Аналитическая динамика и теория колебаний. Исследование динамики мех
.pdfРис. 3. Схема размещения консольной балки на вибростоле
Е, J, I, р
Шарнирно опертая балка
Рис. 4. Схема размещения шарнирно опертой балки на вибростоле
Варианты закрепления балок могут быть различными, что отразится лишь на рабочей части практикума. Схема экспери ментальной установки и порядок проведения исследований ос таются одинаковыми во всех случаях.
Порядок проведения работы:
1.Теоретически определить собственные частоты и формы колебаний одномассовых и двухмассовых систем.
2.Рассчитать параметры динамического гасителя колеба ний для одной из систем (по указанию преподавателя).
3.Провести эксперимент и проанализировать результаты.
3.1.Собрать схему установки (проверить наличие всех ком понентов).
3.2.Доложить преподавателю о готовности к работе.
КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩАЕТСЯ ВКЛЮЧАТЬ СХЕМУ И ОТДЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ!________________________________
3.3.Снять амплитудно-частотные характеристики одномас совых систем (количество систем и их параметры определяются преподавателем).
3.4.Определить резонансные частоты для одномассовых
систем.
3.5.Аналогичные эксперименты провести для двухмассовых
систем.
3.6.Произвести наблюдение форм колебаний с использова нием строботахометра.
3.7.Графически представить результаты эксперимента и срав нить (в табличном варианте) их с теоретическими.
3.8.Исследовать колебания двухмассовой системы в режи
ме динамического гасителя. Сравнить расчетные и эксперимен тальные параметры систем.
Контрольные вопросы:
1. Приведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы и поясните, како во его общее решение.
2. Поясните, что представляет собой каждое из слагаемых общего решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний.
3.Расскажите, какие частоты называют критическими, при каких условиях возникает резонанс.
4.Расскажите, как определяется максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний массы.
5.Опишите, какой вид имеют уравнения вынужденных ко лебаний системы с двумя степенями свободы.
6.Поясните, по каким формулам определяют амплитуды вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы.
7.Опишите способы гашения вынужденных колебаний системы.
8.В чем заключается расчет динамического гасителя коле
баний?
2.ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ
СРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (изгибные колебания балки постоянного поперечного сечения)
Дифференциальное уравнение вынужденных изгибных ко лебаний балки постоянного сечения под действием произвольно заданной возмущающей силы g(;t, t) имеет вид [3]:
д2у |
| EJ |
д4у |
1 , ч |
( 12) |
d t2 |
т |
дхА |
= — £(*» О- |
|
т |
|
Для этого представим функции g(x, t) и решение у(х, t) в ви де ряда
” = | |
(13) |
У(х,()= I *,(*)т;(о>
п = 1
где Х„ - собственные формы задачи о свободных колебаниях балки, т.е. «балочные функции».
Функции S„(t) могут быть определены из соотношения
Jg(x, t)X 6 x
]----------- |
• |
<14) |
\ X 2dx |
|
|
J |
П |
|
О
j L ( E < WTn + mXnf n -X „ Sn) = 0. |
(15) |
Гак как функция Хп соответствует уравнению
A'IV - к 4X = 0, |
к4 = ^ ~ , |
|
EJ |
то соотношение (15) может быть записано в виде
I |
Т + р1Т — *• |
X = 0 . |
|||
п |
* п |
п |
m |
|
|
и=0 |
" |
” |
" |
|
|
Удовлетворить это уравнение можно, если взять Tn(t) так, чтобы при всяком п
Т п+ р2пТ = - 5 (0
пm п
Отсюда при нулевых начальных условиях
ТЛ') = —— |
(т)sin р (/-T)dT. |
(16) |
|
” |
mpn о |
" |
|
Например, если сила гармоническая, то есть
g{x,t) = g(x) sin со/,
|
\g{x)Xndbr |
|
|
S (/) = sin со/ |
----------= A sin со/; |
|
|
n |
l |
П |
|
|
о |
|
|
A |
i |
(/-x )ch . |
(17) |
T (t) =—— f sin cox sin p |
|||
™Pn о |
|
|
|
А |
| |
|
' |
В Д = , ” |
|
sin со/- — sinpnt . |
|
т[Рп-w" jv |
Рп |
J |
|
Тогда перемещение балки в произвольный момент времени
о° |
а |
( |
|
Л |
y(x’t) = Y , X n(x)— r - f 1—тт |
|
sin to /-— sinp„/ . |
||
п=\ |
т\Рп~ ® |
|
Рп |
J |
Отсюда видно, что при со -> рп смещение балки неограни
ченно возрастает (явление резонанса).
Если сила изменяется во времени по гармоническому зако ну, кроме того, сосредоточена и равна sin со г, то кроме обще
го метода решения разложения в ряд по собственным функциям задачу можно решить и по-другому.
Действительно, стационарные вынужденные колебания происходят с частотой возмущения, поэтому решение для про гиба можно найти по формуле
v(x, /) = T(;c)sin со t , |
(18) |
сводя задачу к определению формы колебания (кривой ампли туды) У(х). Подставляя решение (18) в уравнение
аЁ £ . я * У .О , дхч дГ
получим
|
|
r ,v_m ® _y = 0 |
(19) |
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
Решение дифференциального уравнения (19) имеет вид |
|
||
|
Y(x) = C,S(ax) + С2Т(ах) + C3U(ах) + C4V(ах), (20) |
||
|
,2 |
|
|
где a = |
mco |
; S(ax), Т(ах), U{ax), V{ax) - функции Крылова. |
|
~Ё7 |
|||
Постоянные С\, Сг, Сз, С4, входящие в решение (20), опре деляются из граничных условий. Полученная при этом система позволяет рассчитать значения собственных частот изгибных колебаний балки, которые равны по величине резонансным час тотам вынужденных колебаний балки. Для расчета необходимо применить численный алгоритм, изложенный в главе 3.
