Идентификация систем управления учебное пособие
..pdfдовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующее звено, – две неизмеряемые переменные.
Матрицы перехода данных объектов имеют следующий вид:
• реальное интегрирующее звено
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
a11 |
|
; |
(1.95) |
Ф = b1 |
0 |
||||
|
0 |
a21 |
|
|
|
|
0 |
|
|
• реальное интегрирующее звено с суммарным входом:
1 |
0 |
0 |
|
|
|
a11 |
|
; |
(1.96) |
Ф = b1 |
0 |
|||
|
a21 |
|
|
|
b2 |
0 |
|
|
• последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
|
|
Ф = |
b1 |
0 |
(1.97) |
|||
|
|
|
|
. |
||
|
0 |
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
0 |
a32 |
1 |
|
Для звеньев 2-го порядка обобщенная матрица перехода имеет
вид:
1 |
0 |
0 |
|
|
a11 |
0 |
|
Ф = b1 |
. |
||
|
a21 |
a22 |
|
b2 |
|
С учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики (1.94) может быть записано в следующем виде:
u(k +1) = u(k), |
|
x(k +1) = b1u(k) +a11x(k), |
(1.98) |
y(k +1) = b2u(k) + a21x(k) + a22 y(k).
Выражение (1.98) после исключения из x(k) – неизмеряемой координаты – имеет вид
61
|
1 |
|
|
( y(k |
+2) −(a11 +a22 ) y(k +1) + |
||||
|
b1a21 +b2 (1−a11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+a11a22 y(k)) = u(k) |
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 y(k +2) +c2 y(k +1) +c3 y(k) = u(k), |
||||||||
где |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
c1 |
= |
|
|
|
, |
|||
|
|
b1a21 |
+b2 (1−a11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c2 |
= |
|
|
−(a11 +a22 ) |
|
, |
||
|
|
b1a21 |
+b2 (1−a11) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c3 |
= |
|
|
a11a22 |
|
|
. |
|
|
|
b1a21 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+b2 (1−a11) |
(1.99)
(1.100)
(1.101)
(1.102)
(1.103)
После наблюдений над объектом, в результате которых сформируются матрицы измерений входных U (k) и выходных Y (k) переменных,
уравнение (1.100) решается относительно коэффициентов c1, c2 , c3.
По известным коэффициентам c1, c2 , c3 определяются коэффициенты матрицы переходов:
• реальное интегрирующее звено:
b1a21 = 1 ,
c1
|
a |
|
+a |
22 |
|
= − |
c2 |
, |
|
(1.104) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a a |
|
|
= |
c3 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
11 |
22 |
|
|
|
c1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• реальное интегрирующее звено с суммарным входом: |
||||||||||||||||
b a |
21 |
+b (1 |
−a ) = |
1 |
, |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
11 |
|
|
c1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+a |
22 |
|
= − |
c2 |
, |
|
(1.105) |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a a |
|
= |
c3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
22 |
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Коэффициент b2 представляет собой реакцию системы на вход-
ное воздействие на первом интервале дискретности, поэтому вычислить его несложно.
