакса (1.8), (2.2), (2.3) определяем допус­ тимый уровень температурного нагрева; 3) при заданной температуре из промежутка (2.3) и фиксированных значениях механических пара­ метров элементов композиции и структуры армирования оболочки опре­ деляем pn°(t) из решения задачи минимакса (1.6), (2.1); при этом на­ ходим и область в оболочке, где впервые началось разрушение, и его характер; 4) методом сканирования [6] определяем из (2.4) механи­ ческие и структурные параметры рационального проекта и величину нагрузки начального разрушения этого проекта.

3. В качестве числового примера рассмотрим задачу о начальном разрушении цилиндрической оболочки с абсолютно жесткими днищами под действием всестороннего равномерно распределенного внешнего дав­ ления р и температуры t. (Для рассматриваемого случая уравнения равновесия и граничные условия можно получить из [2, 5]. В силу громоздкости выражения для напряжений в оболочке и элементах ком­ позиции здесь не приводятся.)

линейного теплового расширения материалов связующего и армирую­ щих элементов £-го семейства. Сплошные кривые на рис. 1—3 соответ­

{N = 4, pi = 0, ц2 = я/2, р3= — Ц4 = Ц, 0^ р ^ я / 2 , соаа>г = Уа/4, £=1,2, 3, 4). На рис. 1 приведена зависимость допустимого уровня температур­ ного нагрева; от структуры армирования оболочки (<г>ао)1, ц). На рис. 2,3 приведены зависимости нагрузки начального разрушения при £'=15 и

75 и различных значениях температуры:

Рис. 2. Влияние структуры армирования coacoi и температуры на характер и величину нагрузки начального разрушения в случае двух семейств арматуры при £ = 1 5 (/=

= 1, 2, 3).

Рис. 3. Влияние структуры армирования п температуры на характер и величину на­ грузки начального разрушения при £ = 75 (сплошные кривые соответствуют случаю двух семейств арматуры, штриховые — случаю четырех семейств арматуры; i= 1,2,3).

(где T= ta cEc/ac) .

В целях конкретизации на рис. 1—3 приведены результаты числен­ ного счета только для таких параметров оболочки, для которых выпол­

Это значит, что оболочка начинает разрушаться вследствие разруше­ ния связующего, а армирующие элементы остаются упругими. При этом характер разрушения для каждого участка кривой обозначен соответст­ вующим напряжением. Угловые точки, отмеченные сплошными круж­ ками на рис. 1—3, соответствуют одновременному появлению в обо­ лочке нескольких типов разрушения. В качестве примера рассмотрим кривую а3А*3Вф 3 на рис. 3 (нижние индексы у букв, которыми обо­ значены кривые на рис. 2, 3, соответствуют номеру варианта парамет­ ров либо из (3.1), либо из (3.2). На участке а3Л*3 оболочка начинает разрушаться от нормальных напряжений в связующем ст*0; на участке Л*3£ 3 оболочка начинает разрушаться от сдвиговых напряжений в свя­ зующем Oxzc, а на В ф 3 оболочка начинает разрушаться от нормальных напряжений в связующем афс.

Точки, отмеченные звездочками, на рис. 2, 3 соответствуют рацио­ нальным значениям параметров структуры армированной оболочки.

Выводы. 1. Доказан ряд утверждений, которые позволили свести обратную задачу об определении нагрузки р (температуры /), соот­ ветствующей началу разрушения оболочки при двухпараметрическом внешнем воздействии (р, t), к решению совокупности минимаксных за­ дач, не зависящих от параметра нагрузки р (температуры /).

2. Определена область максимальных значений температурного на­ грева, при достижении которой оболочка начинает разрушаться от тем­ пературного воздействия при отсутствии силового воздействия. Пока­ зано, что данная область зависит как от структуры армирования обо­ лочки, так и от механических характеристик элементов композиции (см. рис. 1).

