Аналитическая динамика и теория колебаний. Исследование динамики мех
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Н.А. Шевелев, Т.Е. Мельникова
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Исследование динамики механических систем
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного-пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2007
УДК 534.1 Ш37
Рецензенты:
зам. директора ИМСС УрО РАН по научной работе, д-р физ.-матем. наук, профессор А.А. Роговой
(Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН); член-корр. АТН РФ,
д-р техн. наук, профессор Г.Л. Колмогоров (Пермский государственный технический университет)
|
Шевелев, Н.А. |
|
ULI37 |
Аналитическая динамика и теория колебаний. Исследо |
|
вание динамики механических систем: учеб, пособие / |
||
|
Н.А. Шевелев, Т.Е. Мельникова. - Пермь: Изд-во Перм. гос. |
|
техн. ун-та, 2007. - 45 с. |
|
|
|
ISBN 978-5-88151-714-4 |
|
|
Рассмотрены наиболее важные разделы теории механиче |
|
ских колебаний: исследование вынужденных колебаний систем |
||
|
с конечным числом степеней свободы и систем с распределенны |
|
|
ми параметрами; приближенные методы расчета собственных |
|
|
частот колебаний; приведен численный алгоритм по проблеме |
|
|
собственных значений. Теоретические положения иллюстриру |
|
|
ются примерами; дано описание лабораторных работ по указан |
|
|
ным разделам курса и курсовой работы. |
|
|
Предназначено для студентов специальности^150301 «Дина |
|
|
мика и прочность машин», магистров и бакалавров техники и тех |
|
|
нологий по направлению «Прикладная механика». |
|
|
|
УДК 534.1 |
|
|
© ГОУ ВПО |
ISBN 978-5-88151-714-4 |
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2007 |
||
ВВЕДЕНИЕ................................................................................ |
4 |
1. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ |
|
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ......... |
5 |
2.ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ
СРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (изгибные
колебания балки постоянного поперечного сечения)............ |
13 |
3.МЕТОД ПАРАБОЛ ОТЫСКАНИЯ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ
УРАВНЕНИЙ.......................................................................... |
17 |
4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ... |
27 |
4.1. Дискретизация систем с распределенными |
|
параметрами................................................................... |
28 |
4.2. Простейшие приближенные формулы для оценки |
|
низшей собственной частоты........................................ |
29 |
4.3. Метод Релея-Ритца........................................................ |
31 |
4.4. Метод последовательных приближений (тематика |
|
курсовой работы)........................................................... |
33 |
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................. |
41 |
ПРИЛОЖЕНИЕ |
42 |
Изучение колебательных процессов имеет большое значение для современной техники, развитие которой связано с ростом скоростей движения, мощности и быстроходности механизмов. Эти факторы обусловливают воздействие динамических нагру зок на элементы машин и сооружений, учет которых необходим при проектировании новой техники и сооружений. В данном пособии на современном уровне рассмотрены наиболее важные вопросы классического курса теории механических колебаний.
Целью работы является попытка объединить в одном посо бии необходимый в процессе обучения теоретический материал, обеспечивающий проведение лабораторных работ и практиче ских занятий по дисциплине «Аналитическая динамика и теория колебаний» и дающий возможность организовать самостоятель ную работу студентов при выполнении курсовой работы по данной дисциплине.
В первом разделе учебного пособия даны основные сведе ния по исследованию колебаний систем с конечным числом степеней свободы.
Во втором разделе изложена теория расчета колебаний с рас пределенными параметрами на основе анализа изгибных колеба ний балки постоянного поперечного сечения. При этом в первых двух разделах описана методика проведения лабораторных работ по изложенным разделам теории механических колебаний.
В третьем разделе пособия приведены примеры применения численного алгоритма по проблеме собственных значений, от мечены основные преимущества метода парабол.
