Физика сборник олимпиадных задач с примерами их решений

ределите давление стержня на плоскость в момент удара, считая точку опоры стержня о плоскость неподвижной.

4. Однородный стержень длиной L равномерно вращается вокруг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр. Какова должна быть угловая скорость вращения ω, при которой стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений, возникающих в нем при вращении? Максимальная сила натяжения, отнесенная к единице площади поперечного сечения стержня, равна Т. Объемная плотность материала стержня равнаρ .

5. На горизонтальную плоскость помещают тонкостенный цилиндр радиусом R и массой М, предварительно раскрученный до угловой скоростиω 0 . Какой будет угловая скорость вращения

цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно горизонтальной плоскости?

6.Шар массой m1 катится без скольжения со скоростью υ0

исталкивается с неподвижным шаром массой m2. Удар центральный упругий, трение между шарами отсутствует. 1) Считая, что массы шаров одинаковы, определить скорости обоих шаров после того, как их движение перейдет в чистое качение. Какая доля η первоначальной кинетической энергии шаров пе-

рейдет в тепло? 2) При каком отношении масс шаров m2/m1 шар массы m1 в конечном итоге остановится?

7.Около дна горизонтального полого цилиндра катается взад-вперед без проскальзывания маленькое тонкое колечко, оставаясь все время в вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Найдите циклическую частоту такого колебательного движения. Внутренний радиус цилиндра равен R.

8.Скорость спутника υ, вращающегося вокруг Земли по круговой орбите радиуса 10,5R (R = 6400 км – радиус Земли), резко уменьшили в 2 раза (направление скорости осталось прежним). На какое минимальное расстояние спутник приблизится к Земле? Во сколько раз изменится период обращения спутника?

21

9.Доска массой М горизонтально лежит на двух одинаковых цилиндрических катках массой m каждый. Доску начинают толкать в горизонтальном направлении с силой F, и система приходит

вдвижение так, что проскальзывание доски по каткам и катков по поверхности отсутствует. Определитьускорение доски.

10.Небольшой шарик вращается по окружности по внутренней поверхности горизонтальной цилиндрической трубы.

Начальная скорость шарика υ0 = 20 м/с. Коэффициент трения равен µ = 0,1. Оценить скорость шарика после того, как он сделает два оборота. Считать, что в рамках указанного отрезка времени вращения скорость шарика столь высока, что (µ υ2/R) >>g, т.е. силой тяжести можно пренебречь.

11.Электрическим кипятильником мощностью 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от 85 °С до 90 °С. Затем кипятильник выключили, и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/ (кг·К).

12.При температуре наружного воздуха 50 °С кондиционер поддерживает температуру в помещении 20 °С. В помещении включают электроприборы общей мощностью 500 Вт. На сколько нужно увеличить мощность кондиционера для поддержания прежней температуры в помещении? Считать, что кондиционер работает с максимальной эффективностью.

13.Один моль одноатомного идеального газа находится

влевой половине цилиндра. Справа от поршня вакуум (рис. 1). В отсутствие газа поршень находится вплотную к левому торцу цилиндра, и пружина в этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень адиабатные.

Трения нет. Газ нагревают через левый конец цилиндра. Найти молярную теплоемкость газа в этих условиях.

22

14.Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен теплоизолирующим поршнем на две равные части объемом V каждая. Давление одноатомного газа в левой половине сосуда р,

вправой – 2р, а температура одна и та же и равна Т. Систему предоставили самой себе. Определите конечное давление в обеих частях сосуда после завершения переходных процессов, если поршень перемещается внутри сосуда без трения.

15.В откачанном теплоизолированном цилиндре, расположенном вертикально, может перемещаться массивный поршень. В начальный момент поршень закрепляют и нижнюю часть цилиндра заполняют идеальным двухатомным газом. Затем поршень освобождают. После установления равновесия объем, занимаемый газом, оказался в два раза меньше первоначального. Во сколько раз изменилась температура газа?

