Аналитическая динамика и теория колебаний. Исследование динамики мех
.pdfгде 5„ - податливость балки при приложении силы в точке за
крепления МаССЫ /77/.
Приближенное значение частоты колебаний такой же сис темы можно определить по формуле Релея
_ 2U0 |
(34) |
Р/2 = |
Сравнивая формулы (33) и (34) и учитывая, что формула Релея определяет завышенные значения частоты колебаний сис темы, получаем неравенство
Таким образом, приближенная формула Донкерлея
2 |
1 = |
1 |
(35) |
Р |
п \ |
п |
|
|
I — |
5>А» |
|
|
i=\Pi |
Ы1 |
|
всегда дает преуменьшенное значение частоты.
Рассчитав частоту одной и той же системы по методу Релея и по формуле Донкерлея, мы получим интервал значений, со держащий истинную частоту колебаний.
4.3. Метод Релея-Ритца
Метод Релея-Ритца основан на вариационном принципе Гамильтона, согласно которому для консервативной системы
12
«действие», т.е. } (Т - U )dt, имеет стационарное значение, здесь '1
Т - кинетическая, U - потенциальная энергия системы. Следова тельно, вариация
5 J(7 -t/)d / = 0 . |
(36) |
'i |
|
При этом на границах интервала интегрирования координа ты не варьируются.
Записывая движение при собственных колебаниях в фор ме (28), подставляя соотношения (29) и (30), для интервала ин тегрирования (/i = 0, ^2 = 2п/р) приходим к уравнению
|
8| \ p 2M - U , |
= 0 . |
(37) |
В этом выражении частота р рассматривается как константа. |
|||
Зададим форму колебаний в виде ряда |
|
||
и, = |
+ a2uj2^+ ••• + аги\г^ +...+ аки\к\ |
(38) |
|
где аг - неопределенные параметры; |
- известные линейно |
||
независимые функции координат, удовлетворяющие условиям закрепления системы.
Количество слагаемых в выражении (38) определяется не обходимой точностью расчета. С учетом (38) можно подсчитать значения М и Щ, которые будут однородными квадратичными формами относительно параметров аг. Тогда условие стацио
нарности (37) приводит к системе уравнений |
|
|
|
1 |
г дМ |
,к. |
(39) |
2 Р |
г =1, 2, |
||
даГ |
|
|
|
Уравнения (39) являются линейными и однородными отно сительно параметров аг. Условие равенства нулю определителя системы (39) представляет собой уравнение частот
аИ ' О .
Это уравнение к-й степени относительно р2 Если в выра жении (38) для формы колебаний сохранить только одно слагае мое, то единственное уравнение системы (39) будет тождественно формуле Релея. Сопоставляя метод Релея и метод Релея-Ритца,
отметим, что в первом из них реальная система сходится к сис теме с одной степенью свободы, а во втором - к системе с к сте пенями свободы, где к - количество координатных функций, учитываемых в выражении (38) для формы колебаний.
4.4. Метод последовательных приближений (тематика курсовой работы)
Метод последовательных приближений позволяет опреде лять формы и частоты собственных колебаний с любой степе нью точности. Особенно эффективен этот метод при определе нии низшей частоты колебаний. Последовательность операций этого метода следующая:
1. Задают приближенно форму колебания |
(нулевое |
приближение).
2. Определяют силы инерции при амплитудных отклонени ях системы:
(значение частоты р ^ может быть произвольным).
3.Методами строительной механики определяют переме щения н}1), вызванные силами /).
4.Значения uf^ представляют собой первое приближение
кформе собственных колебаний.
5.Находят первое приблйжение для частоты собственных колебаний, например, по формуле Релея:
Р0) = |
= (о) l l > A |
(1) |
(40) |
Далее за исходную принимается форма первого приближе ния и проводится повторный расчет, в результате которого оп ределяется второе приближение и т.д.
Частоты при последующих приближениях определяются по формуле
1>,и,(г)и<'+1)
2><(«Jr+l))
Свидетельством того, что процесс последовательных при ближений сошелся, является пропорциональность смещений при r-м и (г+1)-м приближениях, т.е. независимость отношения
от номера массы /.
