- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,
Щ Х уХ 2 • = Щ Хх\ ЩХ2\ М[Хп]. (5.22)
Случайные величины называются независимыми, если каждая из них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от возможных значений других величин.
Дисперсия неслучайной величины равна нулю |
|
D[c] = 0. |
(5.23) |
Неслучайную величину можно вынести за знак дисперсии, |
|
D[cX] = cD[Xl. |
(5.24) |
Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожида ния,
D[X] = M [X*]-mx2. |
(5.25) |
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин,
D{X\+X2 + ...+ * „ ] = D[X\] + D[X2] + ...+ D[Xn]. |
(5.26) |
5.2.Равномерное распределение
Равномерным называется распределение, для которого плотность вероятности fix) постоянна в определенных пределах и равна нулю вне этих пределов (рис. 5.4),
с |
при а< х < Ъ |
/ (* ) = 0 при |
(5.27) |
х < а или х>Ь |
Другими словами равномерным называется распределение такой случайной величины, появление любого значения которой равновероятно.
Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна едини це c{b - а) = 1, то в формуле (5.27) с = 1 !{Ъ - а).
Функция распределения (рис. 5.5) задается выражением:
0 |
при |
х < а |
|
х - а |
при |
а < х < Ь |
(5.28) |
F(x) = |
Ъ -а
1 при х > Ъ
Рис. 5.4. Плотность вероятности |
Рис. 5.5. Функция равномерного |
равномерного распределения |
распределения |
Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины X определяется как
тX |
(5.29) |
В силу симметричности равномерного распределения медиана вели чины X также определяется как *о,5 = (я + Ь)/2. Дисперсия случайной вели чины X
стх2 |
(5.30) |
5.3.Нормальное распределение
Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид
1 / (* ) = - Ж
где -о о < х < оо.
Функция распределения
( х ~ т х )
2oi
(5.31)
|
( х ~ т х ) |
|
|
F (x ) = - |
2ст? |
dx. |
(5.32) |
гл/2л |
Iе |
|
|
Плотность и функция распределения нормированной случайной ве личины соответственно определяются как
1 |
- V |
(5.33) |
/о(*) = |
|
|
л/2Г |
|
|
Fo(x)= w |
J : 2dx- |
(5.34) |
|
||
Нормальное распределение нормированной случайной величины на зывается стандартным.
Графики плотности и функции нормального распределения норми рованной случайной величины приведены на рис. .5.6, а, б.
Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Нормальный закон при неко торых условиях является предельным законом для суммы большого числа п независимых случайных величин, каждая из которых подчинена какомулибо закону распределения. Основное ограничение состоит в том, чтобы все слагаемые играли в общей сумме относительно малую роль. Если у яв лений множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) факторов, то закон распределения таких явлений близок к нормальному. Нормальный закон распределения широко используется при обработке наблюдений.
б
Рис. 5.6. Плотность (а ) и функция (б ) нормального распределения
Нормальное распределение содержит минимум информации по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следова тельно, замена некоторого распределения эквивалентным нормальным не может привести к переоценке точности наблюдений. График плотности распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.