Экономика предприятия Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

М.Р. Якимов

ЭКОНОМИКА ПРЕДПРИЯТИЯ

Вдвух частях Часть 1

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2016

1

3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕОПТИМАЛЬНОГОАССОРТИМЕНТА

Задача определения оптимального ассортимента позволяет спланировать из имеющегося ассортимента такие виды продукции и в таком количестве, которое дает максимальный эффект при заданных ограниченных ресурсах.

Постановка задачи. Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Имеется m видов ресурсов в количествах b1, b2, ..., bт, которые могут быть использованы при производстве n видов продукции. Известны нормы расхода i-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции (aij). Эффективность выпуска единицы j-й продукции характеризуется коэффициентом cj.

Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее (наименьшее) значение и расход ресурсов каждого вида не превышает всего имеющегося объема.

Моделирование. Обозначим оптимальный план выпуска каждого вида продукции соответственно через x1, x2, ..., xn. Тогда математическая модель задачи примет вид

4

при условиях

(1)– целевая функция (максимум);

(2)– система специальных ограничений на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3)– система общих ограничений (на неотрицательность переменных).

Задача (1)–(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Примечание. Кроме указанных ограничений по ресурсам (2), в условие задачи, а следовательно, и в ее математическую модель могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т.д.). Например, дополнительные условия, чтобы изделий третьего вида производилось не меньше k штук,

аколичество изделий первого и второго вида относилась как 1:2, запишутся в виде

x3 k;2x1 x2 .

С каждой ЗЛП связывают другую ЗЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной ЗЛП.

Двойственной к ЗЛП (1)–(3) является задача

5

при условиях

Соответственно, двойственной по отношению к ЗЛП (4)–(6) является задача (1)–(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная ЗЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента yi* оптимального решения двойственной задачи (4)–(6) называется двойственной оценкой ограничения исходной ЗЛП.

Пропишем правила построения двойственной задачи:

1.Коэффициенты системы ограничений двойственной задачи есть матрица, полученная путем транспонирования матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи.

2.Если прямая задача на max, то двойственная на min,

инаоборот.

3.Неравенства в системе ограничений двойственной задачи направлены в противоположную сторону, чем в прямой задаче.

4.Коэффициенты целевой функции двойственной задачи есть свободные члены прямой задачи, и наоборот.

5.Между переменными прямой и двойственной задач есть соответствие: дополнительные переменные прямой задачи соответствуют основным переменным двойственной, и наоборот.

6.Число основных переменных прямой задачи равно числу ограничений двойственной задачи, а число основных переменных двойственной задачиравно числу ограниченийпрямойзадачи.

6

7. Все переменные в обеих задачах неотрицательны. Решив прямую задачу, мы автоматически находим ответ

и для двойственной задачи: переменные двойственной задачи равны оценкам соответствующих переменных ( j ) прямой за-

дачи в оптимальном плане.

Переменные двойственной задачи образуют систему условных оценок используемых ресурсов. Таким образом, двойственная задача линейного программирования устанавливает связь между оптимальным распределением ресурсов и некоторой системой оценок этих ресурсов.

Таким образом, в двойственной задаче:

переменные y1, у2, …, yn оценивают единицу соответствующего ресурса (теневая цена);

целевая функция (4) оценивает объем всех ресурсов;

левая часть ограничения системы (5) оценивает затраты на единицу соответствующей продукции.

Ниже представлены задачи на тему «Определение оптимального ассортимента». По каждой задаче дано несколько вариантов. Вариант содержит две цифры: 1-я цифра – номер задачи, 2-я цифра – номер информационной таблицы.

Задача 1

Запланировать производство четырех деталей № 1, 2, 3, 4 на участке, располагающем пятью группами металлорежущего оборудования.

Исходные данные задачи приведены в таблице.

Дан действительный фонд времени на плановый период по каждой группе оборудования (мин), операционное время обработки детали на станках соответствующей группы оборудования (мин). Известна себестоимость производства одной детали (руб.), оптовая цена детали (руб.).

7

Определить оптимальный ассортимент по критерию:

1.Максимум товарной продукции.

2.Максимум товарной продукции, если количество деталей № 2 в два раза больше деталей № 3.

3.Минимум суммарной себестоимости, если объем производства всех деталей – 2000 руб.

4.Максимум товарной продукции, если дополнительно заданы затраты рабочего времени в часах на единицу каждого изделия: 5, 6, 7, 4 ч, а фонд рабочего времени составляет 900 ч. Дать сравнительный анализ результатов решения по четырем моделям.

5.Определить в задаче 1, как повлияет на объем товарной продукции увеличение каждого из видов ресурсов на единицу.

Дополнительное задание. По первому критерию определить максимальное увеличение дефицитного ресурса, при котором сохраняется устойчивость двойственной оценки (дв. о.). Оценить изменение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса, если двойственная оценка устойчива. При анализе сравнить два решения.

Вариант № 10

8

Вариант № 11

Вариант № 12

Вариант № 13

9

Вариант № 14

Вариант № 15

Вариант № 16

10