3. Предложен алгоритм численного счета, который позволил иссле­ довать вопрос о начальном разрушении оболочки в зависимости от параметров структуры армирования, механических характеристик эле­ ментов композиции и температурного нагрева. Определены рациональ­ ные параметры структуры армирования оболочки, соответствующие наибольшей нагрузке начального разрушения.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Немировский Ю. В., Резников Б. С. Вопросы разрушения изгибаемых армиро­

ванных конструкций. — Механика полимеров, 1977, № 6, с. 1029— 1038.

2. Резников Б. С. Оптимальное проектирование по начальному «разрушению» обо­ лочек, подкрепляющих осесимметричные полости. — Физ.-техн. проблемы разработки

полезных ископаемых, 1976, № 6, с. 3—9.

3. Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. — Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969, № 6, с. 81—89.

4. Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек

ипластин. — Механика полимеров, 1972, № 5, с. 861—873.

5.Немировский Ю. В., Резников Б. С. О рациональном проектировании по на­ чальному разрушению армированных цилиндрических оболочек. — Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. «Проблемы механики конструкций из композиционных материалов». Челябинск, 1975, с. 93.

6.Растригин Л. А. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига, 1965. 212 с.

УДК 624.074:678.067

А. Д. Лизарев, Н. Б. Ростанина

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Свободные несимметричные колебания непологих трехслойных сфе­ рических оболочек до сих пор изучены недостаточно. В большинстве ра­ бот, обзор которых дан в [1], авторы ограничивались выводом уравнений движения оболочек при различных гипотезах, принимаемых относи­ тельно свойств несущих слоев и заполнителя, не приводя ни решений этих уравнений, ни числовых результатов.

В настоящей работе получены аналитические решения задачи о сво­ бодных колебаниях трехслойных сферических оболочек с заполнителем, имеющим малую сдвиговую жесткость, например, металлополимерных оболочек с наружными металлическими слоями и внутренним слоем из полимерного материала. С помощью ЭВМ исследована структура час­ тотных спектров таких оболочек.

Основные уравнения. Рассмотрим непологую сферическую оболочку, образованную двумя наружными слоями, каждый из которых имеет тол­ щину 2/I2, и внутренним трансверсально-изотропным слоем толщиной 2h\. Используя вариант гипотезы ломаной линии [2], полагаем, что внут­ ренний слой несжимаем в радиальном направлении и может иметь де­ формации сдвига по толщине, а наружные тонкие слои работают как мембраны. Нормальный элемент среднего слоя после деформирования не остается перпендикулярным к срединной поверхности, а поворачива­ ется на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины.

Система дифференциальных уравнений, описывающих свободные не­ симметричные колебания непологой трехслойной сферической оболочки, имеет вид:

где W — радиальное перемещение; W — вспомогательная функция; си di — коэффициенты [1], зависящие от геометрии оболочки, механиче­ ских свойств материалов внутреннего и наружных слоев, а также от час­ тотного параметра k2=<o2R2p\/E\, причем Е i и pi — модуль упругости и плотность материала внутреннего слоя; со — собственная частота коле­ баний; R — радиус срединной поверхности оболочки; V 2 — дифферен­ циальный оператор Лапласа в сферических координатах.

После разделения переменных по формулам

уравнения (1) и (2) интегрируются в присоединенных функциях Ле­ жандра первого и второго рода Pnim(cos0) и Qnim(cos0), где степени я* определяются для i = 1,2,3 из кубического уравнения

а для i = 4, 5 — из квадратного уравнения

dip2 — d2p + ds= 0,

причем pi = rii(ni+ 1).

В дальнейшем будем рассматривать оболочку без отверстия у по­ люса, для которой Wi=А{РПгп(cos0), фч=A iP nim(cos0), где Ai — по­ стоянные, зависящие от граничных условий. Перемещения и&, пф в на­ правлении меридиана и параллели, углы поворота Ре, |3Ф, изгибающий

5

3

5

фициент, учитывающий влияние поперечного сдвига; p= cosa; vi — ко­ эффициент Пуассона; G\ — модуль сдвига на площадках, перпендику­

Для определения собственных частот используется обычная про­ цедура приравнивания нулю определителя пятого порядка, составлен­ ного из коэффициентов при Л,-. Например, в случае жестко защемленной

ння остаются справедливыми для задачи о колебаниях однородной сфе­ рической оболочки с учетом инерции вращения и сдвигов [3, 4].

