Введение в теорию фракталов (60

где f (x) = − 2g f1(x) , а ϕ(x) – искомая функция. Видно, что полученное интегральное уравнение есть частный случай уравнения Абеля при α = 1/2. Найдя ϕ(η) , можно составить уравнение кривой. Действительно,

ϕ(η) = sin(1β) ,

откуда

и, следовательно, искомая кривая определится параметрическими уравнениями

ξ = Φ1(β); η= Φ(β).

30

В частности, при f(x) = C задача Абеля переходит в известную задачу о таутохроне: найти кривую, скользя вдоль которой без трения частица достигает своего самого низкого положения за одно и то же время, независимо от ее начального положения. Легко показать, что решением задачи Абеля в этом случае является циклоида.

5.2. Дробные операторы Римана – Лиувилля

Для интегрируемой на отрезке [a, b] функции ϕ(x) выражение

где α > 0, называется интегралом дробного порядка α или дробным интегралом Римана – Лиувилля. Оператор Iaα называется операто-

ром дробного интегрирования. Справедливо тождество

IaαIaβ = IaβIaα = Iaα+β .

Для дифференцируемой на отрезке[a, b] функции f(x) выражение

где 0 < α < 1, называется дробной производной порядка α или производной Римана – Лиувилля.

Отметим, что дробные интегралы определены для любого порядка α > 0, а дробные производные только для 0 < α < 1. Если α = 1, 2, 3… – целое число, то под дробной производной порядка α понимается обычное дифференцирование:

Если же α – нецелое число, то дробная производная порядка α определяется как

31

где [α] – целая, а {α} – дробная часть числа α. Имеет место тождество

Дαa Дβa = ДβaДαa = Дα+βa .

Как и для обычных производных, справедливо обобщенное правило Лейбница

с обобщенными биномиальными коэффициентами

Как и в случае целых показателей, дробное интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями:

Дαa Iaαϕ= ϕ;

В качестве упражнения предлагается показать, что для степен-

6. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ

6.1. Одномерное движение частицы во фрактальной среде

Рассмотрим движение частицы во фрактальной среде с размерностью 0 < α < 1. Применяя формализм Лагранжа с дробными производными, т. е. минимизируя обобщенный функционал действия, приходим к уравнению

где x(t) – уравнение движения частицы; m – ее масса; τ – некоторое характерное время процесса; T – общее время движения. При α = 1 получается классическое уравнение движения. При этом выражение в правой части определяет консервативную силу, действующую на частицу. Рассмотрим простейший случай, соответствующий свободному движению:

ДTαДα0 x(t) = 0 .

Интегрируя данное уравнение, получаем окончательное решение

x(t) = x(0) + x(T ) −αx(0) tα .

T

При α = 1 получаем уравнение для траектории равномерного движения: x(t) = x(0) + v0t . При α = 0 траектория вырождается в точку

x(T ). Для промежуточных значений 0 < α < 1 реализуется проме-

жуточная ситуация и для движения частицы: величина x(t) меняется медленнее первой производной. Это означает, что движение происходит в некоторой диссипативной среде. Кроме того, можно заметить, что уравнение (12) при α < 1 не является симметричным относительно замены знака времени, что, как известно из статистической физики, также свидетельствует о диссипативном (необратимом) характере движения.

Два рассмотренных предельных случая (α = 1 и α = 0) хорошо известны в физике и имеют общий характер. Первая ситуация соответствует так называемой «полной памяти» физической системы,

33

т. е. когда в процессе эволюции система проходит через все состояния непрерывным образом без каких-либо потерь. В нашем случае это непрерывная гладкая траектория.

Второй предельный случай имеет место, когда система теряет все свои состояния за исключением одного. Это соответствует хорошо известному марковскому процессу с полным отсутствием памяти. Примером является броуновское движение, когда частица имеет ломаную траекторию, а направление движения в каждый момент времени определяется лишь последним столкновением и не зависит от предыстории.

