Введение в теорию фракталов (60

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ББК 22.15я73 Т66

УДК 514 (075.8)

Тренькин А. А.

Введение в теорию фракталов: математические аспекты и некото-

рые физические приложения. Учебное издание. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2007. – 39 с.: ил.

ISBN 978-5-9515-0088-5

В данном издании представлены основные идеи и понятия фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, дается представ-ление о математическом аппарате дробного интегро-дифференцирования и его физической трактовке.

Для студентов инженерно-физических специальностей.

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Стремительное проникновение идей фрактальной геометрии в различные области естествознания приводит к необходимости давать начальные сведения по теории фракталов студентам инженер- но-физических специальностей. В настоящее время поток научных публикаций, связанных с фракталами, лавинообразно растет. Однако большая часть литературы представляет собой статьи в научных журналах, а также специальные монографии и не подходит для первоначального ознакомления, остальная литература – научнопопулярная и не дает представления о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке. Пособие ставит своей целью дать первоначальное представление о фрактальной геометрии: вводится понятие фрактальной размерности, рассматриваются основные фрактальные множества, некоторые физические приложения, а также дается представление о математическом аппарате дробного интегродифференцирования и его физической трактовке.

3

1. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА

Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомарных масштабов до Вселенной – занимает центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» природу. До недавнего времени геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур (геометрия Евклида): прямых, многоугольников, окружностей, сфер и т. д. Однако очевидно, что этот классический набор плохо применим для характеристики таких сложных объектов, как береговые линии материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры деревьев, кровеносно-сосудистая система человека и т. п. В последнее время для описания этих и им подобных образований используют новые геометрические понятия. Одним из таких понятий является понятие фрактала. Оно было введено в обращение выдающимся французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их в микроскоп с различным увеличением (так называемая масштабная инвариантность или скейлинг). В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших. Отметим, что для реального природного фрактала существуют некоторые минимальный lmin и максимальный lmax масштабы длины такие,

что при l < lmin и l >lmax самоподобие пропадает. Поэтому свойства природных фракталов имеет смысл рассматривать на масштабах

lmin <l < lmax .

Понятие точного самоподобия характерно лишь для так называемых регулярных фракталов. Если вместо детерминированного

4

способа построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности, то возникают случайные фракталы. Увеличенная часть такого фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. Большая часть природных фрактальных объектов – случайные фракталы.

Размерность евклидова пространства, в котором располагается рассматриваемое фрактальное множество, называется размерностью пространства вложения.

2. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Понятие фрактальной размерности введем на примере измерения длины береговой линии – типичного фрактального объекта – от точки А до точки В (рис. 1).

Покроем наш объект целиком квадратами со стороной l (если фрактал находится не в плоскости, а в n-мерном пространстве, его следует покрывать n-мерными кубами). Отметим, что вместо квадратов можно использовать любые другие фигуры, скажем, окружности. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N(l) квадратов. Тогда, если при достаточно малых l величина N(l) меняется с l по степенному закону

то D называется фрактальной размерностью этого объекта и является его локальной характеристикой. Когда l стремится к нулю, мы учитываем все более мелкие извивы фрактала, при этом длина береговой линии L(l) ≈ N (l) l обращается в бесконечность. Рассмот-

рим произведение

При показателях d < D произведение расходится, а при d > D стремится к нулю. Мы приходим к более строгому определению фрактальной размерности D (называемой также размерностью Хаусдорфа – Безиковича): фрактальная размерность D множества есть критическая размерность, при которой произведение (2) меняет свое значение с нуля на бесконечность. Значение выражения (2) при d = D часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности. Здесь существенно, при каком именно значении d величина (2) меняется скачком.

Формулу (1) можно переписать в виде

Для нахождения размерности регулярных фракталов можно пользоваться альтернативной (формулой 3). Пусть на некотором этапе покрытия регулярного фрактала нам пришлось использовать N(l) элементов характерного размера l, а на другом – N(l′) элемен-

тов размера l′. Тогда фрактальная размерность может быть вычислена по формуле

N (l)

D = −ln N(l′) , (4) ln ll′

которая является следствием (1).

Вычислим фрактальную размерность для некоторых известных множеств.

1. Множество N изолированных точек. Минимальное число элементов, с помощью которого можно покрыть это множество,

6

равно, очевидно, N(l) = N и не зависит от размера элементов l. Тогда по формуле (3) фрактальная размерность этого множества D = 0. Это значение совпадает с обычной евклидовой размерностью изолированной точки: точка – нульмерный объект.

2.Отрезок прямой линии длиной L. Минимальное число одномерных отрезков длиной l, которыми можно покрыть данный отрезок целиком, равно N(l) = L/l. Из (3) получаем D = 1, т. е. совпадает

севклидовой размерностью прямого отрезка.

3.Область гладкой двумерной поверхности площадью S. Для

ее покрытия необходимо N(l) = S / l 2 квадратов (при достаточно

малом их размере l). Тогда из (3) получаем D = 2.

Как видно из (1), «источником» самоподобия является степенная зависимость (с целочисленным или дробным показателем). Справедливо и обратное утверждение: если исследуемое явление проявляет степенную зависимость, мы имеем дело с фрактальным объектом. Часто дробные показатели законов, описывающих совершенно разные явления, оказываются похожи, что может служить указанием на существование аналогичных универсальных закономерностей, лежащих в основе этих явлений.

3. ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Рассмотрим далее некоторые классические примеры регулярных фракталов.

3.1. Канторово множество

Алгоритм его построения следующий. Отрезок прямой единичной длины делится на три равные части и удаляется средний отрезок между точками 1/3 и 2/3 (при этом сами точки 1/3 и 2/3 остаются). Далее процедуре деления на три части подвергается каждый из двух оставшихся отрезков, и так продолжается до бесконечности (рис. 2).

7

1

∞

Рис. 2

Суммарная длина оставшегося множества равна нулю, так как мы исключили в результате длину, равную 1:

Следовательно, возникшее множество представляет собой бесконечное число изолированных точек, которое и называется канторовым множеством, или канторовой пылью, и обозначается С.

Вычислим фрактальную размерность этого множества. Очевидно, что на n-м шаге построения мы имеем N(l) = 2n отрезков

длиной l =1/ 3n каждый. Пределу l →0 соответствует n → ∞ . Поэтому из (3) имеем

Фрактальная размерность не является целым числом (точнее, это число трансцендентное) и принимает значение между нулем и единицей: она меньше евклидовой размерности пространства вложения (n = 1), но больше топологической размерности элементов (точек) этого множества. Это несчетное множество точек, обладающее мощностью континуума.

8

В общем случае, когда после первой итерации остается N отрезков длиной r каждый, выражение для фрактальной размерности канторова множества имеет вид

D = ln N . ln (1r )

Отсюда видно, что можно построить канторово множество с любой заданной размерностью из интервала 0 < D < 1.

Одномерное канторово множество может быть обобщено для случая двух и более измерений. Рассмотрим множество всех точек единичного квадрата, для которых как абсцисса, так и ордината принадлежат канторову множеству С (это так называемое умножение канторова множества само на себя, обозначаемое С×С). Вычислим фрактальную размерность такого канторова множества, вложенного в двумерное пространство (рис. 3).

Рис. 3

Множество может быть покрыто N(l) = 4n квадратами с длиной стороны l =1/ 3n. Следовательно, из (3) получаем

т. е. вдвое больше размерности одномерного множества С. Аналогично, для трехмерного произведения С×С×С можно получить

D = ln8ln 3 ≈1,89 .

9