16.Две очень большие горизонтальные пластины расположены одна над другой на расстоянии d = 1 м. Каждая пластина поддерживается при определенной температуре (температура нижней пластины выше). Оцените разность температур пластин, при которой в системе начнется конвекция. Воздух считайте идеальным газом, теплообменом между соседними порциями воздуха при конвекции можно пренебречь.

17.Камера заполнена воздухом. На дне камеры находится

малое количество воды. Давление в камере Р1 = 3 атм. Состояние системы равновесное. Объем камеры начали медленно увеличивать, сохраняя неизменной температуру стенок Т. Как только объем камеры удвоился, вода на дне полностью исчезла. Определите

температуру сосуда Т, если конечное давление Р2 = 2 атм. Каким станет давление в камере Р3, если еще раз удвоить объем?

18.Точечный заряд q находится между двумя заземленными проводящими концентрическими сферами с радиусами a и b на расстоянии r от центра системы (a < r < b). Найти индуцированные на сферах заряды. Рассмотрите все предельные случаи.

19.На расстоянии r от точечного заряда q находится нейтральная медная монетка радиусом R и толщиной d (причем d<<R<<r). Линия, соединяющая заряд и центр монетки, перпен-

23

дикулярна плоскости монетки. Оценить силу, с которой монетка притягивается к заряду.

20.Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поместить в центр незаряженной тонкой сферической оболочки заряд Q, первоначально находящийся на большом расстоянии от

нее? Радиус внутренней оболочки R1, внешней – R2. Рассмотрите два случая: 1) оболочка изолирована; 2) оболочка заземлена.

21.Полусфера радиусом R, основание которой закрыто круглой пластиной радиусом R, заряжена вместе с пластиной равномерно по поверхности зарядом плотностью σ. Какую максимальную кинетическуюэнергиюприобретаетпластинаприудалении?

22.Определите сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки, собранной из резисторов с сопротивлениями

R0 = R, R1 = αR, R2 = α2R… (рис. 2).

23.По обмотке длинного цилиндрического соленоида радиусом R протекает постоянный ток, создающий внутри соленоида однородное магнитное поле с индукцией В. Между витками соленоида в него влетает по радиусу (перпендикулярно оси соленоида) электрон со скоростью υ. Отклоняясь в магнитном поле, он спустя некоторое время покинул соленоид. Определите время движения электрона внутри соленоида.

24.Прямоугольная рамка со сторо-

нами a и b находится в одной плоскости с прямым проводом, по которому течет ток I, на расстоянии L от него (рис. 3). Какой

24

импульс получит рамка при выключении тока в проводе, если активное сопротивление рамки равно R, а реактивным сопротивлением ее можно пренебречь? Считать, что за время передачи импульса рамка заметно не перемещается.

25. Однородный диэлектрический диск массой m, радиусом R, равномерно заряженный с полным зарядом q, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости диска. Какую угловую скорость получит диск, если выключить магнитное поле?

26. Рассмотрим преобразователь электрической энергии в механическую, показанный на рис. 4. К источнику ЭДС ε подключены два длинных параллельных проводника с нулевым сопротивлением, расположенные на расстоянии L один от другого. Их замыкает скользящий вдоль проводников без трения стержень массой m, обладающий сопротивлением R, который всегда движется параллельно самому себе.

Перпендикулярно плоскости проводников приложено однородное внешнее магнитное поле В. Получите выражения для зависимостей скорости стержня и тока в цепи от времени.

27.Внутри диэлектрического шара, заряженного равномерно по объему с плотностью заряда ρ, имеется сферическая полость. Центр полости находится на расстоянии а от центра шара. Докажите, что электрическое поле внутри полости однородно и найдите величину напряженности электрического поля внутри полости. Диэлектрическая проницаемостьматериала шара ε.

28.Вдольдлинногомедногоцилиндратечетэлектрическийток

сплотностью j. Внутри цилиндра имеется цилиндрическая полость. Центр полости находится на расстоянии а от центра цилиндра. Докажите, что магнитное поле внутри полости однородно и найдите величинувекторамагнитнойиндукциивнутриполости.

