Вычислительные методы

УДК 621.311 ЛЗЗ

Рецензенты:

Президент Пермского регионального общественного отделения «Западно-Уральская академия информациологии» общественной организации «Международная академия информатизации» академик В.В. Белоусов

Доцент кафедры автоматики и телемеханики Пермского государственного технического

университета, кандидат технических наук2Ы. Панов

Леготкина Т.С., Данилова С.А.

ЛЗЗ Вычислительные методы: Учебно-метод. пособие к лаборат. работам для студ. спец. «Управление и информатика в технических систе­ мах» / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2005. - 51 с.

Вопросы интерполирования, приближенного интегрирования, решение дифференциальный уравнений, а также оценка погрешности вычислений являются важными для различных специальных дисциплин, таких как моделирование и идентификация систем управления, локальные системы и др.

В данном пособии описываются методы и лабораторные работы, посвященные указанным разделам.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальности 210100 «Управление и информатика в технических системах»

УДК 621.311

© Пермский государственный технический университет, 2005

3

1.ВВЕДЕНИЕ

1.1.Интерполирование функций. Постановка задачи

На практике не всегда удается описывать изучаемые функциональ­ ные зависимости аналитически. Часто приходится иметь дело с функция­ ми у =/(*), заданными таблично: у, -fa t). При этом известно, что областью определенияДдг) служит некоторый промежуток [а, в], включающий в себя отрезок [*о, Поэтому возникают вопросы о значениях функций в про­ межуточных точкахX е [а, в], не фигурирующих среди абсцисс х,.

Подобные вопросы составляют задачи интерполирования функций (при этом говорят об экстраполировании, если х е [а, в], но х ё [х0, х„]. Со­ вокупность точек *о, —»хпназывают сеткой, а сами эти точки - узлами сет­ ки или узлами интерполяции.

Используя числа у/ =/[*/), / = 1,и и предполагая, что функция/ обла­ дает той или иной гладкостью (например, непрерывна на [а, в] вместе с несколькими своими производными), требуется решить одну из следую­ щих задач:

1)локальной интерполяции, когда необходимо указать способ, с по­ мощью которого можно было бы определить значение функции в задан­ ной между узлами промежуточной точке, точность которой можно оце­ нить;

2)глобальной интерполяции, когда требуется восстановить функцию

J(x), т.е. найти такую аналитически заданную функцию <р(х), называемую интерполяционной, которая приближала быД*) на участке [а, в], а ее зна­ чение в узлах интерполяции совпадали бы с заданными значениями функ­ цииДх),

ф(*|) =Лхд =Уь

Чаще всего функция ф(х) выбирается из класса полиномов (много­ членов). В этом случае интерполяция называется полиномиальной или па­ раболической (линейная интерполяция есть частный случай параболиче­ ской, когда ср(х) есть многочлен первой степени).

При изучении Полиномиальной интерполяции таблично заданных функций предстоит ответить на следующие вопросы:

1) как определить наименьшую возможную степень К интерполяци­ онного полинома ф(х);

2)как построить этот полином и как им пользоваться;

3)как произвести оценивание точности интерполяции.

4

1.2.Основные направления использования интерполяции

7.2.7.Численное решение нелинейных уравнений и систем

Воснове лежит приближенная замена искомых корней нелинейного уравнения/(х) = 0 корнями уравнения ф(х) = 0, где ф(х) - интерполяцион­ ная функция для fix). Взяв, например, за xi+i корень интерполяционного полинома первой степени, построенного по значениямfix!) и/'(*,) в узле х/ или по значениямfix^\\fix!) в узлах x<+i, xiy приходят соответственно к ме­ тодам касательных и секущих:

я * /)

*/+!=*/

Я*/) ^

*,Ч1 = *i

[Xi+\*iY

где [х,+1, Xi] - разделенная разность (разностное отношение).

Другой подход основан на интерполировании обратной функции х = g(y) (нахождение х для нужного у, если задана таблица у, = fixi)). Для монотонной функции нет разницы между прямым и обратным интерполи­ рованием и исходную таблицу можно считать как задание X/ = g(y{).

1.2.2. Численное дифференцирование и интегрирование

Дифференцируемая или интегрируемая функция на всей области или на ее составных частях заменяется интерполяционной функцией. Основ­ ная задача при этом состоит в правильном оценивании точности.

1.2.3. Численное решение дифференциальных уравнений

Производные искомых функций заменяются интерполяционными формулами численного дифференцирования. Другие функции, входящие в уравнение, также часто заменяются интерполяционными.

1.2.4. Численное решение интегральны* уравнений

Искомая функция fix) заменяется какой-либ0 интерполяционной с выбранными узлами х,. Приближенные значения fit!) находятся из систе­ мы, полученной после подстановки вместо независимой переменной узлов интерполяции xf.

5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Цель работы: научиться применять численные методы интерполя­ ции функций, заданных таблично.

Теоретические положения

Пусть задано множество вещественных абсцисс х0, х и ..., хп и соот­ ветствующие ординаты у0, у и • • уп- Здесь хо < х\ < < хп, а каждое у{ - некоторое вещественное число, отвечающее определенное математиче­ ски или являющееся результатом какого-либо наблюдения.

Задача одномерной интерполяции состоит в построении функции /

и ошибки в них не превосходят уровня округления, то можно рассчиты­ вать, что задача имеет удовлетворительное решение.

Если точки (*,, уд получены из очень точных экспериментальных на­ блюдений, то зачастую их можно считать лишенными ошибок, и тогда вполне разумно интерполировать их гладкой функцией.

Если же эти точки получены из сравнительно грубых экспериментов, то неправомерно требовать от интерполирующей функции точно удовле­ творять таким данным. Позволяя значениям Дх,-) отличаться от yh можно очень хорошо отразить характер изменения данных и даже поправить не­ которые из содержащихся в них ошибок, используя, например, метод наи­ меньших квадратов.

Очень важно для задачи интерполирования определение того, как должна вести себя приемлемая функция между заданными точками. Эти точки могут быть интерполированы бесконечным множеством различных функций, и нужно иметь некоторый критерий выбора. Обычно критерии формируются в терминах гладкости и простоты; например, функция ) должна быть аналитической, и максимальное значение второй производ­ ной [/”(*)! по всему интервалу должно быть насколько возможно мало, или / должна быть полиномом наименьшей степени и т.п.

Задача интерполирования ставится обычно в следующей форме: найти многочлен Рп(х) степени не выше и, значения которого в точках х (/ = 0,п) совпадают со значениями данной функции, т.е. Pn(xt) =у(.

Многочлен Рп(х) является интерполяционным многочленом (поли­ номом), а точки х(называются узлами интерполяции.

6

В литературе имеется множество различных формул для интерполя­ ционных полиномов, основанных на различном выборе базисов, однако при данном наборе точек все они порождают один и тот же полином.

Если же для построения интерполяционного полинома используются не все точки таблицы (не весь базис), то полиномы, построенные по раз­ ным формулам, будут отличаться.

Различают интерполирование в узком смысле, когда X находится между х0и хп, и экстраполирование, когда х находится вне отрезка [х0у хп].

Интерполирование для случая равноотстоящих узлов

Узлы называются равностоящими, если

xi+i - Xi = AXt = h = const, (z = 0, ri)\ x„ = *0 + л-А; xi =xо + i’h.

Конечными разностями функций у =Дх) называются разности вида:

Формула (1.1) используется для интерполирования и экстраполиро­ вания в точках хублизких к началу таблицы хо.

Для формулы (1.1) используется верхняя горизонтальная строка таб­ лицы разностей (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1 Горизонтальная таблица конечных разностей при / = 4