1.2.2. Проверка корректности

После ввода исходных данных производится проверка корректности поставленной задачи. Проверка основана на анализе типа введенных элементов и схемы их соединения.

Исходные данные считаются корректными, если по ним может быть получена система уравнений, описывающая статику и динамику реального объекта, решение этой системы уравнений позволяет определить статические и динамические характеристики объекта. С математической точки зрения система уравнений должна иметь единственное решение.

В противном случае процессы дальнейшей обработки исходных данных прекращаются, после вывода причины прекращения дальнейшей обработки программа возвращается в режим редактирования исходных данных.

Причиной некорректности может быть избыточность системы, когда допускается множество решений данной задачи. К этому приводит недостаток количества переменных в системе уравнений по сравнению с количеством независимых уравнений.

Другой причиной служит отсутствие решения, обусловленное тем, что количество переменных в системе уравнений превышает количество независимых уравнений.

Еще одна причина прерывания дальнейшего хода программы - отсутствие установившегося движения. На уровне исходных данных недопущение этого сводится к необходимости наличия у каждого узла эквивалентной схемы упругой или диссипативной связи с базовым (неподвижным) узлом или с другим узлом, уже имеющим такие связи.

При условии корректности сформулированной задачи проводится проверка наличия нелинейных элементов в эквивалентной схеме. При наличии хотя бы одного нелинейного элемента задача относится к нелинейному виду.

Если система является линейной, то управление передается на блок формирования матрицы коэффициентов линейной системы уравнений.

При нелинейной системе управление передается на блоки составления нелинейной системы уравнений, ее решения, линеаризации нелинейностей и только затем на блок формирования матрицы коэффициентов линейной системы уравнений.

1.2.3. Составление и решение нелинейной системы алгебраических уравнений

Ввиду многообразия типов нелинейных элементов и структуры нелинейной системы уравнений, встречающихся при моделировании реальных объектов, в данном пакете программа PAN на основе исходных данных вначале составляет нелинейную систему уравнений и процедуру ее решения. Затем управление передается данной процедуре решения нелинейной системы уравнений.

После решения нелинейной системы уравнений управление возвращает­ ся в основной модуль программы для дальнейшей обработки.

Процедура для решения нелинейной системы уравнений использует мо­ дифицированный метод Ньютона [12, 16], заключающийся в реализации итера­ ций по следующей формуле:

Рис. 1.10. Последовательность решения нели­ нейной системы алгебраических уравнений

Матрица Якоби составляется из значений частных производных системы нелинейных уравнений Ft{x)

1.2.4. Линеаризация нелинейных уравнений

Для анализа математической модели в данном пакете программ исполь­ зуются методы, которые применимы только для линейных систем. Реальные же системы чаще всего оказываются нелинейными. Поэтому необходимо реальные системы привести к линейному виду.

Система считается нелинейной, если она имеет хотя бы одно нелинейное звено. Приведение системы к линейному виду сводится к замене характеристик нелинейных элементов характеристиками линейного элемента или к линеари­ зации нелинейных элементов. Нелинейные элементы можно разделить на су­ щественно нелинейные и несущественно нелинейные.

Существенно нелинейные элементы имеют характеристику в виде пре­ рывистой функции. Такие элементы трудно поддаются линеаризации. Этими элементами в реальных объектах отражается явление сухого трения в направ­ ляющих и т.п.

Несущественно нелинейные элементы имеют характеристику в виде не­ прерывной функции. Они линеаризуются [16, 32] путем разложения ее в ряд Тейлора и отбрасыванием всех старших членов ряда, начиная со второго. Суть такой линеаризации реальных элементов системы заключается в замене реаль­ ной кривой, представляющей характеристику элемента, на прямую, которую

проводят как касательную к кривой в точке, соответствующей равновесному состоянию (рис. 1.11).

Нелинейные элементы, выделенные в данном пакете программ, описыва­ ются выражением

F —*5 ~ Х*)П (1.55)

N

где jc3,х4,дг5 - переменные;

N - постоянная.

Это выражение представляет собой сложную функцию переменных д'3, .г4, л'5. Линеаризация функции путем разложения в ряд Тейлора представляет собой замену