29.Внутри длинного цилиндрического сосуда радиуса а параллельно его оси расположен проводящий неферромагнитный стержень радиусом b с тонкой изоляцией. Расстояние меж-

25

ду осями стержня и сосуда равно L. Сосуд заполнили электролитом и пустили вдоль оси ток I, возвращающийся обратно по стержню. Найти модуль и направление магнитной силы, действующей на единицу длины стержня.

30.К источнику тока с ЭДС ε и внутренним сопротивлением R подключены две сверх-

проводящие катушки с индуктивностями L1 и L2 так, как показано на рис. 5. Найти токи, установившиесяв катушках после замыкания ключа К.

31.Две одинаковые катушки индуктив-

ности подключены через ключи К1 и К2 к источнику с постоянной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r. В начальный момент оба ключа разомкнуты (рис. 6). Затем замыкают

сначала ключ К1, а потом ключ К2. Определить величину тока, протекающего через ключ К1 в момент замыкания ключа К2, ес-

ли известно, что после замыкания ключа К2 установившийся ток через ключ К1 в два раза больше установившегося тока через ключ К2. Активным сопротивлением катушек пренебречь.

ключены два параллельно соединенных резистора. Сопротивление одного из них R1, а сопротивление второго R2 нужно подобрать так, чтобы выделяемая на этом резисторе мощность была максимальной. Найдите значение R2, соответствующее этой максимальной мощности.

33. Два соосных круговых витка радиусами R и r << R находятся на расстоянии R друг от друга. По малому витку пропускается ток i = i0cosωt. Найти ток I(t) в большом витке, сопротивление которого равно R0.

26

4. ОТВЕТЫ, РЕКОМЕНДАЦИИ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

4.1. Задания первого тура

Первый тур (2003 г.)

Задача 1. Потенциальная энергия гимнаста переходит в потенциальную энергию упругой деформации сетки:

mg ( H + a) = ka2 , откуда и следует ответ.

2

Задача 2. Приведем энергетический способ решения за-

по времени), то система совершает гармонические колебания

лый угол поворота палочки вокруг ее середины, тогда центр

27

масс палочки будет на высоте z = l 2ϕ 2 (математический вы-

8L

вод этой формулы – самая трудная часть задачи). Потенци-

лочки относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной ей. Таким образом, полная энергия палочки

Задача 3. Домашний холодильник представляет собой холодильную машину – тепловую машину, запущенную в обратном направлении. Холодильная машина потребляет «работу», при этом отнимает тепло у холодного тела и передает тепло более нагретому телу. При решении задачи нужно иметь в виду, что для обратимой машины соотношения между А, QX и QH при работе по обратному циклу сохраняются, например

Задача 4. Потенциалы всех точек поперечного сечения проводов диметром d одинаковы. Ток по банке идет следующим образом: сначала радиально по крышке от точек окружности диаметра d, имеющих более низкий потенциал, до точек окружности диаметра D, имеющих более высокий потенциал; затем вдоль боковой поверхности банки, и, наконец, по второй крышке. Две крышки и боковая поверхность банки соединены последовательно. Сопротивление крышек находится интегрированием.

Задача 5. Индукция магнитного поля, создаваемая большим

28

считать однородным из-за его малости, поэтому магнитный поток

нее, когда, наоборот, задан ток в малом витке, и нужно найти ток в большом витке.

29

центра масс автомобиля, тормозящего только передними колесами: ma1 = kN1 , N1 + N2 = mg. Для того, чтобы найти N1, нужно добавить уравнение для вращательного движения вокруг центра

гично получаются результаты для торможения только задними

Задача 2. 1) Общий ход решения на начальном этапе похож на решение задачи 1. Пусть x – смещение центра масс доски от начального положения (x ≤b). Из уравнений для движения центра масс доски и вращательного движения вокруг центра масс сле-

уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения:

масс доски будет совершать гармонические колебания с цикли-

ческой частотой ω и амплитудой А= btgα вокруг точки с коор-

смещение не должно превышать значение b, иначе доска ото-

30