Идентификация систем управления учебное пособие

где U – единичный столбец, введенный для идентификации парамет-

a0

Am – матрица коэффициентов модели, Am = a1 .

Man

Ошибка оценивания, или функция невязки, имеет вид

Тогда критерий оптимальности определяется по методу наименьших квадратов:

Таким образом, наилучшая (в смысле наименьших квадратов) оценка матрицы Am определяется как решение следующего уравнения:

зуем выражение (1.50):

41

= дtr(YYT +UAm (UAm )T −Y (UAm )T −UAmY )T =

дAm

= дtr(YYT +UAm AmTU T −YAmTU T −UAmY )T =

дAm

Таким образом, наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка матрицы параметров Am удовлетворяет уравнению

Данное выражение и является основой для идентификации на основе линейной регрессии и метода наименьших квадратов.

Для того чтобы построенная модель была адекватна объекту, количество измерений k должно удовлетворять следующему условию:

Одномерный линейный регрессионный анализ может быть применим и для нелинейных систем. Проиллюстрируем следующим примером.

Пусть система описана квадратичным уравнением

42

y = a0 + a1x + a2 x2.

Нетрудно заметить, что уравнение (1.54) применимо для уравнения (1.45) при условии, что u1 = x,u2 = x2. Тогда матрица U определяется как

a0

Оценивание вектора параметров A = a1 осуществляется по

a2

формуле (1.52).

Рассмотрим линейную статическую систему, представленную на рис. 1.15, имеющую n входов U и m выходов Y.

Рис. 1.15. Схема многомерной системы

Процесс, протекающий в многомерных системах, имеет n входов и m выходов и по аналогии с одномерным процессом может быть описан следующей системой уравнений:

n

ym = am0 +∑amiui . i=1

43

дαβαдα T = α(β+βT )

=0 + Am (UU T +(UU T )T ) −YU T −(I )T (UYT )T =

=Am (UU T +UU T ) −YU T −YU T =

= 2AmUU T −2UX T = 0.

Таким образом, наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка матрицы параметров Am удовлетворяет уравнению

Рассмотренные выше методы оценивания одномерной и многомерной линейной модели реализуются по явной схеме идентификации, достоинства и недостатки которой были рассмотрены выше.

На практике целесообразнее применять итерационные методы, т.е. схемы с настраиваемой модели.

Линейный регрессионный анализ может быть реализован в замкнутой схеме идентификации (схеме с настраиваемой моделью).

Итерационные методы идентификации используют методы последовательного уточнения матрицы коэффициентов.

Формула итерационного регрессионного анализа имеет вид

где Am (k +1), Am (k) – оцениваемая матрица коэффициентов в предыдущий и в текущий моменты наблюдений; Y (k +1) – вектор выхода, измеренный в текущий(k +1) момент наблюдений; U (k) – вектор входа, измеренный в предыдущий k-й момент наблюдений; P(k +1) – вспомогательная матрица, определяемая по формуле

45

P(k +1) = P(k) − P(k) U (k)×

×[1+U T (k)P(k)U (k)]−1U T (k)P(k). (1.60)

Итерационные вычисления осуществляются до тех пор, пока уточнение коэффициентов матрицы Am (k +1) не достигнет заданной точности:

Начальные значения матриц Am (0), P(0) можно определить произвольно, например, так:

где I – единичная матрица; ε – заданная точность оценивания.

1.4.6.Идентификация динамических систем

Воснове идентификации динамических систем, как правило, лежит описание данных систем в виде передаточной функции [7, 13, 21].

Допустим, динамическая система описана передаточной функцией следующего вида:

На основе передаточной функции (1.63) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка из n-уравнений

Y(t)= CX(t),

где Y(t) – вектор выходных переменных; U(t) – вектор входных пере-

менных; X(t) – вектор состояния (внутренние динамические перемен-

ные).

От дифференциальных уравнений переходим к разностным уравнениям

46

Необходимо определить параметры системы K1, K2 , T. Определим вектор состояния системы:

r V = x1 .

x2

Динамика процессов описывается с помощью системы дифференциальных уравнений:

drdt = 0,

этому для достоверных результатов идентификации (1.58) количество наблюдений l должно быть не менее 10.

В результате серии экспериментов определен вектор состояния:

а матрицы V (k), V (k +1), соответственно, имеют вид

48

Тогда можно определить матрицу перехода:

Ф(T0 ) =V (k +1) V T (k) V (k) V T (k) −1,

а на основе матрицы перехода – и матрицу коэффициентов:

A ≈ Ф(T0 ) − I. T0

Зная численные значения и структуру матрицы коэффициентов А, можно определить параметры системы K1, K2 , T.

1.4.7. Идентификация нелинейных систем

Достаточно развитая теория идентификации нелинейных систем предлагает большое количество различных методов их исследования. Но ни один из методов не является универсальным и характеризуется своей областью применения. Наиболее распространены следующие методы [3, 7, 21]:

1.Метод прямого поиска.

2.Аппроксимация нелинейности.

3.Модель Гаммерштейна.

4.Метод Винера.

5.Двухэтапная процедура. Рассмотрим каждый из методов.

1.Метод прямого поиска.

Нелинейную функцию f(x) преобразуют в линейную функцию fЛ(x) . Далее применяют любой метод идентификации линейныхсистем.

где x1,x2 – входные переменные; y – выходная переменная; α0 , β1, β2 –

оцениваемые параметры модели.

Нетрудно заметить, что логарифмирование нелинейного уравне-

r1, r2 – входные переменные линейной модели, r1 = lnx1, r2 = lnx2 ; a0 , a1, a2 – параметры линейнойсистемы, a0 = lnα, a1 =β1, a2 =β2.

Оценивание параметров линейной модели осуществляется явными методами одномерной линейной регрессии (1.52) или итерационным методом (схема с настраиваемой моделью) (1.59).

2. Аппроксимация нелинейностей.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая непрерывная нелинейная функция можетбыть представлена в виде полинома

Полином (1.70) легко приводится к линейной регрессии, алгоритм оценивания которой был рассмотрен выше.

Аппроксимация с помощью полинома удобна, если значения нелинейной функции получены экспериментально.

3. Модель Гаммерштейна.

В соответствии с моделью Гаммерштейна нелинейная система приводится к виду, представленному на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Структурная схема модели Гаммерштейна

Алгоритм идентификации зависит от априорной информации о виде нелинейности F(u(t)) .

Если известна функциональная зависимость F(u(t)) , то при вводе переменной z(t) = F(u(t)) идентификация сводится к определению параметров линейной части модели Гаммерштейна:

50