4.4. Уравнения эллиптического типа

Типичным примером эллиптического уравнения является уравнение Пуассона:

Кроме того, будем полагать, что областью определения является прямоугольник (0<дг</р 0 < у < / 2), на границах которого заданы значения искомой функции:

Сформулированная задача (4.38)-{4.39) с заданными значениями функции на границе называется внутренней задачей Дирихле. Если требуется найти решения вне заданной области, задача называется внешней задачей Дирихле. Соответствующие определения годятся и для трехмерной задачи. Доказано, что задача Дирихле корректно поставлена и потому имеет единственное решение.

Существует группа приближенных методов решения краевых задач, объединенных названием методы взвешенных невязок. К числу этих методов относятся: метод Галеркина, метод моментов, метод Ритца, метод коллокации и другие. Не вдаваясь в подробности, опишем кратко основные идеи этих методов. Решение задачи ищется в виде суммы известных (выбранных) функций \\fk(r) с неизвестными коэффициентами:

Выбранные функции называются базисными. Приближенное решение й(г) подставляется в решаемое уравнение, и, таким образом, вычисляется невязка. Коэффициенты ск находятся из условия минимизации невязки. Методы различаются способами минимизации невязки. Успех методов во многом определяется набором базисных функций. Набор этих функций должен обладать свойством полноты (полнота обеспечивает возможность

аппроксимировать любую функцию с заданной точностью). При удачном выборе базисных функций достаточно небольшого количества функций для получения хорошего приближения.

Здесь мы опишем весьма популярный метод решения любых задач математической физики - конечно-разностный метод, или метод сеток. Глобальная идея метода проста и прозрачна. Все производные в решаемом уравнении заменяются конечными разностями, и, таким образом, осуществляется переход к алгебраической задаче. Решение алгебраической задачи, полученное, как правило, на ЭВМ, дает приближенное решение в узлах сетки.

Использование метода сеток требует знания трех важнейших понятий - погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости [4, 5, 9]. Здесь мы не будем углубляться в эти детали, изложенные во многих книгах по численным методам, а укажем лишь сведения, необходимые для раскрытия математического смысла уравнения Лапласа.

Для замены производных конечно-разностными соотношениями вводятся дискретные значения аргументов (сетка). Будем полагать, что мы отыскиваем решение для фиксированных значений аргументов:

В случае квадратной сетки hl =h2=h система уравнений может быть приведена к виду