Основные понятия кристаллографии

Составители: доц. Очиров В.А., доц. Сангаджиев М.М.

«Основные понятия кристаллографии»: Методические указания к спецкурсу «Основы кристаллографии и рентгеноструктурного анализа» для студентов специальностей 010701 «Физика», 270102 ПГС и 280402 ПООТ / Калм.ун –т. Сост. доц. Очиров В.А., доц. Сангаджиев М.М. – Элиста, 2011г.

В работе приведены основные свойства кристаллов, тип симметрии и разновидности кристаллических решеток.

Методические разработки предназначены для студентов специально-

стей 010701 «Физика», 270102 ПГС и 280402 ПООТ.

Утверждено учебно – методической комиссией факультета математики, физики и информационных технологий.

Рецензент: кандидат физики – математических наук Бисенгалиев

Р.А.

Основные понятия кристаллографии

Кристаллография изучает атомную структуру кристаллов, их симметрию и внешнюю огранку. Она является одной из классических фундаментальных наук. Природные кристаллы интересовали философов античного мира, а в настоящее время кристаллография продолжает бурно развиваться.

Содержание этой науки изменялось по мере ее развития и взаимодействия с другими направлениями человеческого познания. Кристаллы были объектами исследования минералогии, а затем физики, математики, химии и биологии.

Видающийся советский кристаллограф академик Н.В.Белов схематически изображал место кристаллографии в центре треугольника, в вершинах которого располагал минералогию, физику и химию: минералы и горные породы, из которых сложена земная кора, существуют в природе в виде кристаллов; кристаллы детально исследует современная физика твердого тела; к кристаллам относится большое число твердых химических продуктов –органических, неорганических и т.д.

Математический аппарат появился в кристаллографии в 19 веке, когда русский кристаллограф Е.С.Федоров и немецкий математик А.Шенфлис вывели 230 групп симметрии, которыми описываются атомные структуры кристаллов.

Наглядными и очень удобными считаются в кристаллографии три метода: аналитическая геометрия кристаллического пространства; метод теории групп симметрии; метод плотнейших упаковок геометрических тел в пространстве.

Открытие М.Лауэ в 1912 г. явления дифракции рентгеновских лучей на кристаллических структурах позволило не только экспериментально подтвердить основные представления об атомных структурах кристаллов, но и дало мощный метод исследования структуры кристаллов.

Достижения кристаллографии позволило выращивать кристаллы в промышленных масштабах с наперед заданными свойствами.

§1. Характерные свойства кристаллов

Кристаллы представляют собой однородные твердые тела, ограниченные плоскими гранями, образующимися при закономерном распределении в пространстве ионов, атомов и молекул.

В отдельных случаях кристаллы могут иметь округлые грани, возникновение которых связано с особенностями условий их роста.

Грани кристаллов пересекаются по ребрам, последние же пересекаются в вершинах. Грани, ребра и вершины кристалла являются элементами его огранения. Так, например, у поваренная соли — 6 квадратными граней, 12 ребер и 8 вершин.

Так, сечение, перпендикулярное вертикальному ребру аб, представляет правильный шестиугольник лишь в нормально развитых неискаженных кристаллах.

В природных кристаллах формы этих сечений различны (неправильные шестиугольники), но во всех случаях углы между соответствующими гранями равны 120°.

Сечения, перпендикулярные ребру ас, также будут шестиугольниками; углы между соответствующими гранями отличаются от 120°, но они остаются постоянными независимо от изменения формы этих сечений.

§3. Симметрия кристаллов.

До этого отмечалось, что кристаллы представляют собой однородные твердые анизотропные тела, имеющие плоские грани, появление которых обусловлено тем, что составляющие кристалла частицы (ионы, атомы и молекулы) расположены в трехмерном пространстве прямолинейно (шеренгами).

Правильная геометрическая форма является одним из характерных признаков кристалла. В правильных кристаллических многогранниках имеет место закономерная повторяемость элементов их огранения (граней, ребер и вершин) при существующих операциях – в этом и проявляется симметрия кристаллов.

