Введение в теорию фракталов (60

Разность максимального и минимального накопленного притока X(t) назовем размахом R, который представляет собой разность между максимальным и минимальным количеством воды в водохранилище:

где t – дискретное время, принимающее целочисленные значения; τ – длительность рассматриваемого промежутка времени. Естественно ожидать, что R растет с τ.

Херст исследовал многие природные процессы и показал, что нормированный размах R/S очень хорошо описывается эмпирическим соотношением

где S – среднеквадратичное отклонение процесса, которое можно определить по наблюдениям:

Параметр H называется показателем Херста. На практике считают, что показатель Херста можно оценить, анализируя временные ряды, состоящие примерно из 2500 измерений.

Имеющиеся данные показывают, что для многих естественных процессов H > 1/2. Данный факт вызывает интерес, поскольку при отсутствии долговременной статистической зависимости отноше-

ние R/S должно быть асимптотически пропорционально τ1/ 2 . Известно, что если временные ряды связаны со случайными процессами с независимыми значениями и конечной дисперсией, то

1

R= πτ 2

S2 .

Причина, по которой природные процессы подчиняются статистике Херста, и по сей день до конца не выяснена. По-видимому,

20

это связано с эффектом памяти. Частично данный вопрос будет обсуждаться далее.

Рассмотренные временные ряды представляют собой фрактальную кривую размерности D = 2 – H.

4.6. Фрактальные поверхности раздела сред как основа дробных показателей частоты

Входные импедансы конечных электрических цепей, построенных из пассивных элементов с сосредоточенными параметрами, являются рациональными функциями от частоты (например, для емкости Z = 1/ωC, для индуктивности Z = ωL). Эта рациональность является в определенном смысле злом, поскольку характеристический импеданс Z0 линии связи (например, кабеля), необходимый

для согласованного (безэхового) соединения, не является рациональной функцией частоты, обычно Z0 ω−1/ 2. Бесконечные же

цепи способны порождать иррациональную зависимость от частоты. Например, бесконечная цепь лестничного типа, представленная на рис. 13, имеет входной импеданс Z0 , представимый в виде не-

прерывной дроби

Рис. 13

21

Конечное значение Z0 можно получить, если воспользоваться

периодичностью этой непрерывной дроби, которая позволяет записать ее в виде

Z0 = R + G +1 1 . Z0

Отсюда

При R = G−1 =1 Ом и конечном числе элементов импеданс Z0

равен рациональному числу (6), а именно, отношению двух последовательных чисел Фибоначчи: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …. (напомним, что числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой первые два члена равны единице, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих). Если число элементов бесконечно, то, как видно из (7), Z0 перестает быть рациональным. В этом случае

Z0 = (1+ 5 )2 ≈1,62 – величина, обратная «золотому сечению». Чтобы получить иррациональную зависимость от частоты,

можно вместо резистора G = R −1 поставить конденсаторы с G = ωC. При малых частотах ω << 1/RC получаем степенную зависимость Z0 ω−β с дробным показателем β = 1/2.

Частотные зависимости, выходящие за рамки простых полуцелых показателей, нередко наблюдаются при прохождении электрического тока через «шероховатые» поверхности, например, через поверхность раздела между электродом и электролитом в автомобильном аккумуляторе.

Рассмотрим двумерную модель, представляющую токопроводящую поверхность раздела в виде фрактала (рис. 14,а).

В основе этой модели лежит канторово множество с r = 0,3. При этом шероховатость поверхности моделируется постоянно углубляющимися «канавками» в электроде; на каждом этапе

22

построения фрактала их глубина увеличивается на постоянную величину. На рис. 14,б показана древовидная электрическая цепь,

пластинаПластина

электролит

а

Электролит

б

Рис. 14

23

моделирующая проводимость такой поверхности раздела. Сопротивление на каждом этапе построения увеличивается в 1/r раз, поскольку заполненные электролитом канавки в поверхности электрода с каждым этапом все больше сужаются.

