5.М ЕТОДЫ СТАТИ СТИ ЧЕСКО ГО АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМ ЕНТА

5.1.Основные характеристики случайных величин

Случайные величины и законы распределения

Под случайной величиной понимают такую величину, значение ко­ торой принципиально нельзя предсказать, исходя из условий проведения опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значе­ ний, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Непредсказуемость значений случайной величины обуслов­ лена наличием случайных факторов, влияние которых на результаты опы­ та не поддается точной оценке.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Возмож­ ные значения дискретных случайных величин можно перечислить заранее. Для непрерывных случайных величин реально указать только диапазон их возможных значений. Например, можно точно перечислить количество элементов трубопровода, которые выйдут из строя в течение года (от 0 до п элементов), но нельзя перечислить точные значения скорости их износа или точное время перехода в предельное состояние.

Пусть дискретная случайная величина X может принимать в резуль­ тате опыта значения х\, * 2, ... , х*. Тогда отношение числа опытов т,-, в ко­ торых X приняла значение xh к общему числу проведенных опытов п будет

называться частотой появления события X = Частота т^п также являет­

ся случайной величиной и меняется в зависимости от количества прове­ денных опытов. При большом числе опытов она имеет тенденцию стаби­ лизироваться около некоторого значения /?/, называемого вероятностью события X=Xi, т.е.

Производная функции распределения называется плотностью рас­ пределения случайной величины X (рис. 5.2). Если F(x) непрерывна и дифференцируема, то

Рис. 5.2. Плотность распределения непрерывной, случайной величины

Функция fix) так же, как и F(x% полностью определяет случайную величину. Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х\ и х = * 2, и кри­ вой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная ве­ личина примет значения из интервала х\ +Х2 '.

Полная площадь под кривой плотности распределения определяется

как

Числовые характеристики

В большинстве прикладных задач оперируют не с законами распре­ деления, а с числовыми характеристиками, выражающими характерные особенности случайной величины и называемыми моментами случайной величины. Аналогично моментам функции РВП (см. раздел 3.2) моменты случайной величины бывают двух видов: начальные и центральные.

Начальный момент первого порядка М\ называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины. Математическое ожидание принято обозначать: М[Х\, тх, т. Чаще, чем начальные, исполь­ зуют центральные моменты. Первый центральный момент всегда равен нулю Ц] = 0. Второй центральный момент рг называется дисперсией. Дис­ персией случайной величины называется математическое ожидание квад­ рата отклонения случайной величины от ее математического ожидания,

кретной и непрерывной случайных величин дисперсия определится сле­

Моменты более высокого порядка используются реже.

Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды для дискретных величин сходятся. Для случайных величин, значения ко­ торых ограничены, моменты всегда существуют. Если у случайной вели­ чины существуют первый и второй моменты, то можно построить норми­ рованную случайную величину:

Квантилем хр распределения случайной величины X с функцией рас­ пределения F(x) называется решение уравнения

т.е. хр такое значение случайной величины, что

Если известны два квантиля хр и хд, то

Наиболее важное значение имеет квантиль * 0,5, называемый медиа­ ной распределения (см. рис. 5.3). Ордината медианы рассекает кривую ве­ роятности пополам.

Значения квантилей нормального распределения для наиболее ис­ пользуемых вероятностей приведены в табл. 5.1.

Таблица 5. 1 Квантили нормального нормированного распределения

Свойства математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание неслучайной величины равно значению