В случае уравнения Лапласа ( / = 0) система приобретает вид

из которого отчетливо виден математический смысл оператора Лапласа. Оператор Лапласа соответствует операции усреднения - значение искомой функции в каждом узле пространственной сетки равно среднему арифметическому от значений в соседних узлах. Формулу (4.45) впервые получил немецкий математик Рунге.

4.5. Волновое уравнение

где с - скорость распространения волны.

Уравнение (4.46) предполагает, что скорость распространения волн одинакова для волн любой длины (нет дисперсии и нет затухания). В качестве неизвестной функции u(t,x,y,z) для упругих колебаний может выступать какаялибо характеристика отклонения от равновесия (смещение, плотность, давление). В случае электромагнитной волны в качестве неизвестной функции может выступать напряженность электрического или магнитного поля. При изучении волн на воде неизвестной функцией является высота поверхности жидкости.

Скорость распространения электромагнитной волны в пустоте равна скорости распространения света в пустоте с«3*108м/с. В среде с показателем преломления п эта скорость уменьшается в п раз. Скорость распространения звука в идеальном газе выражается формулой

где К - модуль объемной упругости; р - плотность газа; у - отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме; R —универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура газа; р - молекулярный вес газа. При нормальных условиях скорость

распространения звука в воздухе с ~ 340 м/с.

Для твердых тел различают продольные и поперечные волны. Скорости этих волн различны и определяются через соответствующие модули упругости.

Простейшей моделью для изучения волнового уравнения являются поперечные колебания струны. Скорость распространения волн в струне зависит от силы натяжения F , плотности р и площади поперечного сечения

S : c =yl F /(pS). Колебания струны описываются одномерным волновым уравнением

д2и _ 2 д2и

(4.48)

dt2 дх2

Прямой подстановкой доказывается, что общим решением уравнения (4.48) для бесконечно длинной струны является любая функция аргумента

(х ± ct)

Это решение называют решением Д'Аламбера. Первая функция описывает распространение возмущения по оси х вправо (прямая волна), а вторая - в противоположном направлении (обратная волна). Таким образом, решение Д’Аламбера является суммой прямой и обратной волн. Аргументы функции в решении Д’Аламбера определяют фазу. Приравняв фазу первой функции нулю, получим скорость перемещения фазы:

Отметим, что первая функция является общим решением также более простого уравнения - уравнения переноса:

Дифференцирование уравнения переноса по времени дает волновое уравнение (4.48).

Дадим геометрическую иллюстрацию решения f x(x -c t) в плоскости y - f \ ( x - c t ) и х при двух значениях времени / = 0 и t = tl = lfc (рис. 31). Как видно, заданное распределение y(x) = f }(x)передвигается вдоль оси х с пос­ тоянной скоростью с. Соответственно, функция f 2(x +ct) описывает перемещение распределения у(х) = f 2(x) в обратном направлении.

Пока мы обсуждали общие решения волнового уравнения без упоминания начальных условий. При заданных начальных условиях:

мы имеем так называемую задачу Коши. Решением задачи Коши является

формула Д\Аламбера:

^^ С х-а

Из этой формулы видна очевидная однозначность решения и его непрерывная зависимость от начальных условий. Формула описывает обычное (классическое) решение задачи в предположении, что функция ср0(х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а функция Ф^лО-до первого. При решении конкретных задач функции, описывающие начальное состояние, могут и не удовлетворять упомянутым условиям гладкости. В этом случае вводят понятие обобщенного решения как предела некоторой последовательности, сходящейся к заданному начальному условию. Мы не будем углубляться в соответствующие математические тонкости этого понятия, отсылая заинтересованного читателя к специальной литературе [6].

Для волнового уравнения типичными простейшими решениями являются гармонические функции

где я,, а2 - амплитуды волн, распространяющихся в противоположных

направлениях; к - волновое число, к =2%!Х\ X - длина волны, социк­ лическая частота.

Решения вида (4.54) описывают плоские волны, фронт такой волны (координаты с одинаковым значением фазы) представляет в пространстве плоскости перпендикулярные оси х . Приравняв фазу первого слагаемого нулю, получим значение фазовой скорости

где п - частота колебаний; Т - период колебаний, Т -М п .

Воспользоваться решениями вида (4.54) для задачи Коши можно, вспомнив, что начальные функции можно разложить в ряд Фурье, и воспользовавшись принципом суперпозиции. Мы опишем подобный подход для полной начально-краевой задачи.

Решения вида (4.53) описывают распространение возмущений для бесконечной струны. В случае конечной струны необходимо учесть граничные условия на концах струны. Будем полагать, что имеем дело со струной конечной длины / с закрепленными концами

Формула Д’Аламбера годится и в этом случае. Однако необходимо учесть, что решение должно быть определено лишь в интервале по х от нуля до /, и потому необходимо уметь учитывать отражение волн от концов струны. Обычно это не делают, а решают новую начально-краевую задачу методом разделения переменных.

Метод разделения приводит к двум уравнениям:

Первое уравнение с выписанными граничными условиями дает задачу Штурма - Лиувилля, которая была разобрана в разделе 4.3. Решение этой задачи дает набор собственных функций и собственных значений:

Коэффициенты этого уравнения пока произвольны. Они определятся с помощью начальных условий и представления функций, задающих начальные условия в ряд Фурье.

В силу принципа суперпозиции решений общее решение может быть представлено рядом