Так как в общем случае мы имеем дело со сложной функцией, то линей­ ная характеристика элемента в окрестности установившегося состояния будет иметь следующий вид:

F(x) = \ j X5а<Х™~ хп )П + (Х™ и™ * (х>~ хп ) +

+Т Г ~ ( Х30 - * 4 o /'V * 3 -*зо) +

N • п

где хзо’х40’х>5о “ значения переменных в установившемся состоянии.

I.2.S. Построение линейной системы уравнений

Математическая модель линейной системы объекта [5,23] представляет собой систему дифференциальных уравнений.

где [л] - матрица инерционности;

[в]- матрица сопротивления (демпфирования);

[с]- матрица жесткости;

j.tj —матрица-столбец обобщенных ускорений;

j.vj - матрица-столбец обобщенных скоростей;

{*} - матрица-столбец обобщенных координат; !F\ - матрица-столбец внешних воздействий.

Если для этой системы выполнить преобразование Лапласа [16] и пере­ вести задачу в плоскость изображений, то получим систему линейных алгеб­ раических уравнений.

aji — aji / аи,

(2.3)

Qjk = ajk +aji-at bj = bj + aji • bj,

где

/ = 1,2,...,л-1;

У = i + l,/ + 2,..., л;

к= i + lfi + 2,...,/ + л.

Вконце этих преобразований исходная матрица приводится к треуголь­ ному виду. При этом на каждом шаге производится выбор наибольшего по мо­ дулю главного элемента и перестановка строк и столбцов. Это исключает си­ туацию деления на ноль и повышает точность вычислений.

На втором этапе организуется обратный ход последовательного нахожде­ ния переменных на основе выражений

(2.4)

h = h - X j •djj,

где

i = л-1, л -2 ,...,2,1; у = / + 1,i + 2,..., л;

х, = h ! a u.

В результате данных преобразований формируется массив значений обобщенных координат системы, соответствующих равновесному состоянию.

Для получения статической характеристики вида (2.1) необходимо после­ довательно решить систему алгебраических уравнений для разных значений параметров системы и внешнего воздействия.

Рис. 2.5. Параболическое возмущение

Рис. 2.6. Импульсное возмущение

Зная реакции системы на типовые возмущения, можно построить реак­ цию линейной системы на возмущение произвольного вида, используя принцип суперпозиции. Для этого достаточно аппроксимировать реальное возмущение суммой типовых возмущений, тогда суммарная реакция от реального возмуще­ ния найдется как сумма реакций на типовые возмущения. В данной работе для отражения-возмущений используются ступенчатое и импульсное воздействия.

Вынужденные колебания во многом определяют работоспособность тех­ нических систем, в том числе технологического оборудования [19, 20, 26]. С ними связаны уровни динамических нагрузок в элементах системы, а также ка­ чество протекания процессов.

Вынужденные колебания в системе наблюдаются при воздействии на нее внешних периодических сил. При этом поведение линейной системы описыва­ ется системой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений ви­ да

где [а] - матрица инерционности; [д] - матрица демпфирования; [г] - матрица жесткости;

Г</ И ЧМ 4 Г” обобщенные ускорения, скорости и координаты;

—вектор-столбец внешних возмущений.

При этом значение вектора^ F(/) j представляет собой функции времени,

отражающие воздействие периодических сил:

Обычно для исследования вынужденных колебаний в линейных систе­ мах используют принцип суперпозиции и на вход подают гармоническое воз­ действие

F = A- sin(co-/).

(2.7)

Принцип суперпозиции основан на том, что колебания, вызванные раз­ ными силами, не зависят друг от друга и при определении результирующего движения складываются.

Как известно, решение неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего и частного решений [5, 23]. Вынужденные колебания определяются частным решением, причем форма решения известна и представляется выражением

Анализ этого выражения позволяет выявить важнейшее свойство выну­ жденных колебаний, связанное с резким повышением амплитуды выходного сигнала и называемое явлением резонанса. Это наблюдается при приближении знаменателя выражения (2.10) к нулю. Знаменатель представляет собой глав­ ный определитель системы и определяется только параметрами и стрчктурой самой системы. Главный определитель будет равен нулю при равенстве часто­ ты вынуждающей силы одной из собственных частот системы:

Таким образом, значение А0,(/“ ) характеризует динамические свойства самой системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Функцию л (усо) от непрерывного аргумента со называют спектральной харак­ теристикой выходного сигнала. Спектральная характеристика представляет со­

изменение амплитуды сигнала АА при прохождении последнего через сисгем>,

системы, а величину argW'Xyco) - фазочастотной характеристикой системы. Эти частотные характеристики имеют графическое представление. Амплитудно-фазовая характеристика (АФЧХ) строится в комплексной

плоскости и представляет собой годограф вектора ^Г(усо)(рис. 2.8).

