Идентификация систем управления учебное пособие
..pdfy(t) =W ( p)z(t). |
(1.71) |
Если функциональная зависимость F(u(t)) не известна, строится таблица этой нелинейной зависимости, по которой любой формулой интерполяции рассчитывается аппроксимирующий полином нелинейности P(u(t)) . Зная параметры аппроксимирующего полинома, определяют переменную z(t) = P(u(t)), и задача идентификации снова сводится к определению параметров линейной части модели Гаммер-
штейна (1.71).
4. Метод Винера.
Метод Винера – один из самых точных методов идентификации нелинейных систем.
Суть метода сводится к последовательному разложению входного сигнала сначала по коэффициентам Лагерра:
т |
|
x(t) ≈ ∑ci xi , |
(1.72) |
i=1 |
|
где ci – коэффициенты Лагерра; xi |
– дискретные значения входного |
||||
сигнала. |
|
|
|
|
|
Коэффициенты Лагерра рассчитываются по формуле |
|
||||
ci = |
xi |
|
|
, |
(1.73) |
(n +1)2 L |
|
(x )2 |
|||
|
n+1 |
i |
|
||
где Ln+1(xi ) – значение полинома Лагерра, вычисленного для дискретного значения сигнала xi .
Рекуррентная формула вычисления полинома Лагерра имеет вид
(n +1)Ln+1(x) = (2n +1− x)Ln (x) −nLn−1(x). |
(1.74) |
Коэффициенты Лагерра представляют в виде функции Эрмита:
c |
= (−1) |
i |
e |
i 2 d(e−x ) |
(1.75) |
||
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|||||
i |
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции Эрмита и выходные сигналы объекта исследования сравниваются специальным кросс-коррелятором, определяющим достоверность проведенной идентификации.
Данный подход обладает следующими достоинствами:
51
•Стационарный белый гауссов шум является наиболее общим тестовым сигналом для стационарной нелинейной системы.
•Любая нелинейная система имеет эквивалент в виде некоторой линейной системы (цепочка Лагерра) со многими выходам, за которой следует безынерционная система (функция Эрмита).
Однако подход Винера имеет ограниченное практическое применение. Это обусловлено следующими причинами:
•Требование, чтобы вход представлял белый гауссов шум, является слишком жестким. Гораздо удобнее иметь метод, способный обрабатывать реализации сигналов в процессе нормальной работы.
•Очень велико число коэффициентов, которое требуется для описания даже простой нелинейной системы.
•Теория Винера не позволяет получить описание нелинейных систем, допускающее ясную физическую интерпретацию.
5. Двухэтапная процедура идентификации нелинейных систем. Процедура оценивания параметров нелинейного объекта осуще-
ствляется в два этапа.
1) Нелинейная характеристика разбивается на участки, в пределах которых нелинейная функция может быть с достаточной долей точности представлена линейной функцией (рис. 1.18).
Рис. 1.18. Линеаризация нелинейной зависимости
Участки [xi , xi+1] называются участками линеаризации; начало участков xi – точкой линеаризации. В каждой точке линеаризации входной переменной придается незначительное приращение xi +∆xi
52
и фиксируется изменение выходной переменной xHi = f (xi +∆xi ). По
данным входного и выходного переходного процесса для каждой точки линеаризации с помощью методов идентификации для линейных систем рассчитывается матрица коэффициентовАi:
ai Ai = M11
ami 1
La1in
M .
Lamni
2) Аппроксимация линейных моделей в нелинейную функцию. Каждый коэффициент матрицы аппроксимируется по той или иной
интерполяционнойформуле спомощьюлюбого полинома akji = pkj (x).
p(x)
A = Mpm1(x)
L p1n(x)
M .
L pmn(x)
1.5.Совместное оценивание параметров и состояния
Висследовании систем автоматического управления ДЛА особый интерес представляет класс САУ с ограничениями по измерениям. Анализ известных методов идентификации показал, что большинство из них ориентированы на объекты с полной измеряемостью. Однако на практике полностью измерить переменные состояния не всегда представляется возможным [3, 7, 22]. Так, для объектов СУ ДЛА характерна ограниченная измеряемость, что предполагает усложнение алгоритма идентификации и отдельное исследование измеряемого объекта. Для гидромеханических агрегатов, являющихся исполнительными механизмами СУ ДЛА, основными динамическими координатами являются перемещения подвижных элементов. Такое выделение целесообразно, поскольку перемещения – выходные переменные динамических типовых функциональных элементов гидросистем. Однако не все перемещения являются измеряемыми переменными. Конструктивные особенности таких элементов, как золотник или изодром, не позволяют измерить перемещение их хода, так как движение поршней элементов происходит внутри закрытого объема.
