- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.2. Производная функции
- •1.3. Интерполяция я экстраполяция функций
- •1.5. Формула Тейлора
- •1.8. Обработка экспериментальных данных
- •1.9. Метод наименьших квадратов
- •1.10. Контрольные вопросы к главе 1
- •2, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
- •2.1. Поток векторной величины
- •2.2. Связь потока с дивергенцией
- •2.3. Ротор и циркуляция вектора
- •2.4. Контрольные вопросы к главе 2
- •3.3. Колебания пружинного маятника
- •3.5. Колебания физического маятника
- •3.6. Колебания в электромагнитном контуре
- •3.7. Вынужденные колебания
- •3.9. Сложение колебаний
- •ЗЛО. Контрольные вопросы к главе 3
- •4. ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
- •4.1. Классификация уравнений математической физики
- •4.2. Уравнение теплопроводности
- •4.4. Уравнения эллиптического типа
- •4.5. Волновое уравнение
- •4.6. Уравнение Шредингера
- •Список литературы
По правилам вычисления частных производных имеем
di\А = z2 + 2xyzJ-г3x2y 2z2
Желательно на конкретных примерах понять смысл дивергенции. Помочь этому пониманию помогает его определение (2.5).
На рис. 8 изображены три варианта полей некоторых векторных величин. В первом варианте поток вектора через замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно, будет равна нулю и дивергенция (расходимость). Во втором
divA =О div.4 > О diуА < О
Рис. 8. Примеры полей с различными значениями дивергенции
варианте величина потока положительна. Положительной будет и дивергенция. В третьем варианте величина потока отрицательна. Отрицательной будет и величина дивергенции. Очевидно, что для однородных полей дивергенция тождественно равна нулю.
Вспомним пример применения теоремы Гаусса для точечного заряда.
Вычисленная |
величина напряженности £г ~1/г2, поток через сферическую |
поверхность |
O£=const. Для вычисления дивергенции следует поток |
разделить на объем сферы и устремить радиус сферы к нулю. При этом мы увидим, что дивергенция вектора напряженности поля точечного заряда в месте расположения заряда равна бесконечности.
Понятие дивергенции широко используется в гидродинамике. Для несжимаемой жидкости дивергенция скорости жидкости равна нулю. В этом заложен простой физический смысл - количество втекающей жидкости в любой объем равно количеству вытекающей жидкости.
2.3. Ротор и циркуляция вектора
Ротор или вихрь векторного поля вычисляется по формуле
(2.11)
Символ rot происходит от латинского слова rotatio (вращаю). В старых книгах встречается иногда символ curl (от английского слова, обозначающего локон, вихрь). Для облегчения запоминания компонент ротора следует учесть две особенности. Первая особенность - координаты, по которым определяются производные от компонент вектора, берутся в циклическом порядке: для
компоненты по |
х - y,z; для компоненты по |
~z,x; |
для компоненты по |
z -х ,у . Вторая |
особенность - компоненты |
вектора |
имеют родственные |
координаты в диагональных направлениях. Кроме того, компоненты ротора могут быть получены путем раскрытия определителя:
'• |
j |
к |
|
rotF = д_ |
д_ |
д_ |
(2 . 12) |
дх |
ду |
dz |
|
F |
F |
F |
|
Векторное поле считается безвихревым, если в каждой точке поля все компоненты ротора равны нулю. Особенности безвихревых полей мы обсудим позднее. Чтобы дать физическое толкование вихрю скорости, представим, что в потоке жидкости помещается вертушка, взаимодействующая с потоком. Такая вертушка является индикатором завихренности потока. В потоке с однородной скоростью эта вертушка не вращается. В однородном поле и все компоненты ротора скорости равны нулю. В неоднородном потоке скорость вращения этой вертушки будет пропорциональна ротору скорости.