А не существуют ли такие физические системы, которые в процессе эволюции занимают промежуточное положение (траектория движения находится между прямой и точкой). Обыкновенная евклидова геометрия не дает утвердительного ответа на этот вопрос, так как не «знает» промежуточного геометрического объекта между прямой и точкой. Фрактальная геометрия отвечает на этот вопрос утвердительно, так как такой объект существует – это канторово множество. Отсюда следует, что ряд физических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны иметь фрактальную природу. Например, процессы переноса в каналах некоторой ветвящейся фрактальной структуры. Такие процессы можно классифицировать как процессы с «потерей памяти» или с «остаточной памятью», а дробный показатель совпадает с фрактальной размерностью структуры и характеризует долю сохраняющихся состояний в процессе эволюции физической системы.

6.2. Уравнение переноса в дробных производных

Рассмотрим простейшее уравнение переноса, описывающее в частности диффузию,

где r – оператор Лапласа. Известно, что в процессе диффузии

среднеквадратичное удаление частицы от исходного положения дается выражением

34

rG2 (t) = 2Bt ,

т. е. является линейной функцией времени.

Обобщением уравнения диффузии, происходящей во фрактальной среде, является уравнение

где производная по времени является дробной, порядка α (0 < α < 2). Среднеквадратичное смещение при этом будет

rG2 (t) = 2Btα = 2Bt2H ,

где H – показатель Херста. Уравнение (14) описывает обобщенный броуновский процесс, коэффициент корреляции для которого име-

ет вид

Q(t) = δrG(−t)δrG(t) = 2α−1 −1 = 22H −1 −1,

где δrG(t) – приращение радиус-вектора частицы. Видно, что при

H = 1/2 (α = 1) корреляция прошлых и будущих приращений отсутствует при всех t, что соответствует марковскому процессу. При этом уравнение (14) переходит в (13), что соответствует классической диффузии. Случай H > 1/2 (1< α < 2) соответствует положительной корреляции – если приращения были положительными за некоторый период в прошлом, то и впредь в среднем будет происходить увеличение. Случай H < 1/2 (0 < α < 1) соответствует отрицательной корреляции – рост в прошлом означает уменьшение в будущем и наоборот. Данные процессы называют соответственно персистентными (супердиффузионными) и антиперсистентными (субдиффузионными). Таким образом, суть обобщения состоит в том, что обобщенный броуновский процесс обладает памятью.

Примером персистентного процесса с H = 0,92 является статистика морских волн. В этом случае персистентность означает, что если высота волн увеличивалась в течение времени t, то можно ожидать ее увеличения в течение последующего периода примерно такой же длительности. И наоборот, если высота волн уменьшалась

35

характерно для фрактальных броуновских процессов. Запись антиперсистентного процесса представляется очень зашумленной кривой. У таких кривых уровень локального шума совпадает по порядку величины с глобальными отклонениями сигнала (рис. 17,б,в).

В заключение отметим, что уравнение (11) в классификации уравнений в частных производных занимает промежуточное положение между эллиптическим (описывающим стационарные процессы) α = 0, параболическим (описывающим классическую диффузию) α = 1 и гиперболическим (волновым) α = 2 типами. Решение уравнений с дробными производными сводится, по сути, к решению интегральных уравнений.

37

Список использованной литературы

1.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2001.

2.Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая ди-

намика», 2001.

3.Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

4.Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

5.Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000.

6.Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

7.Фракталы в прикладной физике / Под общ. ред. А. Е. Дубинова. Арзамас-16: ВНИИЭФ, 1995.

8.Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. М.: Университетская книга, 2005.

9.Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

10.Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.

11.Нигматулин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90,

№3. С. 354–368.

12.Рехвиашвили С. Ш. Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30, № 2.

С. 33–37.

13.Зеленый Л. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. 2004. Т. 174, №. 8. С. 809–852.

38

39