Четвертый раздел посвящен приближенным методам расче та колебаний механических систем. Даны рекомендации по применению простейших приближенных формул к оценке низ шей частоты колебаний, подробно описаны методы Релея-Ритца и последовательных приближений. Даны пояснения и варианты заданий типовой курсовой работы по данной дисциплине.
В приложении приводятся описание и приемы работы обо рудования, применяемого при выполнении лабораторных работ.
Приведенные в пособии теоретические сведения сопро вождаются примерами расчетов и вопросами для самоконтроля
иявляются также учебным материалом для выполнения практиче ских занятий и контрольных работ. Основные разделы классиче ской теории механических колебаний изложены в доступной
идостаточно строгой форме, позволяют облегчить процесс са мостоятельного освоения предмета.
1.ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ
СКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Рассмотрим вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы [1]. В любой момент процесса выну жденных колебаний на груз массой т действуют две силы: сила упругости, пропорциональная смещению х груза, и возмущаю щая сила / *(/), изменяющаяся во времени по некоторому закону. Дифференциальное уравнение движения груза в этом случае будет следующим:
P ( t)-c x -m x , |
(1) |
|
где с - жесткость упругой связи* Обозначаяр ' |
= с/т, запишем |
|
уравнение ( 1) в стандартной форме: |
|
|
2 |
Р(0 |
(2) |
х + р х = |
—— |
|
|
т |
|
К этому же виду можно привести задачу о вынужденных колебаниях, вызываемых кинематическим способом (то есть при «кинематическом возбуждении»). Чтобы пояснить это, рас смотрим одномассовую систему (рис. 1), но предположим, что причиной колебаний служат заданные колебания точки крепле ния пружины.
GdA
* Коэффициент жесткости винтовой пружины с = — г—, где D - SDn
диаметр винтовой пружины; п - количество витков; d - диаметр попе речного сечения проволоки пружины; G - модуль упругости при сдви ге материала проволоки [2].
tK '>
т
Рис. 1. Одномассовая система
альное уравнение имеет вид
Положим, что закон дви жения этой точки задан в виде ft) . В текущий момент времени удлинение пружины х = f t ) и на груз действует сила упру гости пружины с{х - ft)), соот ветственно этому дифференци-
- с(х - f{t)) = тх |
(3) |
X + р 2 X - Cf{t) . |
(4) |
т |
|
Произведение eft) можно принять за приведенную возму щающую силу P(t) = eft), что приводит уравнение (4) к стан дартной форме (2).
Общее решение уравнения (2) может быть записано в виде
у1 I
x ( t) - X о cos pt + — sin pt + — {P(t) sin p(t - x)dx. (5)
P mP о
Здесь первые два слагаемых выражают свободные колеба ния, порожденные начальными возмущениями Хо и Ко, а по следнее слагаемое - вынужденные колебания, вызываемые воз мущающей силой.
В случае нулевых начальных условий, когда движение на чинается при Хо = 0 и Ко = 0, получим
1 |
1 |
(6) |
х(0 =— |
{P(x)sinp(/-x)dx |
|
тр |
о |
|
|
|
|
При кинематическом возмущении решение (6) примет вид |
|
|
t |
|
|
x(t) = p \f(x )sm p {t-x )& x . |
(7) |
|
о
Одним из наиболее часто встречающихся в практике случа ев действия возмущающей силы является случай, когда сила изменяется по гармоническому закону:
P{t) —PQsin cof, |
|
где PQ- амплитуда силы; со - частота силы. |
|
При со ф 0 из выражения (6) получим |
|
со . |
( 8) |
sin со/---- sin pt , |
где хСт - изгиб, вызываемый статически приложенной постоян ной силой, JCCT= Pole.
Решение (8) показывает, что при нулевых начальных усло виях возникают сложные колебания, состоящие из колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы, и колебаний, происходящих с собственной частотой.
Обычно первые колебания называют вынужденными, а вто рые - свободными. Следует иметь в виду условность такой тер минологии.