На рис. 9 показаны возможные варианты потока жидкости или газа и соответствующие направления вращения вертушки.
rot V >0 |
rot V < 0 |
rot V - 0 |
Рис. 9. Примеры векторных полей с различным знаком ротора
Важным понятием, имеющим отношение к вихрю или ротору вектора, является интеграл вдоль некоторой линии L (p ис. 10)
2 |
2 |
2 |
|
JF • d7 = J/■; • dl = J(/^ • dx+ Fy ■dy + Fz ■dr) |
(2.13) |
||
I |
I |
! |
|
Если вектор F - это вектор силы, интеграл (2ЛЗ) имеет физический смысл - это работа силы при передвижении от точки 1 к точке 2. В случае замкнутой линии (рис. 11) соответствующий интеграл называется циркуляцией век тора по замкнутому контуру и обоз начается следующим образом:
|
|
|
|
|
cfF-d/ |
=cf Fr dl. |
|
(2.14) |
|
|
|
|
|
|
(/-) |
|
(i) |
|
|
Следует обратить внимание на формальную схожесть этого интеграла |
|||||||||
с интегралом |
для потока |
вектора |
(| F • d5 и |
понять, что эго - различные |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
<•*) |
|
|
понятия. Циркуляция - это интеграл |
|
|
|||||||
вдоль замкнутой линии |
L . а поток -- это |
|
|
||||||
интеграл по замкнутой поверхности S . |
|
|
|||||||
Дадим |
|
пример |
вычисления |
|
|
||||
циркуляции ротора вектора скорости V , |
|
|
|||||||
соответствующего |
|
«твердотельному |
|
|
|||||
вращению». Такой вектор проще всего |
|
|
|||||||
описать в полярных координатах и в этих |
|
|
|||||||
координатах |
задать |
одну |
компоненту |
|
|
||||
скорости |
= оor ( со —угловая |
скорость, |
|
|
|||||
л*-расстояние |
от |
оси |
вращения). |
Рис. 11. Интеграл по замкнутому |
|||||
В качестве |
замкнутой |
линии |
выберем |
контуру |
|
||||
круг радиуса г |
с центром, совпадающим |
|
|
||||||
с осью вращения. В этом случае интеграл от скалярного произведения |
|
||||||||
|
|
dl - |
|
|
• г • dtp = Кф- r<^d<p=2nVor = 2коуг2 |
(2.15) |
|||
|
(/-) |
U) |
|
|
U) |
|
|
||
Циркуляцию |
и |
ротор |
скорости связывает теорема Стокса. |
Стокс |
|||||
(английский физик и математик) вывел эту формулу в 1854 году. Математически его теорема записывается в виде
j F - d I = <jratF-dS |
(2.16) |
U)(S)
Словесная формулировка теоремы Стокса звучит так - циркуляция вектора F , характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольного замкнутого контура L в этом поле равна потоку вектора rotF через поверхность S , натянутую на контур L. С помощью теоремы Стокса осуществляется переход от интегральных формулировок уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.
Из теоремы Стокса вытекает еще одно определение ротора скорости:
|
< J f d / |
|
rotF = lim ^------- • |
(2.17) |
|
S-+0 |
S |
|
Покажем пример применения этой формулы для вычисления ротора «твердотельного вращения» на оси вращения. По формуле (2.15) циркуляция твердотельного вращения по кругу радиусом г равна 2псог2 Поделив это значение на площадь круга лг2, получим, что rotF = 2co, даже не прибегая в этом случае к предельному переходу S —> 0.
Вернемся к случаю, когда ротор вектора в каждой точке пространства равен нулю. Такие поля называются безвихревыми. В теории поля строго доказывается, что векторное поле является безвихревым тогда и только тогда, когда соответствующий вектор является градиентом некоторой скалярной
функции Ф(^): |
|
|
|
F = grad ®(?) = VO(r) = / ^ + |
; ^ |
+ * ^ . |
(2.18) |
дх |
ду |
oz |
|
Функцию Ф(г) часто называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля. Для безвихревого поля криволинейный интеграл (2.13) просто выражается через скалярный потенциал:
2 |
|
j F d f = <i>(l)-0(2). |
(2.19) |
1 |
|
Это очень важное утверждение. Оно означает, что интеграл вдоль любой кривой, соединяющей две точки, не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек. На языке работы это означает, что работа силы на пути от точки 1 к точке 2 одинакова для всех траекторий, соединяющих эти точки. Примеры полей с обсуждаемыми свойствами известны со школы. Это поле гравитации и электростатическое поле электрических зарядов.
Из формулы (2.19) вытекает еще одно важное следствие - циркуляция безвихревого поля по любому замкнутому контуру равна нулю:
С р -d/ =Ф(1)-Ф(1) = 0. |
(2.20) |
<£) |
|