Деформирование и разрушение композитов

ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ

/

СВЕРДЛОВСК 1985

Ю. В. СОКОЛКИН, А. А. ТАШКИНОВ

ПРИНЦИП ЛОКАЛЬНОСТИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Решение задач механики деформирования твердого тела (МДТТ) для неоднородных сред с периодической и случайной структурой требует развития новых аналитических и численно­ аналитических методов. Основанные на традиционных, новые методы при прогнозировании эффективных свойств композитов и расчете полей микронапряжений и микродеформаций должны учитывать такие тонкие эффекты микромеханики, как неодно­ родность полей деформирования в структурных компонентах, форму и связанность последних, инверсию свойств и т. д. В ста­ тье рассмотрены два таких метода, вытекающих из одного обще­ го принципа механики неоднородных сред.

.Деформации будем считать малыми, так что выполняются соот­ ношения Коши

*

Пусть также заданы уравнения равновесия среды

Примем условие полной адгезии на многосвязнойповерхности контакта неоднородностей

Тогда стохастической краевой задачей I теории упругости структурно-неоднородных сред будем называть краевую задачу, описываемую замкнутой системой уравнений (2) — (4), условиями контакта (5) и краевыми условиями Дирихле

(звездочка вверху означает макроскопические физические вели­ чины).

Стохастическую краевую задачу II можно получить заменой в задаче I краевых условий (6) краевыми условиями Неймана

где р — произвольный симметричный тензор второго ранга, имею­ щий смысл тензора макронапряжений, Т — вектор поверхностных сил. Следует иметь в виду, что

Принцип локальности. «В расположении и взаимодействии струк­ турных неоднородностей имеет место ближний порядок».

Признаком ближнего порядка в расположении структурных неоднородностей (компонентов) служит локальность моментных функций случайных полей физических свойств. Решающее влия­ ние расположенных рядом неоднородностей на формирование

функции случайного поля модулей упругости разупорядоченных композитов имеют область отрицательных значений [2]. Согласно [1], это указывает на наличие периодических составляющих в соответствующих случайных полях. Предлагаемый метод перио­

4

для периодических функций понимается осреднение по ячейке периодичности, совпадающее по смыслу с объемным осреднением случайных однородных эргодичных полей.

Отметим, что условие (11) не является, вообще говоря, одно­ значным.

Используя разложение случайных полей задачи I

Oii{r) = Ctjmn {г)^тч {г)+С1Ып (г) б£п(г), и |г =0.

Решение задачи (13) будем строить с помощью функции Грина для неограниченной среды с регулярной структурой. Тогда всюду, за исключением малой окрестности, прилегающей к гра­

5

Решая интегро-дифференциальное уравнение методами после­ довательных приближений или малого параметра [6], получаем

В итоге, например, для поля микродеформаций будем иметь

К преимуществам метода периодических составляющих сле­ дует отнести: а) установление связи между решениями задач для тел с регулярной и случайной структурой; б) новое разложение полей деформирования в виде (11) позволяет уже в первом при­ ближении решения стохастической задачи учесть все упомянутые выше тонкие эффекты микромеханики.

Решение стохастической краевой задачи II можно построить аналогичным образом. При этом краевая задача относительно случайных отклонений имеет вид

в генерировании искомых полей деформирования вокруг выделен­ ного включения и в нем самом с помощью только ближайших

А

соседних включений и однородного поля напряжений aiJt задан­

можно подобрать такие значения комнонент тензора <J , при кото­ рых поля деформирования в центральной области ансамбля включений совпадут с искомыми напряжениями и деформациями стохастической задачи II для области V. Естественно, что реше­

6

С. Е. ЕВЛАМПИЕВА

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОЙ МАТРИЦЫ ПРИ ХАОТИЧНОМ И РЕГУЛЯРНОМ ЗАПОЛНЕНИИ ОБЪЕМА

КОМПОЗИТА КРУГЛЫМИ ЖЕСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Исследование микронапряженного состояния в эластомер­ ной матрице с твердыми включениями представляет интерес для оценок упругих характеристик, для выявления механизмов разрушения и т. д.

Нами было показано \ что напряжения в матрице, содер­ жащей регулярно расположенные жесткие включения, распре­ делены неравномерно. Актуальным является изучение характе­ ра этой неоднородности. Так как в реальных системах части­ цы наполнителя расположены нерегулярно, необходимо выяс­ нить, в какой мере нарушение регулярности (при том же объ­ емном наполнении) изменяет картину НДС, присущую регу­ лярным системам.

На рис. 1 показаны две системы из семи близких друг дру­ гу регулярных и хаотично расположенных жестких включений. Указанная группа включений размещена в неограниченной эла­ стомерной матрице и находится в состоянии плоской дефор­ мации. На удалении от включений системы нагружены единич­ ным растягивающим напряжением в направлении оси х. Объ­ емная доля включений в области их расположения составляет 50%.

Вычисления напряжений и деформаций в рассматриваемых системах осуществляли итерационным методом на базе теории функций комплексного переменного12.

Результаты представлены в виде распределения в матрице средних (гидростатических) напряжений, максимальных глав­ ных деформаций, характеризующих степень локального формо­ изменения, а также напряжений ох> параллельных оси внешней

(плоская задача).— В сб.: Структурная механика неоднородных сред. Сверд­ ловск: УНЦ АН СССРГ1982, с. 69—71.

2 М у с х е л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд., неправ, и доп. М.: Наука, 1966. 707 с.

8

Рис. 2. Распределение полей гидростатических (а) и интенсивностных (б) напряжений вокруг включений.

Рис. 3. Функция плотно­ сти распределения ох.

Пояснения см. в тексте.

нагрузки и иллюстрирующих внутреннее сопротивление внеш­ ней (со стороны матрицы) нагрузке.

Из распределения поля средних гидростатических напряже­

впромежутках между включениями в направлении действия внешней нагрузки. Количественная разница существенна: для регулярных систем максимальные напряжения равны 3,35, для хаотично расположенных 7,6. Вероятность разрушения от дей­ ствия гидростатической составляющей напряженного состояния

вслучае нерегулярности выражена сильнее.

Изолинии главных деформаций представлены на рис. 26. Для регулярной системы включений максимальные их значе­ ния равны 2,02, для хаотично расположенных 3,9. Разница в деформациях почти двухкратная.

На рис. 4 представлены поля напряжений а*. Интенсивность напряженности характеризуется толщиной темных линий. И в этом случае очевидно существенное усиление неоднородности по на­ пряжениям ох, а именно, они равны 8,6 в нерегулярных систе­ мах и 3,5 — в регулярных. График функции плотности распре­ деления Ох для обоих вариантов представлен на рис. 3. Штри­ ховая линия относится к регулярным структурам, сплошная — к нерегулярным. Из рис. 4 можно сделать вывод, что нерегу­ лярность приводит к резкому усилению напряженности в не­ значительном объеме матрицы, а также к существенному увеличению объема матрицы, который характеризуется низки­ ми и отрицательными значениями ох. В формировании внут­ реннего противодействия активно участвует около 40 % матри­ цы, 60 % вообще не нагружены. Напряженные участки матри­ цы в совокупности с частицами образуют сетеобразную внутренюю структуру.

10