Экспериментальные исследования
Цель: теоретическое и экспериментальное исследование системы с распределенными параметрами на примере вынуж денных изгибных колебаний балки постоянного сечения.
Используемое оборудование и приборы - см. главу 1. Порядок проведения работы:
1.Теоретически определить резонансные частоты и формы колеблющейся балки. Для теоретического расчета используется численный алгоритм (см. главу 3).
2.Провести эксперимент и проанализировать результаты.
2.1.Собрать схему установки (см. рис. 2, 3, 4).
КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩАЕТСЯ ВКЛЮЧАТЬ СХЕМУ И ОТДЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ!
2.2.Доложить преподавателю о готовности к работе.
2.3.Снять амплитудно-частотные характеристики для двух различных балок в диапазоне частот от 0 до 300 Гц.
2.4.Произвести наблюдение форм колебаний балки с при менением стробоскопического метода.
2.5. Графически представить результаты эксперимента и сравнить их с теоретическими значениями.
Контрольные вопросы:
1.Приведите уравнение вынужденных изгибных колебаний балки постоянного поперечного сечения.
2.Опишите методы решения задачи о вынужденных изгибных колебаниях балки (системы с распределенными параметрами).
3.Перечислите экспериментальные методы, которые ис пользуются для измерения частоты колебаний механических систем.
4.Расскажите, как строится амплитудно-частотная характе ристика системы.
3. МЕТОД ПАРАБОЛ ОТЫСКАНИЯ КОРНЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод парабол [4] предназначен для приближенного реше ния уравнения вида
Ж> = 0, |
(21) |
где /(■) - заданная функция действительного или комплексного аргумента, позволяет находить все корни уравнения (21) без зна ния их начальных приближений (рис. 5). Необходимо уточнить, что функция / (z) может быть задана в виде алгоритма, позво ляющего вычислять значение / по заданному аргументу z, ана литический вид не требуется.
Исходя из некоторых трех точек zo, zi, Z2 строится интерпо ляционный полином Лагранжа второй степени (парабола). Один из корней этого полинома z, выбирается в качестве приближе ния, и организуются новые три точки (zo, z\, z,). По ним опять строится полином и определяются его корни.
Рис. 5. Пояснение к алгоритму метода парабол
Доказано, что такая последовательность сходится к корню уравнения (21). На рис. 5 графически изображено одно прибли жение в методе парабол; z - корень уравнения, z' и z" - корни
полинома Лагранжа Ьг{г).
|
( г - г м ) ( г - г ;) |
{zi - 2 - zi-\)(zi-2 ~ zi) |
|
(zi-\ ~ z,-2)(zi-l ~ zi) |
i zi ~ zi-2){zi ~ zi-\) |
где / > 2 .
Точка Zj + i определяется как ближайший к z, корень уравне
ния L2 i(z) = 0 |
Для более удобной формы записи |
введем |
|
обозначения: |
|
|
|
h = z - Z ' , |
hj = z,- —z(_ ,, |
X = h /h j, Xt = hj / |
, |
|
8,=1 + ^ |
(/ = 2,3,...). |
(23) |
Тогда соотношение (22) относительно новой переменной X запишется так:
= 1,11) = X2 {/(z,_,)X2 ) ХД + / М > -,} ^- +
+ ^{/(г,-2)» .? -/(г ,-|)5 2+ / ( 2:)Х ,+ 5 ,} ^ + / ( г(). (24)
Корни квадратного трехчлена (24) относительно X будут иметь следующий вид:
^1.2 “ |
-2/(2,)5,. |
,(25) |
1/2 |
± { ^ - 4/ ( ^ ) 5/ ([ / ( Z,_2)A., - / ( ZM )S, + / ( Z, ) |
где gi = / ( 2,.2Я? - / ( ZM )5? + / ( Z(XX., + 6,).
В соотношении (25) знак перед фигурной скобкой должен быть таким, чтобы модуль знаменателя был наибольшим, тогда
При реализации на ЭВМ точность определения корня урав
нения задается по формуле |
|
|
zi |
- Z/-1 |
(27) |
|
< 8 , |
z i
где е - наперед заданное положительное число, определяющее требуемую точность вычислений.
Сходимость метода парабол доказана, если начальные зна чения го, Г], Г2 находятся в достаточно малой окрестности корня уравнения (21). Но большой практический опыт применения метода показал, что последовательность {z,} всегда сходится к
некоторому корню уравнения (21) независимо от выбора го, z\9 Z2- Если го = -1, z\ = 1, Z2 = 0, то последовательность сходится к наименьшему по модулю корню.
После того как найден корень уравнения, требуется его вы делить и приступить к отысканию следующего. Эту процедуру можно осуществить с помощью неявной схемы Горнера. Для определения второго корня уравнения, вместо исходного уравнения (21), рассматривается
где г, - первый корень уравнения, затем
{ /(z )/(z - z ,)/(z - z 2)}
и гак далее.
Укажем очевидные преимущества метода парабол:
1.Не требуется знание начальных приближений корней.
2.В методе необходимо вычислять только значения функ ции (большинство методов требуют вычисления производных).
3.Если приближение выбрано симметрично относительно начала координат, то корни определяются в порядке возрастания.
Алгоритм метода парабол дан в виде блок-схемы (рис. 6).
Рис. 6. Блок-схема алгоритма метода парабол