Строки таблицы соответствуют интервалам изменения степени л, между двумя соседними натуральными числами (Nj, Nj+1), а столбцы — фиксированным значениям т. При четных т собственные частоты нахо­ дятся на таких отрезках частотной оси, которые соответствуют интерва­ лам изменения ti\ между двумя соседними нечетными числами N, а при нечетных т — между соседними четными N. Эти закономерности спек­ тра собственных частот трехслойных полусферических оболочек обуслов­ ливают, как и в случае однородных оболочек [7], характерную «шахмат­ ную» структуру таблицы. Низшей собственной частоте как трехслойной, так и однородной жестко защемленной непологой сферической оболочки соответствует форма колебаний с одной узловой меридиональной пло­ скостью (m = 1). Спектры собственных частот трехслойных и однород­ ных сферических оболочек имеют и другие общие свойства, что законо­ мерно, так как дифференциальные уравнения, описывающие колебания этих оболочек, различаются только постоянными коэффициентами.

У тонких трехслойных сферических оболочек имеется точка сущест­ венного сгущения частот, которую можно определить из рассмотрения уравнения (4) при асимптотических значениях коэффициентов, когда от­ носительная толщина hi/R-^О и один из корней этого уравнения может

Если оболочка однородная, то г£=г/1= гр = 0, и тогда получим извест­

I/ гЕПi+

'РрГл+1

которое получается из (6) в частном случае vi=v2.

Кроме существенного сгущения частот в окрестности точки, опреде­ ляемой формулой (6), в области k^>ko существуют локальные зоны сгу­ щения, которые располагаются в средних частях частотных интервалов {kj,kj+1), соответствующих отрезкам (tij, щ+1). С увеличением k коли­ чество частот в локальных зонах сгущения и промежутки между после­ довательными зонами увеличиваются, ширина зон возрастает, а в каж­ дой последующей зоне появляется частота, соответствующая форме ко­ лебаний с возросшим на единицу числом т.

При нанесении тонких металлических слоев (гд = 0,005—0,020) на сферическую оболочку, изготовленную из материала с малой сдвиговой жесткостью, собственные частоты с увеличением гк монотонно повыша­ ются. Отмечено некоторое значение частотного параметра k, сущест­ венно зависящее от /д и мало зависящее от т , при котором отношение соответствующих собственных частот трехслойной и однородной оболо­ чек достигает максимального значения. При дальнейшем увеличении частоты это отношение медленно снижается.

Собственные частоты трансверсально-изотропных оболочек. Теория трансверсально-изотропных сферических оболочек, построенная на ос­ нове обобщенной кинематической гипотезы типа Тимошенко, доста­ точно хорошо описывает поведение оболочек из стеклопластиков и дру­ гих композитных материалов с малой сдвиговой жесткостью. Задачи статики и устойчивости таких оболочек подробно рассмотрены в моно­ графиях [4, 8] и обзоре [9], в меньшей степени изучены динамические за­

дачи. Свободные колебания трансверсально-изотропных замкнутых сфе­ рических оболочек исследовались на основе различных теорий в [10, 11], открытых оболочек с различными условиями закрепления края — в [12]. Влияние малой сдвиговой жесткости на несимметричные колебания не­ пологих сферических оболочек, насколько нам известно, до сих пор не изучалось.

Уравнение колебаний трансверсально-изотропной сферической обо­ лочки получим как частный случай уравнения колебаний трехслойной оболочки, полагая /i2 = 0. На рис. 1 приведены графики зависимости низ­

вости Е/G' при v = 0,3. При увеличении отношения Е/G' влияние относи­ тельной толщины оболочки на собственные частоты снижается, а с увеличением отношения R/h все кривые на рис. 1 асимптотически при­ ближаются к прямой & = 0,5541, соответствующей собственной частоте безмоментных колебаний. Изменение Е/G' влияет на спектр собственных частот сферической оболочки аналогично изменению R/h: с увеличением этих отношений спектр становится более плотным. Влияние параметра Е/G' на собственные частоты повышается с увеличением частоты.