Основными операциями, подчеркивающими симметрию, то есть устанавливающими повторяемость их огранения, являются либо отражение в воображаемой плоскости равных частей кристалла, либо вращение вокруг воображаемой прямой, проходящей через его середину. В соответствии с этим приходим к двум наиболее характерным элементам симметрии кристаллов: плоскостям симметрии и осям симметрии.

К этим двум типам симметрии дополнением служит так называемый центр симметрии. В кристаллах, имеющих центр симметрии, противоположные грани попарно равны (рис. 6). В этом случае соответствующие грани повторяются при отражении их в некоторой воображаемой точке, такую операцию называют инверсией. На рис. 6 для наглядности заштрихована пара инверсионно равных граней.

Плоскость симметрии. Если хорошо оформленный кубический кристалл поваренной соли расколоть точно посередине параллельно одной из граней куба, то получим две зеркально равные его половины. Эта операция совершается, конечно, мысленно, так как не все кубические кристаллы других веществ обладают спайностью по граням куба, как это имеет место для поваренной соли.

В любом идеально развитом кристалле кубической формы через середины его граней можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, параллельные граням куба (рис. 7).

Кроме того, воображаемая плоскость, делящая куб пополам, может проходить через диагонали двух противоположных его граней и два противоположных ребра (рис. 8). Таких плоскостей симметрии в кубе может быть только шесть. Это количество плоскостей симметрии куба (три параллельные его граням и шесть диагональных) является максимальным для кристаллов. Девять плоскостей симметрии мы находим в кристаллах, изображенных на рис. 2, 3.

В других кристаллах могут присутствовать одна, две, три, четыре, пять и семь плоскостей симметрии. На рис. 9, а изображен кристалл гипса (CaSO4·2H2O), имеющий лишь одну плоскость симметрии (показана точками). Плоскости симметрии обозначаются буквами Р и т.

Оси симметрии. В кристаллах гипса выступает и второй основной элемент симметрии — ось симметрии. Это—воображаемая прямая, проходящая через середину кристалла и в данном случае перпендикулярная плоскости симметрии (рис. 9а, б). Если поворачивать кристалл вокруг этой воображаемой прямой на 360°, то он окажется в положении самосовмещения (конгруентном) 2 раза, т. е. при повороте на каждые 180°. Такая ось симметрии, при повороте вокруг которой на 360° кристалл дважды оказывается в положении, аналогичном исходному, называется двойной осью и обозначается 2.

На рис. 10 дана стереографическая проекция элементов симметрии кристалла гипса совместно с проекциями граней кристалла в общем поло-

жении (черными кружками показаны верхние грани, белыми — нижние). Плоскость симметрии изображена двойной линией, а 2-ная ось — прямой с эллипсоидальными значками на концах, подчеркивающими двукратный ритм вращения.

В кубических кристаллах поваренной соли 2 оси симметрии соединяют попарно середины 12 противоположных ребер куба, следовательно, всего здесь шесть 2 осей (рис.11). Каждая 2 ось кубического кристалла в проекции перекрывается плоскостью симметрии, показанной на рис.8.

Р и с. 10. Стереографическая про- Р и с. 11. Расположение 4-ных, 3-ных

екция элементов симметрии

и 2-ных осей симметрии куба.

кристалла гипса.

Кроме 2 осей, в кристалле, имеющем форму куба, можно найти еще три четверные оси симметрии, проходящие через середины противоположных граней, и четыре тройные оси симметрии, соединяющие противоположные вершины (рис.11).

Если поворот осуществляется вокруг 4 осей симметрии, то элементы огранения оказываются в положении самосовмещения через каждые 90°, а если вокруг 3 осей, то через 120°. Ритм симметрического преобразования (порядок оси симметрии) определяется из равенства п=3600/ , где п — порядок оси симметрии, — угол поворота, при котором происходит совмещение соответствующих элементов огранения кристалла.

