- •Программа учебной дисциплины Интегралы и дифференциальные уравнения
- •1. Общая характеристика дисциплины
- •2. Приобретаемые компетенции
- •2. Проектируемые (планируемые) результаты освоения содержания дисциплины
- •Студент должен знать
- •Студент должен уметь
- •Студент должен иметь навыки
- •Структура дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •4.2. Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.П.)
- •4.3. Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)
- •4.4. Самостоятельная работа
- •4.4.1 Домашние задания
- •4.4.2. Выполнение текущих (еженедельных) домашних заданий.
- •4.4.3 Рефераты (эссе и т.П.)
- •4.4.4. Подготовка к контрольным мероприятиям и их проведение
- •Рейтинговая система контроля освоения дисциплины
- •Шкала перевода рейтинговых оценок по всем видам занятий и самостоятельной работы в экзаменационную оценку:
- •6. Методическое обеспечение дисциплины
- •6.1. Основная литература
- •6.2. Дополнительная литература
- •6.3. Методические пособия, изданные в мгту (мп)
- •6.4. Электронные ресурсы
- •Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Модуль 2 Дифференциальные уравнения
- •Модуль 3. Итоговый контроль (экзамен)
Модуль 3. Итоговый контроль (экзамен)
Формулировки определений, свойств и теорем, перечисленных выше в п. 1 – 30.
Иллюстрация всех теоретических положений примерами.
Теоремы с изложением доказательства:
1. Доказательство теорем об общем виде первообразной данной функции и о ее свойствах.
2. Доказательство правила подведения под знак дифференциала, замены переменной и интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
3. Доказательство правила подведения под знак дифференциала, замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла
4. Доказательство свойств линейности определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла от константы.
5. Доказательство теорем о переходе к интегралам в неравенстве, об оценке и о среднем для определенного интеграла.
6. Доказательство теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом и формулы Ньютона - Лейбница.
Вывод формулы для площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах
Вывод формулы для объема тела по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.
Вывод формул для длины дуги кривой и площади поверхности вращения.
Доказательство свойств несобственных интегралов.
Доказательство теоремы о связи абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла.
Доказательство свойства линейности дифференциального оператора однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) n-го порядка и линейность пространства решений ОЛДУ.
11. Доказательство теоремы о вронскиане системы линейно зависимых функций и теоремы о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.
12. Доказательство теоремы о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка и теоремы о структуре общего решения ОЛДУ.
13. Вывод формулы Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ второго порядка и доказательство следствия из нее.
14. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теоремы о наложении частных решений.
15. Вывод характеристического уравнения для ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вывод способа построения фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами при .
16. Доказательство теоремы о решении неоднородных ЛДУ n-го порядка (для )
методом вариации произвольных постоянных.
17. Доказательство теоремы о сведении ДУ n-го порядка к нормальной системе ДУ и о сведении нормальной системы двух ДУ к одному ДУ 2-го порядка.
18. Доказательство линейности пространства решений системы ОЛДУ.
19. Доказательство теоремы о размерности пространства решений системы ОЛДУ и о структуре общего решения системы ОЛДУ.
20. Доказательство теоремы о решении системы неоднородных ЛДУ методом вариации произвольных постоянных.
21. Доказательство теоремы о построении общего решения по корням характеристического уравнения системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случае вещественных различных корней.