Вычислительные методы

22

Во многих случаях оценка погрешности по этой формуле затрудни­ тельна, поэтому при вычислении интеграла с использование ЭВМ целе­ сообразно определять абсолютную величину разности двух значений оп­ ределенного интеграла с количеством шагов п (Sn) и с удвоенным количе­ ством шагов 2п (S2n):

(3.10)

2 * - 1 ’

где е - погрешность; коэффициент к зависит от метода приближенного интегрирования: к= 2 - для формулы трапеций, к = 4 - для формулы пара­ бол.

Для достижения заданной точности вычисления необходимо удваи­ вать значение п до тех пор, пока значение е не будет превышать заданную точность.

Метод Чебышева

Рассматривается стандартный интервал [-1,1], тогда

В методе Чебышева принимается, что все коэффициенты С/ имеют равное значение С.

где (п + 1) - степень полинома, заменяющего F(t). Значения /, определяются из решения системы

Заметим, что следует ограничиться значениями л от 1 до 8, т.к. толь­ ко они приводят к вещественным корням системы.

Решения системы для разных п сведены в табл. 3.1.

При переходе к любым пределам (я, Ь) и к переменной х, получаем

23

5 = ^ [ F ( x0) +F(x,) + ... + F(x„)]. n + 1

Таблица 3.1

Решения системы

Метод Гаусса

При этом способе С, и для стандартного интервала [-1, 1] опреде­ ляются равенством

при условии, что F(t) - есть полином степени 2п + 1.

В качестве полинома F(/) принимается произведение любого поли­

25

3.Сравнить методы интегрирования по точности интегрирования.

Содержание отчета

1.Составить алгоритмы решения задачи.

2.Привести программы на одном из алгоритмических языков (Бэйсик, Паскаль, Си).

3.Провести анализ результатов решения задачи.

Таблица 3.3

27

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

АДАПТИВНЫЙ КВАДРАТУРНЫЙ АЛГОРИТМ

Цель работы: исследование адаптивных алгоритмов численного ин­ тегрирования.

Теоретическая часть

Адаптивная квадратурная программа - это алгоритм численных квадратур, использующий одну или две основные квадратурные формулы и автоматически определяющий величины подынтервалов так, чтобы вы­ численный результат удовлетворял заданной точности. В разных частях интервала могут использоваться сетки различных размеров, сравнительно грубые там, где интегрируемая функция гладкая и меняется медленно, и сравнительно мелкие в областях, где интегрирование становится затруд­ нительным.

Для конечного интервала [а, в] составляется подпрограмма, вычис­ ляющая значение функцииДх) для любых х из этого интервала.

Решение заканчивается, если вычислена некоторая величина Q, та­ кая, при которой

ь

Q - \f(x)dx ^ е.

а

где е - найденная или заданная точность.

При оценке эффективности квадратурных программ считают, что большая часть стоимости счета приходится на вычисление подынтеграль­ ной функции Дх). Таким образом, если для интегрирования данной функ­ ции имеются две подпрограммы, дающие ответы примерно одинаковой точности, то подпрограмма, требующая меньшего количества вычислений функции, рассматривается как более эффективная.

В процессе вычислений интервал [а, в] разбивается на подынтервалы [х,-, JC/+I]. В большинстве программ каждый подынтервал получается деле­ нием пополам подынтервала, полученного на более раннем этапе вычис­ лений. При типичной схеме применяются к каждому подынтервалу две различные квадратурные формулы. Например, при схемах, основанных на формуле Симпсона, используют основную формулу (два элементарных отрезка) и составную формулу (четыре элементарных отрезка).

28

Q i= ^ fix ,) + 4 /

Известно, что ошибка более точного приближения Q{ примерно в (2* - 1) раз меньше разности между двумя приближенными.

Основная операция типичной программы состоит в делении каждого подынтервала пополам до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

где hi - шаг /-го подынтервала; к = п + 1; п - степень интерполирующего полинома.

Если весь интервал [а, в] разбить на п подынтервалов, для которых справедливо неравенство (4.1), то результирующее значение

п

Q = m -

Характеристики адаптивной квадратурной программы можно не­ сколько улучшить посредством приема, предложенного Д. Кахапером (Дж. Форсайт и др. Машинные методы математических вычислений) и назы­ ваемого «банкированием». Банкирование использует то обстоятельство, что когда подынтервал приемлем, оценка ошибки для него обычно не­ сколько меньше, чем заданная граница. Разность между границей и оцен­ кой может быть «вложена в банк» и использована впоследствии для уве­ личения эффективной границы ошибок других подынтервалов.

Задание

1.Составьте алгоритм и программу решения задачи адаптивного ин­ тегрирования в соответствии с заданным вариантом.

2.Выведите на печать значения интеграла на каждом выбранном шаге и общее значение интервала.

3.Сравните количество реально потребовавшихся вычислений функции с тем, которое понадобилось бы, если бы наименьший элемен­ тарный отрезок был использован по всему интервалу интегрирования.

30

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели работы: изучение методов численного интегрирования обык­ новенных дифференциальных уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ решения.

5.1. Теоретические основы методов

Обыкновенные дифференциальные уравнения или системы диффе­ ренциальных уравнений используются для построения математических моделей динамических процессов. Примерами таких процессов могут служить явления, возникающие в электрических сетях, распространение радиоволн, движение материальной точки и многие другие. Точные мето­ ды решения дифференциальных уравнений позволяют выразить решение через элементарные или специальные функции. Однако классы уравне­ ний, для которых разработаны точные методы решения, довольно узки и охватывают только малую часть возникающих в практике задач. В резуль­ тате важное значение имеют приближенные методы решения, ориентиро­ ванные на широкий класс встречающихся в практике дифференциальных уравнений.

Некоторые определения

Дифференциальным называется уравнение, содержащее неизвестные функции.)/, ..., независимые переменныех, ..., и производные/ , у '', ...,у(п),

Если неизвестные функции зависят от одной независимой перемен­ ной х, то дифференциальное уравнение является обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший из порядков производных, входящих в уравнение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно ли­ нейно относительно искомой функции и ее производных.

Совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производных, образует систему дифференциальных уравне­ ний.