Таким образом, в результате идентификации определяются ко-
эффициенты матрицы перехода: a11, a22 , b1a11 или b2 , a11, a22 , b1a11. Это означает, что предложенный алгоритм идентификации по-
зволяет определить постоянные времени a |
= |
1 |
, |
a |
= |
1 |
и общий |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
11 |
|
T1 |
22 |
|
T2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
коэффициент усиления K = K K |
2 |
= |
b1a21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Σ |
1 |
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для звеньев 3-го порядка, в которых неизмеряемыми являются две внутренние переменные x1,x2 , с учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики (1.94) может быть записано в следующем виде:
u(k +1) = u(k), |
|
|
|
|
|
||||||||
x1(k +1) = b1u(k) + a11x1(k), |
(1.106) |
||||||||||||
x2 (k +1) = a21u(k) + a22 x2 (k), |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
y(k +1) = a32 x2 (k) + y(k). |
|
||||||||||||
Выражение (1.106) после исключения из него неизмеряемых ко- |
|||||||||||||
ординат имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 y(k +3) +c2 y(k + 2) +c3 y(k +1) +c4 y(k) = u(k), |
(1.107) |
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
= |
|
, |
|
|
|
(1.108) |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
b1a21a32 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c |
|
= − |
a11 +a22 +1 |
, |
|
(1.109) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
b1a21a32 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
= |
a11a22 +a11 +a22 |
, |
(1.110) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
b1a21a32 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c |
= − |
a11a22 |
. |
(1.111) |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
b1a21a32 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
После наблюдений над объектом, в результате которых сформируются матрицы измерений входных U (k) и выходных Y (k) переменных, уравнение (1.107) разрешается относительно коэффициентов c1, c2 , c3 , c4.
По известным коэффициентам c1, c2 , c3 , c4 определяются:
• коэффициенты матрицы переходов:
b a |
a |
|
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
21 |
32 |
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
+a |
22 |
+1 = − |
c2 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.112) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
a |
a |
|
+a +a |
22 |
= |
, |
||||||||
|
|
|||||||||||||
11 |
22 |
|
11 |
|
|
|
|
c1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
= − |
c4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
22 |
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• реальное интегрирующее звено с суммарным входом:
b1a21 +b2 (1−a11) = 1 ,
c1
a |
+a |
22 |
= − |
c2 |
, |
(1.113) |
|
|
|||||||
11 |
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
= |
c3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
22 |
|
c1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Система уравнений (1.113) разрешается относительно |
a11, a22 , |
b1a21, a32 , т.е. так же, как и для звеньев 2-го порядка определяются по-
стоянные времени a = |
1 |
, a |
22 |
= |
1 |
и общий коэффициент усиления |
|
|
|||||
11 |
T1 |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
KΣ = K1K2 K3 = b1a21a32 . a11a22
Таким образом, предложенный подход к решению задачи идентификации с неизмеряемыми координатами позволяет получить простой и практический реализуемый алгоритм для идентификации объектов данного класса.
64
1.6.Контрольные вопросы и задания
1.Какие методы построения модели (аналитические, экспериментальные и экспериментально-аналитические) используются на стадии проектирования элементов и подсистем СУ ДЛА?
2.Как выполнить сбор экспериментальных данных, как использовать эти данные, собранные в реальных условиях проведения полунатурного и натурного моделирования СУ ДЛА?
3.Обоснуйте выбор схемы реализации идентификации подсистем СУ ДЛА в полунатурном и натурном моделировании.
4.Какое описание для подсистем СУ ДЛА предпочтительнее?
5.Всегда ли ненаблюдаемая СУ является неуправляемой?
6.Приведите пример неидентифицируемости объекта 3-го порядка при неизвестных параметрах.
7.При каких условиях матрица UU T будет плохо обусловленной? Как это отразится на оценивании параметров одномерной и многомерной линейной регрессионной модели?