При = 360° п = 1, то есть кристалл возвращается в исходное положение. При = 180° п = 2, имеем ось симметрии 2 порядка, = 120° п = 3 – ось симметрии 3 порядка, = 90° п = 4 – ось симметрии 4 порядка, = 60° п = 6 – ось симметрии 6 порядка.

Кроме буквенного (с цифровыми индексами) и графического изображений, для осей симметрии часто используются цифровые обозначения, причем цифры соответствуют порядку осей: 1, 2, 3, 4 и 6.

При изучении кристаллов было установлено, что в них могут присутствовать лишь оси симметрии перечисленных выше порядков. Причина

– закономерное распределение в пространстве слагающих кристалл элементов.

Ось симметрии — воображаемая прямая, проходящая через середину кристалла,— может соединять либо два совершенно одинаковых, либо два различных элемента огранения, например вершину и грань, ребро и грань, две грани, различные по форме и размерам. Оси симметрии, соединяющие одинаковые элементы огранения кристалла, называются биполярными в отличие от полярных осей, соединяющих различные элементы огранения.

а) б)

Р и с. 13. 4-ные оси и соответствующие стереографические проекции.

а) – биполярная 4-ная ось; б) – полярная 4-ная ось.

На рис. 13,а изображен кристалл с биполярной 4 осью, а на рис. 13,б

— кристалл с полярной 4 осью. Ниже приведены их стереографические проекции. Из стереограмм видно, что в первом случае в кристалле имеется как плоскость симметрии, перпендикулярная 4 оси, так и центр симметрии; во втором случае таковые отсутствуют.

Кроме простых операций симметрии в кристаллах возможны комбинированные геометрические преобразования: одновременные поворот и отражение либо в точке, либо в плоскости. В результате этих составных геометрических преобразований приходим к дополнительным элементам

симметрии кристалла, а именно к инверсионным и зеркальным осям симметрии.

Подобно обыкновенным осям симметрии, инверсионные и зеркальные оси могут быть 1, 2, 3, 4 и 6 порядков в зависимости от углов поворота. На рис. 14,а изображена составная операция, осуществляемая инверсионной осью 1 порядка. Точка а кристалла при повороте на 360 около воображаемой оси возвращается в исходное положение. Отразившись затем в центре, она оказывается в положении а1. Отразив точку а не в центре, а в воображаемой плоскости перпендикулярной оси вращения, получим точку

а1'.

а) б)

Р и с. 14. Операции инверсии и отражения для оси идентичности (а) и 2—ной оси (б).

Из рисунка следует, что инверсионная ось 1 порядка соответствует центру симметрии, а зеркальная ось 1 порядка – обыкновенной плоскости симметрии.

Геометрические преобразования, связанные с инверсионной осью 2- го порядка, показаны на фиг. 14,б. Из рисунка следует, что при повороте на 180° точка а попадет в положение а', а затем после дополнительного отражения в центре — в положение а1. Отразив же точку а' в плоскости симметрии, переведем ее в положение а1'. Сравнивая между собой две части рис. 14, замечаем некоторую аналогию соответствующих операций. Однако в противоположность инверсионной и зеркальной осям 1-го порядка инверсионная ось 2-го порядка отвечает плоскости симметрии, а зеркальная ось 2-го порядка — центру симметрии.

Операции, осуществляемые при помощи инверсионной оси 3-го порядка, показаны на рис. 15, а. Точки а1, а2 и а3 верхней половины кристалла могут быть совмещены с точками а4, а5 и а6 нижней его половины путем поворота на 120° и отражения в центре. Точка а1 при повороте на 120° попадает сначала в положение а2, отразившись же в центре,— в положение а4; точка аг переходит в положение а3, а затем после отражения в центре совмещается с точкой а5; точка а3 сначала занимает место точки a1, а затем после отражения в центре — точки а6.