53
Для данного класса объектов задача идентификации сводится к одновременному оцениванию параметров и неизмеряемых координат. Анализ известных методов идентификации [3] показал, что существует несколько подходов к решению поставленной задачи. Наибольший интерес представляет совместное оценивание параметров и состояния, которое предполагает расширение вектора состояния за счет неизмеряемых координат.
Пусть объект описывается системой уравнений
|
dX (t) |
= F |
( |
X |
|
t |
,U |
|
t |
, A , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
) |
(1.76) |
||||
|
|
|
|
( |
|
|
( |
) |
|
|
( ) |
|
) |
||||
Y |
( |
) |
= G |
X |
,U |
|
|
||||||||||
t |
|
|
t |
|
t |
, C , |
|
||||||||||
где X (t) – вектор состояния; U (t) |
|
– вектор входных переменных; |
|||||||||||||||
Y (t) – вектор выходных переменных; |
|
A – матрица коэффициентов; С – |
|||||||||||||||
матрица выхода.
Если параметры системы являются постоянными по времени, то векторизованную матрицу неизвестных параметров можно представить в следующем виде:
dA(t) |
= 0. |
(1.77) |
|
dt |
|||
|
|
Тогда систему уравнений (1.76) можно записать как
dX (t) = F(X (t),U (t), A),
dt |
(1.78) |
|
dA |
|
|
= 0. |
|
|
dt |
|
|
Нетрудно заметить, что даже если динамика объекта линейна, то данную систему уравнений невозможно преобразовать к виду
dX (t) |
|
|
dt |
|
= |
|
|
|
dA |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
X
D . (1.79)
A
Следовательно, задача совместного оценивания параметров и состояния носит нелинейный характер относительно вектора параметров и состояния. Для решения нелинейных уравнений в общем виде суще-
54
ствуют только итерационные методы, на основе которых и разработаны алгоритмы одновременного оценивания параметров и состояния:
•квазилинеаризация;
•метод инвариантного погружения;
•фильтры Калмана–Бьюси.
1. Квазилинеаризация.
Квазилинеаризация является итерационным методом, в основе которого лежит метод Ньютона–Рафсона.
Постановка задачи совместного оценивания параметров и состояния формулируется следующим образом.
Необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений:
dX |
F(X (t),U (t),A) |
|
|
||
dt |
|
|
, |
(1.80) |
|
|
|
= |
|
||
dA |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
удовлетворяющих следующим граничным условиям: |
|
||||
|
|
Y (t) = CX (t). |
|
|
(1.81) |
Таким образом, сформулирована многоточечная краевая задача. Метод квазилинеаризации предлагает следующий алгоритм решения данной задачи:
|
dX (i +1) = F(X (i),A(i)) + F |
(i)(X |
(i +1) − X (i)) + |
|||||
|
dt |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+F2 (i)(A(i +1) − A(i)), |
|
|
|
|
(1.82) |
|||
|
dA(i +1) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CX (i +1) =Y (i +1), |
(1.83) |
|||||
где F1(x),F2 (x) – якобианы, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F (i) = |
dF |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
|
X (i),A(i) |
|||
|
|
|
|
|||||
55
F (i) = |
dF |
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dA |
|
X (i),A(i) |
|
|
|
|
|
|||
При применении итерационных методов, в том числе и метода квазилинеаризации, необходимо оценить их сходимость. Исследования показали, что сходимость метода гарантируется, если функция F(X ,A) является выпуклой, а элементы якобианов F1(x), F2 (x), стоя-
щие над и под главной диагональю, должны быть положительными. Оценка сходимости для звена 3-го порядка, а такие звенья явля-
ются одними и самых распространенных в СУ ДЛА, показала следующее: наличие обратных отрицательных связей приводит к наличию отрицательных элементов как в матрице F(X ,A) , так и в якобиа-
нах F1(x),F2 (x) .