Заметим, что при соблюдении данного условия формула (41) для расчета частоты может быть упрощена:
|
р (" х) = р (г), |
(42) |
|
м* *) ’ |
|
причем отношение |
берется в одной из точек системы. |
|
(г + 1) |
|
|
1C |
' |
|
Формулой (41) следует пользоваться при расчете частоты,
когда форма гДг+ ^ существенно отличается от формы гДг) (на пример, при первом приближении), формулой (42) - при после дующем приближении.
Докажем, что метод последовательных приближений схо дится к первой форме собственных колебаний.
В матричной форме процесс последовательных приближе ний можно представить в виде
= [/7(г)]2 5ты (г), |
(43) |
где u(r), i/r + - столбцы перемещений т-го и (r+1)-го прибли жения; 5 - матрица податливостей; т - диагональная матрица масс.
При этом если |
= ик - собственная форма колебаний, то |
ик = Р к Ътик• |
(44) |
Разложим форму нулевого приближения по собственным формам:
|
и(°) = с{и{+ с2и2+... |
|
|
(45) |
|||
Подставим это разложение в уравнение (43) для формы |
|||||||
первого приближения: |
|
|
|
|
|
|
|
M(1) = |p(0)]25 OT(£.iM +с2м2 +...). |
|
|
(46) |
||||
Воспользовавшись тождествами (44), приведем уравне |
|||||||
ние (46) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\2 |
\2 |
|
|
|
|
|
СЛ +С2 |
Р, |
U2+C2 |
“ з |
- |
(47) |
|
Р\ |
КР2 ) |
||||||
|
|||||||
|
Крг; |
|
|
|
|||
Сравнивая формулы (45) и (47), можно установить, что так |
|||||||
как Р\< Pi< Pi <■■■, то форма |
ближе к первой собственной |
||||||
форме, чем i/0)
При каждом следующем приближении доля высших форм
\2
колебания продолжает уменьшаться в отношениях
\ Рк
и таким образом последовательность столбцов и(г^ быстро схо дится к первой форме собственных колебаний ы( .
Соответственно и частота, подсчитываемая по форму ле (41), быстро приближается к первой собственной частоте.
Очевидно, что если при выборе формы нулевого приближе
ния И<°> обеспечить ее ортогональность к первой форме собст венных колебаний, то коэффициент с\ в разложении (46) будет равен нулю и расчет будет сходиться ко второй собственной форме.
При определении второй формы и частоты собственных колебаний методом последовательных приближений поступают следующим образом:
1.Путем последовательных приближений определяют с дос таточной точностью первую форму колебаний и] .
2.Задают нулевое приближение для второй формы в виде
|
w(°) _ uifi) +а щ. |
(48) |
где |
- подходящая форма; а - коэффициент, определяемый |
|
из условия ортогональности |
|
|
= 0 ,
откуда
I »*,«{? ип |
(49) |
|
а = - —------------ |
||
" |
2 |
|
|
М/1 |
|
/= |
Дальнейшие расчеты не отличаются от вычислений при оп ределении первой формы колебаний.
В результате этих вычислений находят форму первого при ближения „ « и соответствующую частоту колебаний. Следует
отметить, что вследствие неточности расчета форма |
может |
оказаться не ортогональной к первой собственной |
форме щ. |
Поэтому, прежде чем переходить к расчету второго приближе
ния, необходимо ортогонализировать |
и в качестве исходной |
|
для второго приближения принять форму |
|
|
и0) |
+ <2, М,, |
|
где |
|
|
” |
(Л |
|
*,=-*=! |
------------ |
|
пы2,|
Принципиально метод последовательных приближений пригоден для вычисления третьей и высших форм и частот соб ственных колебаний. Нужно лишь каждый раз задаваться формой колебаний, ортогональной ко всем предыдущим собственным формам. Однако для частот выше второй этот метод практиче ски применяется редко вследствие сложности вычислений и медленной сходимости.
Пример. Расчет частоты колебаний вала с сосредото ченными массами. На рис. 7, а представлен эскиз вала с двумя дисками массой 1300 и 2000 кг (диски на эскизе не изображе ны). Определим низшую частоту собственных колебаний мето дом последовательных приближений. Распределенную массу вала заменим четырьмя сосредоточенными массами, две из ко торых (218 и 295 кг) разместим в местах насадки дисков (в точ ках 2 и 3), а две другие - в точках 1 и 4. Таким образом, придем к четырехмассовой системе, представленной на рис. 7, б. Затем произвольно зададим форму колебаний вала (рис. 7, в). Абсо лютная величина прогибов не играет роли, поэтому масштаб кривой может быть выбран произвольным.