Как видно из этого рисунка, вынужденные колебания элементов системы всегда отстают по фазе от возмущающей силы.

Большим достоинством частотных характеристик является возможность их построения экспериментальным путем по записи развернутого во времени входного и выходного сигналов (см. рис.2.7).

\W (у<ю)| « АА

Таким образом, в.системе, находящейся под действием внешней возму­ щающей силы, возможны существенные изменения амплитуды и фазового уг­ ла. Чтобы снизить влияние вынужденных колебаний, следует стремиться к уменьшению их амплитуды. Это уменьшение может быть достигнуто как за счет уменьшения величины сил возмущений, так и за счет изменения парамет­ ров и структуры системы. Изменение параметров и структуры системы ведет к изменению амплитудно-частотной характеристики. Эти изменения могут быть двух видов.

Первый вид изменений связан с уменьшением ординат графика АЧХ во всем диапазоне частот (рис. 2.11) и значительным уменьшением резонансных пиков. Такого результата можно достичь увеличением демпфирования в систе­ ме.

Рис. 2.11. Снижение амплитуды вынужденных колебаний за счет повышения демпфирования в системе

Второй вид изменений заключается в смещении резонансного пика. Смещая резонансные пики за границу диапазона частот возмущающих воздей­ ствий, можно значительно уменьшить значение ординат АЧХ в данном диапа­ зоне (см. рис. 2.12).

Затухание переходного процесса имеет место только тогда, когда веще­ ственные части всех корней S, характеристического уравнения отрицательны.

Таким образом, для суждения об устойчивости системы достаточно оп­ ределить все корни характеристического уравнения или построить график пе­ реходного процесса. Из-за трудности решения данной задачи разработаны ме­ тоды, которые позволяют без решения характеристического уравнения опреде­ лить знаки вещественных частей его корней. К ним относятся критерии устой­ чивости Рауса, Гурвица, Михайлова и критерий Найквиста (амплитудно­ фазовый критерий).

Особенно актуальны вопросы устойчивости для работы замкнутых сис­ тем, когда наличие запаздывания сигнала обратной связи может приводить к дополнительной неустойчивости [18].

Выделяют собственную устойчивость элементов разомкнутой системы и устойчивость замкнутой системы. При этом необходимым условием устойчи­ вости замкнутой системы является собственная устойчивость ее элементов. Ес­ ли получение характеристического уравнения разомкнутой системы не вызыва­ ет затруднений, то получение характеристического уравнения замкнутой сис­ темы требует значительных усилий. Это определяет последовательность иссле­ дования устойчивости системы. Вначале следует убедиться в собственной ус­ тойчивости элементов системы, затем исследовать устойчивость замкнутой системы. Для этого используют разные подходы.

Задача о собственной устойчивости решается на основе получения ха­ рактеристического уравнения разомкнутой системы (рис.2.13), нахождения его корней и построения переходного процесса, также могут быть использованы критерии Гурвица, Михайлова и Рауса. Программа PAN позволяет определять собственные значения системы и строить графики переходного процесса (см. п.2.3.5).

-I

Рис. 2.13. Одноконтурная система в разомкнутом состоянии

Для решения второй задачи используют амплитудно-фазовый критерий (критерий Найквиста), который позволяет судить об устойчивости замкнутой системы (рис. 2.14) по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы (см. рис. 2.13). Помимо этого, он дает возможность исследовать

устойчивость замкнутой системы по экспериментально снятым частотным характеристикам отдельных звеньев, учитывать чистое запаздывание сигнала и т.д. Все это определило широкое применение амплитудно-фазового критерия.

-1

Рис. 2.14. Одноконтурная система в замкнутом состоянии

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости

Амплитудно-фазовый критерий позволяет по амплитудно-фазочастотной характеристике разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой сис­ темы, если передаточная функция fV(S) подчиняется условию

lim \ W (S)\ = 0

где С - константа;

S=jCО

На практике, если передаточная функция разомкнутой системы описыва­ ется выражением

W(S) =

то условие (2.14) сводится к тому, чтобы степень числителя передаточной функции не превышала степени знаменателя, т.е. т < п. Для реальных физических систем это условие обычно выполняется.

Чтобы исследовать устойчивость замкнутой системы (см. рис. 2.14), не­ обходимо построить годограф разомкнутой системы (рис. 2.13), представляю­ щий собой кривую (рис. 2.15), которая соединяет концы вектора lV(j(o) в ком­ плексной плоскости и описывается уравнением

Рис. 2.15. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы

Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и доста­ точно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой сис­ темы fV(/o>) не охватывала критическую точку -1, лежащую на вещественной оси.