8. Исследуйте управляемость системы, заданной уравнением
dX (t) |
= AX (t) + BU (t), |
|
где A = |
1 |
−1 |
, |
B = |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Y (t) = CX (t) + DU (t), |
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. Исследуйте |
наблюдаемость |
системы, заданной |
|
уравнением |
||||||||||||||||||
dX (t) |
= AX (t) + BU (t), |
|
где A = |
1 |
−1 |
, |
B = |
2 , C = 1 |
2 . |
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
||||
Y (t) = CX (t) + DU (t), |
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. Постройте дискретную передаточную модель в пространстве |
||||||||||||||||||||||
состояния |
для |
|
системы |
с |
|
передаточной |
|
функцией |
||||||||||||||
W (z) = |
|
0,6z |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z3 −2,5z2 +1,4z −0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. Идентифицируйте дискретную |
|
систему |
первого |
порядка |
||||||||||||||||||
y(k +1) = ay(k) +bu(k), |
|
используя |
линейную регрессию, на основе |
|||||||||||||||||||
следующих данных о входе и выходе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
u |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
y |
|
–5 |
–4 |
|
–4 |
|
–2 |
|
–2 |
|
–2 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
12. Идентифицируйте |
матрицы |
|
параметров |
|
A = a11 |
a12 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|||
B = |
b1 |
|
|
|
dX (t) |
= AX (t) + BU (t) с помощью регрессии по сле- |
||||||||||||||||||||
|
системы |
|
dt |
|||||||||||||||||||||||
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дующим результатам измерений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
|
7 |
|
||||
x1 |
|
|
|
1,00 |
|
0,99 |
|
0,97 |
|
0,96 |
|
0,95 |
|
0,94 |
0,93 |
|
|
0,92 |
|
|||||||
x2 |
|
|
|
0,00 |
|
–0,10 |
|
–0,19 |
–0,23 |
|
–0,28 |
|
–0,25 |
–0,22 |
|
|
–0,18 |
|
||||||||
u |
|
|
|
1,00 |
|
1,25 |
|
1,50 |
|
1,75 |
|
2,00 |
|
2,25 |
2,50 |
|
|
2,75 |
|
|||||||
|
13. Определите параметры нелинейной модели y = aebx +c |
|
на ос- |
|||||||||||||||||||||||
нове регрессионной модели по следующим данным: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
1,84 |
1,92 |
|
2,00 |
|
2,08 |
|
2,16 |
|
2,24 |
|
|
2,32 |
|
2,40 |
|
2,48 |
|
|||||||
y |
|
61,70 |
62,50 |
|
63,00 |
|
63,55 |
|
64,50 |
|
65,00 |
|
65,40 |
|
66,40 |
|
67,10 |
|
14. Определите алгоритм оценивания параметров системы с ограничениями по измерениям (неизмеряемая переменная x2 ), если структура матрицы коэффициентов имеет вид
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
a11 |
0 |
|
A = b1 |
. |
|||
|
0 |
a21 |
a22 |
|
|
|
66
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
При исследовании идентификационных моделей решаются следующие задачи:
•планирование эксперимента;
•оценка адекватности модели объекту исследования;
•моделирование идентификационных моделей.
2.1. Постановка эксперимента
По способу тестирования различают активные и пассивные методы идентификации [5].
Пассивным называют эксперимент, в котором регистрация входных и выходных данных осуществляется в рабочем режиме без использования дополнительных вмешательств. Он применяется тогда, когда структура модели хорошо известна и ее адекватность не вызывает сомнений (когда решаются задачи параметрической идентификации).
При использовании пассивных методов объектнаходится вусловиях нормального функционирования, и параметры модели отыскиваются по результатам статистической обработки наблюдений. Преимуществом этого подхода является отсутствие необходимости проводить специальные исследования объекта, достаточно лишь измерить наблюдаемые сигналы в режиме рабочего функционирования объекта с последующим расчетом параметров модели. Недостатками такого подхода являются значительные временные затраты на сбор и необходимую статистическую обработку данных и жесткие требования к частотному спектру входного воздействия – он не должен быть меньше частот динамической характеристики идентифицируемого объекта.
Активный эксперимент предполагает особую программу проведения наблюдений, которые позволяют по результатам исследований дополнительно оценить структуру модели [5, 7]. В активных методах на вход объекта подаются специально сформированные воздействия – тестовые сигналы – детерминированного или случайного характера. Достоинствами этого подхода являются минимальные требования к априорным сведениям об объекте, целенаправленный характер иден-
67
тификации и, как следствие, уменьшение временных и материальных затрат на проведение эксперимента.
Факторами активного эксперимента называют переменные, по которым можно проводить управление и которые участвуют в построении модели (хi).