Интегралами уравнения колебаний замкнутой сферической оболочки являются присоединенные полиномы Лежандра Pn?n(cos 6). где п — це­ лое число. Классическая теория колебаний сферических оболочек позво­ ляет определить два спектра собственных частот замкнутой изотропной оболочки. Низший спектр почти не зависит, а второй вовсе не зависит от величины R/h. Теория типа Тимошенко определяет третий спектр, час­ тоты которого очень чувствительны к изменению R/h. Влияние пара­ метра Е/G' на указанные три частотных спектра замкнутых трансвер­ сально-изотропных оболочек показано в табл. 2. С увеличением E/G' частоты первого и второго спектров изменяются мало, но частоты третьего спектра существенно уменьшаются.

Разделение частотного спектра тонких оболочек. Подход к прибли­ женному решению задач динамики тонких изотропных оболочек произ­ вольной формы, названный методом расчленения напряженно-деформи­ рованного состояния, предложен в [13, 14]. Аналогичный подход, осно­ ванный на исследовании асимптотического поведения точного решения задачи о колебаниях сферической оболочки с использованием теории типа Тимошенко, описан в [15]. Покажем возможность такого подхода и при исследовании колебаний тонких трехслойных и трансверсально-изо­ тропных сферических оболочек.

Исключая из рассмотрения частотную область радиуса & = £-1/2 с центром в точке сгущения k = kQ, определяемой формулой (6), и прене­ брегая в коэффициентах с3 и с4 уравнения (3) членами, не зависящими

Табл. 2

Частотные параметры k замкнутых трансверсально-изотропных сферических оболочек

Рис. 2. Зависимость собственных частот трансверсально-изотропной полусферической оболочки от величины R/h. E/G' = 40 (--------- ) и 10 (-----------).

от |2, найдем асимптотические выражения корней уравнения (3) при больших значениях £:

Если подставить эти значения pi в частотное уравнение, полученное для жестко защемленной трехслойной сферической оболочки, то после неко­ торых преобразований оно распадается на два независимых уравнения

т2

Pnim'{li)Pn4m'(\i) ~ — — Pnim{\i)Pn*m(\i) = 0; (7) Б1Щ а

а спектр собственных частот разделяется при этом на области с харак­ терными свойствами. Такое же разделение спектра тонких трехслойных сферических оболочек возможно и при условиях закрепления края, от­ личных от жесткого защемления. Полагая /i2 = 0, в (7) и (8) получим приближенные частотные уравнения для трансверсально-изотропных оболочек.

Уравнение (7) не зависит от величины £ и является аналогом урав­ нения колебаний изотропной сферической оболочки, полученного по безмоментной теории с использованием тангенциальных граничных условий и (a) = v (а) =0. Степени п\ и /г4 функций Лежандра в уравнении (7) за­ висят от параметров гЕ, гр и гд, характеризующих механические свойства материалов внутреннего и наружных слоев и относительную толщину этих слоев. Уравнение (7) можно назвать уравнением колебаний трех­ слойной безмоментной оболочки. В соответствии с терминологией, при­ нятой в [13, 14], колебания, частоты которых определяются этим уравне­ нием, являются в области k<C.kQ квазипоперечными с малой изменяе­ мостью, а в области k > k Q— квазитангенциальными.

Уравнение (8) аналогично известному приближенному частотному уравнению для изотропной сферической оболочки, впервые полученному в [16] при удовлетворении только нетангенциальным граничным усло­

По терминологии [13, 14] уравнение (8) определяет частоты квазипоперечных колебаний с большой изменяемостью. Спектр этих частот весьма чувствителен к изменению £ и при больших значениях £ очень плотный. Точки пересечения на плоскости £ — k частотных кривых, опп-