Решения, соответствующие стационарным, незатухающим колебаниям,
Амплитуда вынужденных колебаний
В случае кинематического возмущения, если А - ампли туда точки крепления, то
В случае колебания двухмассовой системы (см. рис. 2, сис тема № 1), если точка первой массы колеблется по закону f[t), уравнение движения каждой из масс будет иметь вид
т\Хх= -<:,(*,-/(/))+ с2(х2 -х ,),
(9)
тг*2 = -с2(*2 -*i).
где ль л*2 - перемещения массы т\ и тг соответственно.
Эти уравнения принято записывать таким образом, чтобы в правой части была возмущающая сила:
J тххх+с,х, - с 2(х2 - л 1) = с ,/(0 ;
( 10)
[т 2л:2+с2(х2 -х ,) = 0.
Пусть ДО =А sin соt. Найдем решение, соответствующее стационарному режиму вынужденных колебаний. Для этого примем
= ахsin со/;
( П )
х2 = а2 sin со/,
где «|, ci2 - амплитуды колебаний каждой массы. Подставляя (11) в (10), получим
( - m , c o + С| + 6 ^-)с0 2, а2 = ctA ;
- c2at + {-т2ЬУ + с2)а2 =0.
Отсюда
с\А(с2 - т 2со2)
а, =
^С| + с2 - т\со2 j(c2 - т2со2 j - с\
схА с2
( С1 + с 2 “ / W1C° 2 ) ( C2 ~ W 2C02 ) “ с2
В частном случае, когда с2 = /иг со2 = 0, амплитуды а\ и а2 имеют следующие значения:
ах = 0 ; а2 = - — Л,
то есть первая масса остается неподвижной, хотя возмущение приложено к этой массе. Этот эффект носит название динами ческого гасителя колебаний.
Приведенные соотношения позволяют провести теоретиче
ское исследование вынужденных колебаний |
одномассовых |
и двухмассовых систем при кинематическом |
возбуждении, |
а именно рассчитать собственные частоты и амплитуды вынуж денных колебаний, построить формы колебаний исследуемых систем, рассчитать параметры динамического гасителя колеба ний для двухмассовой системы.
Экспериментальные исследования вынужденных колебаний механических систем
Цели: экспериментальное и теоретическое исследование вынужденных колебаний одномассовых и двухмассовых систем при кинематическом возбуждении; исследование колебаний двухмассовой системы в режиме динамического гасителя; срав нение полученных параметров с расчетными.
Используемое оборудование и приборы:
1.Вибростенд ST-1000.
2.Электронный частотомер.
3.Строботахометр.
4.Набор исследуемых объектов (возможность изменения жесткости, массы, числа степеней свободы системы).
5.Измерительные инструменты.
Общая схема экспериментальной установки представлена на рис. 2.
Блок управления (БУ) 1 позволяет формировать гармониче ский электрический сигнал нужной частоты и амплитуды, что осуществляется поворотом соответствующих ручек на БУ (см. инструкцию по эксплуатации вибростенда). Электромагнит 2
передает заданный на блоке управления гармонический сигнал на рабочий стол 3. Рабочий стол 3 позволяет с помощью допол нительных креплений разместить на нем исследуемые объекты и, таким образом, реализовать кинематическое возбуждение. Электронный частотомер 4 предназначен для более точного и удобного наблюдения за частотой внешнего возбуждения при проведении эксперимента.
№ 1 № 2 № 3
Строботахометр 5 позволяет визуально зафиксировать форму движения исследуемого объекта (частоту колебаний).
На рис. 2 приведены различные варианты систем (№ 1, 2, 3) с конечным числом степеней свободы, которые могут быть из менены по решению преподавателя. В случае исследования сис тем с распределенными параметрами вместо рамки 6 на вибро столе 3 будут размещаться балочные системы (рис. 3, 4).