Таким образом, сходимость данного метода не гарантируется, а следовательно, метод квазилинеаризации не может быть применен для совместного оценивания параметров и состояния СУ ДЛА.
2. Метод инвариантного погружения.
Воснове метода инвариантного погружения лежит преобразование многоточечной краевой задачи в одноточечную.
Вотличие от предыдущих методов данный метод менее зависим от начальных значений. Сходимость алгоритма идентификации к фактическим значениям параметров обеспечивается в довольно широком диапазоне начальных приближений. К недостаткам метода инвариантного погружения следует отнести существенные затраты времени на преобразования модели, что делает невозможным применение идентификации объектов управления в реальном времени, а также зависимость сходимости алгоритма от выбора вспомогательных матриц.
3.Фильтр Калмана–Бьюси.
Алгоритм фильтра Калмана позволяет в реальном времени построить оптимальную оценку состояния системы X (t) , основываясь
на измерениях Y (t) , содержащих погрешности. Вектор измерений X (t) рассматривается в качестве многомерного выходного сигнала системы, при этом зашумленного, а вектор состояния Y (t) – неизвест-
ный многомерный сигнал, подлежащий определению. Условием оптимальности построенной оценки является минимум среднеквадратичного отклонения оцененного значения от истинного.
56
В общем случае задача фильтрации по Калману формулируется для нелинейной нестационарной системы в условиях действием допущения. Модификация метода – фильтр Калмана–Бьюси – применяется для линейного стационарного объекта, представленного в пространстве состояния при действующем белом шуме [6, 8]:
dX (t) |
= AX (t) + BU (t) + N (t) , |
(1.84) |
dt |
|
|
где X (t) – случайный марковский n-мерный процесс, задаваемый необходимой априорной информацией: M{X} = X0 – математическое ожида-
ние X (t) ; cov(X (t)) = M{(X (t) − M{X (t)})(X (t) − M{X (t)})T}= P0 – ко-
вариационная матрица X (t) ; U (t) – измеряемое векторное входное воздействие, которое может быть как детерминированной, так и случайной величиной; N(t) – k-мерный вектор случайных воздействий,
полагаемых процессами типа белого шума: M{N(t)} = 0 , |
cov(N(t)) = |
= M{N(t)N(t)T} =Vδ(t −τ) , где δ(t) – дельта-функция; V |
– симмет- |
ричная неотрицательно определенная матрица интенсивности белого шума N(t) .
Процесс X (t) наблюдается с помощью измерителя, а вектор из-
меряемых координат – соотношением |
|
Y (t) = CX (t) +ε(t), |
(1.85) |
где ε(t) – p-мерный вектор шумов измерения, полагаемый случайным
процессом |
в виде |
белого |
шума: M{ε(t)} = 0 , cov(ε(t)) = |
|
= M ε(t)ε(t)T |
} |
= Rδ(t −τ) , |
где R |
– симметричная неотрицательно оп- |
{ |
|
|
|
|
ределенная матрица интенсивности белого шума ε(t) .
Процессы N(t) и ε(t) , а также X (t) и N(t) , X (t) и ε(t) полагаются некоррелированными: M{N(t)ε(t)T}= 0 , M{X (t)N (t)T}= 0 ,
M{X (t)ε(t)T}= 0.
Требуется построить линейную динамическую систему, обеспе-
чивающую получение оптимальной оценки i вектора , если
X (t) X (t)
ошибка оценивания задана:
57
E(t) = X (t) − X (t). |
(1.86) |
Критерием оптимальности является условие минимума ее квадратичной нормы:
J (t) = E(t)E(t)T → min. |
(1.87) |
Задача фильтрации по Калману–Бьюси соответствует следующей структурной схеме, представленной на рис. 1.19.
Рис. 1.19. Структурная схема формирующего фильтра (ФФ) и измерителя при действии случайных возмущений и наличии помех
При построении фильтра Калмана используется идея n-мерного наблюдателя (наблюдателя полного порядка), когда в качестве идентификатора состояния принимается математическая модель системы.
Фильтр Калмана осуществляет процедуру рекурсивного оценивания на основе наблюдений за входным и выходным сигналами объекта, где для уменьшения дисперсии оценок в алгоритм идентификатора вводится корректирующая обратная связь по выходу системы Y (t) .