Степень устойчивости в этом случае удобно измерять по расстоянию Д от точки -1 до точки пересечения годографом действительной оси. lie.in точка пересечения находится справа от критической точки, то говорят о запасе устой­ чивости (положительное значение), при расположении слева говорят об отри­ цательной устойчивости (отрицательное значение).

Программа PAN позволяет построить график АЧФХ и на основе критерия Найквиста исследовать устойчивость замкнутой системы.

2.3.4. Расчет собственных значений

Собственные значения в физической системе определяют характеристики свободных колебаний, вынужденных колебаний и устойчивости динамических систем, поэтому имеют самостоятельную ценность.

В качестве собственных значений физической системы выступают значе­ ния переменной S = a + jb , которые удовлетворяют системе линейных алгеб­ раических уравнений:

НАЧАЛО

Ц

Ввод исходной информа­ ции

[ДЭД

I

Вывод: действительных частей я,; собственных частот vl=bi/2n

ц

КОНЕЦ

Рис. 2.16. Алгоритм вычисления собственных значений системы

операторном методе преобразований Лапласа позволяет свести операцию диф­ ференцирования к умножению, а операцию интегрирования - к делению. Таким образом осуществляется переход от системы дифференциальных уравнений к

системе алгебраических уравнений.

В настоящее время операционное исчисление широко применяется в нау­ ке и технике как совокупность методов прикладного математического анализа. Оно позволяет экономичными средствами получить решение линейных диффе­ ренциальных уравнений, эффективно проводить анализ переходных процессов, вынужденных колебаний физических систем.

Процесс решения дифференциальных уравнений операторным способом включает в себя несколько этапов:

1)перевод исходной задачи с помощью прямого преобразования Лапласа

вобласть изображений (переход от переменной t к комплексной переменной S);

2)решение системы алгебраических уравнений относительно комплекс­

ной переменной S;

3) перевод решения из области изображений к реальной переменной / с помощью обратного преобразования Лапласа.

Переход от функции / к функции новой переменной S осуществляется при помощи прямого преобразования Лапласа, которое имеет следующий вид:

3. Изображение произведения постоянной величины и функции равно произведению постоянной величины и изображения этой функции:

D - дополнительный определитель, полученный из главного определите­ ля путем замены /-го столбца столбцом свободных членов F.

Далее определитель раскрывается, и окончательный вид решения пред­ ставляет собой отношение двух многочленов, где неизвестной является ком­ плексная переменная S :

j n s ) = b°sm + ^ sm 1+ • • • + bm_\S + bM

(2.35)

При этом для реальных физических систем выполняется неравенство

п > т.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется на основе обратно­ го преобразования Лапласа:

Это выражение устанавливает однозначное соответствие между изобра­ жением и оригиналом. Но ввиду сложности непосредственного использования выражения обратного преобразования Лапласа применяют инвариантные мето­ ды. Один из способов основан на применении формул соответствия между функциями оператора S и функциями времени /, которые сведены в специаль­ ные таблицы. Но наиболее широко на практике используют формулу разложе­ ния, она рассматривается как основной метод перехода от изображения к функ­ ции времени.

Если решение алгебраических уравнений в изображениях представляет собой отношение двух многочленов вида (2.35) и п > /и, то переход к функции времени можно осуществить с помощью выражения

N(Sk) А*

/<»>«£■

(2.37)

к=\ M \S k)

Порядок работы при этом следующий:

1 Решается задача о собственных значениях системы. Для этого полином в знаменателе выражения (2.35) приравнивается к нулю и получается характе­ ристическое уравнение системы вида

Решение данного характеристического уравнения дает п (собственных значений) корней S*. Среди этих корней могут быть как действительные, так и комплексные числа. S* = а* ± jbk.

2. Находится первая производная от полинома в знаменателе Л/(5).

3. Далее полученные собственные значения 5* подставляются в форму разложения. В результате будет получен многочлен из п членов, который пред­ ставляет собой решение исходной системы дифференциальных уравнений от­ носительно переменной /.

Данное выражение описывает переходный процесс в физической системе при ступенчатом внешнем воздействии {F}.

Для удобства анализа целесообразно от показательной формы записи ре­ шения (2.40) перейти к тригонометрической форме записи в виде

Если в числе корней имеются комплексно-сопряженные, то решение (2.40) можно сразу, без промежуточных преобразований, представить в следующем

где г - число действительных корней;

р- число пар комплексно-сопряженных корней; а- действительная часть комплексного корня;

- мнимая часть комплексного корня.

Коэффициенты Са первой суммы в выражении (2.42) получаются при подстановке в формулу разложения действительных корней:

с **(Sk) .

к = 1,2,..., г.

*M \ s ky

Подстановка в формулу разложения комплексно-сопряженных корней дает комплексные выражения (векторы), состоящие из действительной Ра и мнимой Qk частей частотной характеристики системы.