Принимая любую величину частоты колебаний, например
=100 с-1, с учетом деформации изгиба, замеряя прогибы
вточках приложения масс на рис. 7, в, определяем силы инер ции каждой массы:
F}0) = w, [р(0)] 2н[о) = 194 • 1002 • 0,2 • 10" 2 = 3,88 кН,
F2(0) = т2 2 4 0) = 1518 • 1002 • 0,44 • 10" 2 = 66,79 кН,
F3(o) = тг[р(0)] 2 4 0) = 2295 • 1002 • 0,48 ■10' 2 = 11 0,16 кН,
F4(o) = т4[р(0)] 2 м$0) -297-1002 • 0,25 • 10“ 2 = 7,43 кН.
Рис. 7. Расчетная схема вала: а - эскиз вала; б - схема дискретиза ции вала с четырьмя сосредоточенными массами; в - произвольная форма колебаний вала с массами
Дифференциальное уравнение изогнутой оси вала имеет вид
Е1г{ х ^ ф - = М{х), |
(50) |
ах |
|
где Е - модуль упругости (для стали Е = 2-105 МПа); Iz(x) - |
осе |
вой момент инерции поперечного сечения вала; и(х) - линейное перемещение центров тяжести поперечных сечений; М(х) - из гибающий момент в сечении.
Интегрирование уравнения (50) производится с учетом гра ничных условий. В результате решения дифференциального
уравнения изогнутой оси вала, нагруженного рассчитанными силами, определяются прогибы сечений вала, к которым прило жены силы.
Прогибы под массами оказались следующими: = 1,09 мм,
11~21 - 2,16 мм, и = 2,45 мм, «У* = 1,25 мм. По формуле (40) оп ределяем приближенное значение частоты собственных колебаний:
„0)= I !<>.- „(о) (Ё и ^ М 11 _
1194- 2,0-1,09+1518- 4,4 • 2,16+ 2295- 4,8- 2,45+297 • 2,5П^25
V 194-1,092 +1518- 2,162 + 2295- 2,452 +297-1,252 = 140,6 с '1
Прогибы первого приближения являются исходными для второго. По этим прогибам при частоте р(1^ найдены силы инер ции, равные соответственно 4,21; 64,68; 110,74 и 7,74 кН. Затем определена форма второго приближения и соответствующая
этой форме частота колебаний |
|
|
Р(2) |
ЪщщО Ш |
= 140,0 |
|
||
Расхождение между вторым и первым приближениями ле жит в пределах точности расчета. Последующие приближения рассчитываются в той же последовательности. Метод последо вательных приближений позволяет рассчитывать частоту коле баний вала с любой степенью точности.
Контрольные вопросы:
1.Опишите подходы, применяемые для дискретизации сис тем с распределенными параметрами.
2.Перечислите приближенные формулы для расчета низ шей собственной частоты колебаний механической системы.
4.В чем заключается метод Граммеля и каковы его воз можности?
5.Расскажите о применении формулы Донкерлея к расчету собственной частоты колебаний системы.
6.В чем заключается суть метода Релея-Ритца?
7.Опишите метод последовательных приближений и спо соб его применения к расчету собственной частоты колебаний
системы.
Расчет частоты колебаний вала с сосредоточенными массами. Задание по курсовой работе по курсу «Аналитическая динамика и теория механических колебаний»
Цели работы: изучить приближенный метод расчета частоты колебаний вала с сосредоточенными'массами - метод последова тельных приближений; вычислить первую частоту колебаний вала.
Задание: N - номер варианта задания.
Расчет массы сосредоточенных грузов (рис. 8):
т\ |
mi |
т-} |
ffi4 |
|
& - 0 — |
0 |
- о ----- СГ |
||
L |
X |
|||
|
|
|||
Рис. 8. Расчетная схема
т, =100 + (ЛМ0), кг;
т2 =150 (// + 5), |
кг; |
т2 = 200 (N +7), |
кг; |
т 4 = 30 + (ЛМ0), |
кг. |
Геометрические пара метры расчетной схемы: длину вала L и координаты расположе ния масс на валу - задать самостоятельно.