Вычислительные методы

41

U = /i(*/ + h ,yu+ b k3,y2i+ b l3i ...,ущ+ bm 3\

U=/2(*/ + Ь у и+ h-k3iy2i+ h-l3) ...,yni+ hm 3\

=/*(*« + h ,yu+ h-k3iy2i+ h-l3i ...,yni+ hm 3).

Для методов Рунге-Кутта второго порядка применение соответст­ вующих формул для решения систем дифференциальных уравнений вы­ полняется аналогичным образом.

Задание

1.Составить алгоритм определения значения со, обеспечивающего наилучшую точность.

2.Разработать программу решения дифференциальных уравнений.

3.Решить дифференциальные уравнения, приведенные в табл. 6.1.

4.Определить близость полученного решения при заданном со к точ­ ному значению с помощью оценок

Pi - max | YTl - YMi |,

Здесь Yn - точное решение в точке х4; YMi - приближенное решение в точке xj; и - число точек дискретизации.

Результаты расчета оформить в виде таблицы.

Содержание отчета

1.Схема алгоритмов.

2.Листинг программы.

3.Протокол результатов решения.

4.Выводы по работе.

42

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ РУНГЕ-КУТТА

Задание

1. Составить схемы алгоритмов решения системы дифференциаль­ ных уравнений методами Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков.

2.Разработать программу решения систем дифференциальных урав­

нений.

3.Решить дифференциальные уравнения в табл. 6.2. Заданные урав­

нения предварительно свести к системе уравнений первого порядка.

4. Определить близость полученного заданным методом решения к точному значению с помощью оценок

Р,= max \ YTi- Y Mi\

Здесь YTl - точное решение в точке х,; YMi - приближенное решение в точке х,; п - число точек дискретизации.

5. Результаты расчетов оформить в виде графика.

Содержание отчета

1.Схема алгоритмов.

2.Листинг программы.

3.Протокол результатов решения.

4.Выводы по работе.

45

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ МИЛНА

Цель работы: исследование алгоритмов и точностных характери­ стик многошаговых методов решения дифференциальных уравнений.

7.1. Многошаговые (многоточечные) методы

Недостатком метода Рунге-Кутта является то, что для получения од­ ного нового значения решения дифференциального уравнения правую часть уравнения приходится подсчитывать в нескольких точках. Если пра­ вая часть сложная, то расчеты трудоемки.

Рассмотрим многошаговые методы. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения / = fix, у) с начальными условиями

Я*о)=Уо.

Предположим, что каким-то образом уже найдены приближенные решенияуп.т,уп.т+и . . . , у пЛ, у п в точкаххп.т, хп.т+{, ..., х„.и хп.

Обозначим fixj, yj) =fi. Проинтегрируем обе части исходного уравне­ ния от хп.[ до хп+\:

x n -i

Значение подынтегральной функции в (т + 1)-й точке определить по значениям xn.j,fn.j приj = 0,..., т. По вычисленным значениямf n.j построим интерполяционный полином Рт(х) степени т.

Подставляя Рт(х) вместоfix, у), получим *л+1

\Pm(x)dx.

xn -i

т, i, различные формы записи поли­ численного решения дифференциаль­

46

7.2.Интерполяционная формула Адамса

хп+1

Пусть г= 0, тогда Ул+1 =у„ + } Рт(x)dx

х п

Полином запишем по второй интерполяционной формуле Ньютона.

6x = hdq при x =xn,q = 0, при x =xn+l, q = 1.

где а,= /^<7 = ^,

О2

=\qiq+_1Х£ + 2) . _3 аз= /-

3!

Чаще всего используется формула при т - 3. При построении ин­ терполяционного многочлена используются четыре значения приближен­ ного решения уЯ9уп.\,уп.2,у„,3.

И формула при т = 3 имеет вид

Запишем конечные разности через соответствующие значения функ­

ции:

47

А/п-l fn fn-\>

Д2/ л- 2 = / я - 2 / л. , + / л-2,

Л3/ л- з = / л - 3 / л_ ,+ 3 /л_2 - / п_3.

Тогда

Погрешность формулы Адамса

Для получения формулы был использован полином 3-й степени.

Величина Л3(дсл + hq) как погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона равна Л4. Следовательно, погрешность формулы Адам­ са на одном шаге есть величина порядка А5.

7.3.Метод Милна (метод прогноза н коррекции)

Пусть i = 3, в качестве интерполяционного полинома выберем поли­ ном, построенный по первой формуле Ньютона степени т = 3.

Тогда

•*n-3

Уж =ул-з + Л[4/„_з + 8ДГл_з + у Д2/ Л-3 + j Д3/ л-з]-

Заменим конечные разности через значения функции, тогда

Уж=Ул.з + у ( 2 /л. 2 - / л_1+ 2 /л).

48

Это первая формула Милна (формула прогноза). Для вывода второй формулы Милна возьмем / = 1, а полином построим так же по первой ин­ терполяционной формуле Ньютона.

Тогда

Метод Милна применяется следующим образом:

1. Вычисляем первое приближение ул+1по первой формуле Милна:

Уп+1 =У«-3 + у (2Л-2 -/п-1 + 2/»)-

2.По значению ул+1 вычисляем

/n+l= /(*„ +!.Л-1 )'

3.Находим второе приближение уп+\ по второй формуле Милна

н

у „+1 =Уп-1+ j ( A + i + 4Л + Л - 1 ) -

Погрешность на одном шаге формулы Милна пропорциональна h5

Оценка погрешности

В первой и второй формулах Милна ограничиваются разностями третьего порядка.

Обозначим s ^ j, e^j - погрешности первой и второй формул Мил­

на.

- h J—- —- (^4~-2)(— 3) A*f„_3dq = ^Л Д 4/ л-з .

Считая четвертые разности практически постоянными на отрезке длины 4А, получим

( 2)

-28 ел+1

Примечание: y0t у и Уг, Уъ - определяют, используя начальное условие и какой-либо одношаговый метод.

Задания

1.Составить алгоритм решения дифференциальных уравнений ме­ тодом Милна.

2.Исследовать, как зависит точность решения дифференциальных уравнений от того, каким одношаговым методом найдены начальные ре­ шения; как быстро достигается заданная точность.

3.Решить дифференциальное уравнение из табл. 6.1 или 6.2 по зада­ нию преподавателя.

Содержание отчета

1.Схемы алгоритмов.

2.Листинг программы.

3.Протоколы результатов решения.

4.Выводы по работе.

Контрольные работы

1. Почему предпочтение обычно отдается численным методам реше­ ния дифференциальных уравнений по сравнению с приближенными ана­ литическими методами?

2.Почему при использовании метода Эйлера происходит наложение ошибок?

3.В чем сущность модификации метода Эйлера?

4.Преимущества и недостатки многошаговых методов.

5.Способы оценки погрешности в многошаговых методах.

6.Как зависит точность решения дифференциального уравнения многошаговыми методами от начального приближения?

50

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Численные методы: Учеб. пос. для вузов // Н.С. Бахвалов и др. - М.; СПб.: Физматиз, 2000.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб, пос. для вузов. - М.: Высшая школа, 2000.

3. Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на Фор­ тране/Д. Мак-Кракен, У. Дорн.-М.: Мир, 1977.

4.Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах

/Н.В. Копченова, И.А. Марон.- М.: Наука, 1972.

5.Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Выс­ шая школа, 1994.

6.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.