Входной импеданс при этом определяется непрерывной дробью

которую можно представить в следующем конечном виде:

Отметим, что Z(∞) = R , как и следовало ожидать глядя на схему

(рис. 14,б). Для конечных частот справедливо неравенство

Z (ω) > R .

При

R << Z2(ωr ) << ω1C ,

что подразумевает ω << 1/RC, соотношение упрощается до следующего масштабно-инвариантного вида:

решением которого является степенной закон

Z (ω) ω−β

с показателем

β=1 − ln(1/ln 2r) =1− D ,

где D – фрактальная размерность канторова множества, использованного в модели.

24

На интуитивном уровне возрастание импеданса при уменьшении частоты объясняется тем, что электрический ток все глубже проникает во все более узкие канавки на поверхности раздела, прежде чем оказаться шунтированным емкостями.

4.7. Фрактальные траектории квантово-механических частиц

Рассмотрим одномерное движение квантово-механической частицы. Предположим, что время разделено моментами ti на

очень много маленьких отрезков t = ε, или ti +1 = ti + ε . В этом случае траекторию квантово-механической частицы x(t) можно

где S – действие, описывающее движение квантово-механической системы; F – некоторый функционал от x(t), не зависящий от значений функции x(t) на границе и вне области изменения переменной x. В случае одномерного движения частицы под действием по-

тенциала V [x(t)] действие дается выражением

25

Выберем для простоты F = xk . Применив соотношение (8), получим

Если предположить, что потенциал V – гладкая функция, то в пределе при ε → 0 величина V ′(xk )εxk станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами. Тогда можно записать

Эти члены отличаются на величину порядка ε и при достаточно малом ε можно подставить (10) вместо второго члена в соотношение (9). В результате получим

Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ε и неограниченно растет, когда ε стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантово-механической частицы не имеют вида гладкой кривой с определенным наклоном (т. е. с определенной скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на рис. 15.

26

t

(xb , tb )

(xa , ta )

x

Рис. 15

Таким образом, траектория квантово-механической частицы является фрактальной кривой. Найдено, что ее фрактальная размерность равна 2.

5. ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ВО ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в различные области естествознания привело к необходимости систематического изучения динамических явлений на фрактальных объектах, таких например, как перенос массы и энергии во фрактальных средах. Это в свою очередь способствовало созданию соответствующего математического аппарата для описания эволюции таких систем, а именно построению теории дробного интегродифференцирования. Удивительно, но первый шаг был сделан Лейбницем, который размышлял о дробных производных еще триста лет назад, едва успев заложить основы традиционного интегродифференциального исчисления.

27

Запишем известное тождество, доказательство которого легко провести методом математической индукции

n

Учитывая, что (n – 1)! = Г(n), где Г(z) – гамма-функция Эйлера:

∞

Г(z) = ∫ xz−1e −xdx ,

0

видно, что выражению (11) можно придать смысл и при нецелых значениях n.

Важную роль в становлении математического аппарата дробного интегродифференцирования сыграло интегральное уравнение Абеля, а связанная с ним так называемая задача Абеля оказала большое влияние на развитие вариационного исчисления.

5.1. Интегральное уравнение Абеля

Интегральное уравнение Абеля имеет вид

где α – постоянная; 0 < α < 1; ϕ(t) – искомая функция; f (x) – не-

которая заданная функция, имеющая на рассматриваемом отрезке непрерывную производную. Решение данного уравнения в общем виде можно найти следующим образом. Заменим в уравнении x

Меняя слева порядок интегрирования, получаем

28

где

Во внутреннем интеграле сделаем подстановку s = t + y(x – t), тогда

Рассмотрим так называемую задачу Абеля. Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (ξ, η) по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x, достигла оси ξ за время t = f1(x) , где f1(x) – заданная функция (рис. 16).

29