Исходя из требования получения несмещенной оценки i
X (t),
уравнение фильтра имеет вид [6, 8]
d X (t) |
= AX (t) + BU (t) + L(Y (t) −C X (t)), |
(1.88) |
dt |
|
|
где L – матрица коэффициентов усиления фильтра, обеспечивающая оптимальную в смысле минимальной дисперсии оценку состояния, которая определяется выражением
L = PCT R−1, |
(1.89) |
58
где P – ковариационная матрица ошибок оценивания, которая в случае стационарности процессов определяется решением алгебраического матричного уравнения Риккати:
AP + PAT − PCR−1CP +CVCT = 0. |
(1.90) |
В общем случае построение оптимального наблюдателя является решением задачи оптимального стохастического управления в условиях неполноты информации о векторе переменных состояния. Нахождение матрицы коэффициентов усиления фильтра может быть реализовано методом аналитического конструирования регуляторов [6, 23, 24].
Фильтрация в случае выборочных измерений функции времени
k=1, 2,K имеет следующий алгоритм:
1.По априорным значениям характеристик сигналов находится априорное значение ковариационной матрицы сигнала, основанное на k наблюдениях:
Q(k +1) = AP(k)AT +V. |
(1.91) |
2. Рассчитывается апостериорное значение ковариационной матрицы сигнала, основанное на k +1 наблюдениях:
P(k +1) = Q(k +1) −Q(k +1)CT [CQ(k +1)CT + R]−1CQ(k +1). (1.92)
3. Определяется матрица коэффициентов усиления L(k +1) , задающая вес поправок к начальным условиям на основе ковариационных матриц оценки состояний
L(k +1) = Q(k +1)CT [CQ(k +1)CT + R]−1 = P(k +1)CT R−1. (1.93)
Величины P(k +1) , Q(k +1) , L(k +1) полностью определяются априорной информацией. Вычисления продолжаются до установления стационарности фильтра, условием которой является равенство P(k +1) − P(k) ≤ ξ или, соответственно, L(k +1) − L(k) ≤ ξ, где ξ – за-
данная точность.
После определения матрицы L(k) алгоритм работы фильтра Кал- мана–Бьюси сводится к последовательной обработке поступающих входных и выходных данных, при которой текущая оценка сигнала получается на основе корректировки ранее сделанной оценки с учетом информации, поступающей на вход фильтра в процессе наблюдения на каждом шаге: требует дополнительную априорную информацию, а
59
именно вероятностные характеристики возмущений и помех. Данные требования являются избыточными для оценивания параметров и состояния детерминированного объекта.
Таким образом, описанные исследования показали, что ни один из вышеприведенных методов оценивания параметров и состояния не является универсальным. Каждый из рассмотренных методов обладает своими недостатками, ограничивающими область их применения.
Поэтому при идентификации моделей СУ ДЛА с ограничениями по измерениям необходимо разработать прикладной метод идентификации, простой в реализации, отвечающий требованиям сходимости, быстроты решения и ориентированный на конкретный класс моделей.
Для решения поставленной задачи предлагается следующий алгоритм идентификации [22, 25].
Объект описывается системой уравнений
V (k +1) = ФV (k), |
(1.94) |
U (k)
где V (k) – обобщенный вектор состояния, V (k) = X (k) ; U (k) – век-
Y (k)
тор входных воздействий; X (k) – вектор неизмеряемых координат; Y (k) – вектор измеряемых координат; Ф – матрица перехода.
Рассмотрим ограниченный класс модели, присущий гидромеханическим агрегатам СУ ДЛА. Согласно классификации, приведенной в [25], объекты данного класса могут быть представлены следующими типами звеньев:
•апериодическое звено;
•идеальное интегрирующее звено;
•реальное интегрирующее звено;
•реальное интегрирующее звено с суммарным входом;
•последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена.
Первые два типа звеньев являются полностью измеряемыми, и поэтому могут быть оценены любым методом идентификации для полностью измеряемых объектов. Реальное интегрирующее и реальное интегрирующее звено с суммарным входом имеют одну неизмеряемую внутреннюю переменную. Объект, включающий в себя после-
60