Каждый из факторов может принимать различные значения, которые называются уровнями. На практике количество уровней – это бесконечное количество или непрерывный ряд уровней xi [x0i , xni].
В теории активного эксперимента этот ряд дискретизируется и выбираются отдельные уровни [xi0 , xi1, xi2].
Фиксированный наборуровней называется состоянием факторов. План – это программа проведения эксперимента, позволяющая использовать все факторы на всех уровнях. Если план содержит всевозможные сочетания факторов и уровней, то его называют полным. Если р – общее количество уровней; к – количество факторов, то полный план эксперимента будет включать в себя следующее количе-
ство экспериментов:
N = рк. |
(2.1) |
Пример: к = 3, р = 4, то N = 43 = 64 эксперимента.
Полный план позволяет построить адекватную модель, но требует большого количества экспериментов, поэтому на практике применяют усеченные планы, так называемые дробные планы, в которых количество экспериментов меньше, чем в полном плане, но они с достаточной долей точности могут определить адекватность модели.
Любая модель определяется по формуле
A =Y U |
Т |
Т |
−1 |
(2.2) |
U U |
|
, |
||
|
|
|
|
где M =U U Т – называется информационной матрицей.
В зависимости от способа минимизации информационной матрицы выделяют следующие планы:
• D-план. План эксперимента, при котором выбор информационной матрицы определяется по принципу минимизации определителя –
mindetMi .
i
68
• А-план. План эксперимента, при котором минимизируется след
матрицы – mintrMi .
i
• Условием задания Е-плана является выбор плана таким, чтобы максимальное собственное число матрицы М было минимальным –
minmaxλ(M ).
i
На практике чаще строятся D-планы.
Основным условием D-плана является то, что он будет отвечать условию оптимальности, если информационная матрица М будет диагональной.
−1
Пример: р = 2, к = 3, xi = +1.
Соответственно, полный план будет иметь вид
23 = 8
x1 |
x2 |
x3 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Тогда с учетом этого условия выбирается некий дробный план: 23–1 = 4
x1 |
x2 |
x3 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
т.е. откидываем любую переменную (x3), и план уменьшается на 4 единицы. Для оставшихся двух переменных строится полный план, а x3 считается равной x3 = x1 x2.
Построенный по такому принципу D-план отвечает условиям D-оптимальности, при этом переменная x3 называется генератором дробного плана.
69
Для двухуровневой системы количество экспериментов равно 2к–N, где N < к, а оставшиеся генераторы плана составляются как результаты поэлементного умножения основных факторов, при этом количест-
во множителей составляет от 2 до N–к. Пример: 26–4
x1 |
x2 |
x3 |
x1 x3 |
x2 x3 |
x1 x2 x3 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Выбор двух уровней из непрерывного ряда уровней:
xi [x0i , xni],
–1 – начало уровней x0i; +1 – конец уровней xni.
Следует отметить в практических задачах идентификации, в частности в построении идентификационных моделей подсистем СУ ДЛА, что возможность варьирования входными переменными (а именно это и представляет собой активный эксперимент) резко ограничена в основном конструктивными особенностями объекта. Поэтому идентификация моделей СУ ДЛАпроходит на основе пассивного эксперимента.
2.2. Оценивание адекватности моделей
После того как модель построена, необходимо удостовериться в ее качестве. С этой целью выполняют проверку адекватности модели процессу, объекту или явлению, для которых она построена.
Проверить адекватность модели – значит установить, насколько хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько качественно она будет прогнозировать развитие данных процессов. Проверка адекватности проводится на основании некоторой экспериментальной информации, полученной на этапе функционирования системы или при проведении специального эксперимента, в ходе которого наблюдаются интересующие процессы.
Проверка адекватности заключается в доказательстве факта, что точность результатов, полученных по модели, будет не хуже точности расчетов, произведенных на основании экспериментальных данных.
70