Введение в теорию графов. Индивидуальные задания (66
.pdfЕ. К. Годунова
Введение в теорию графов
Индивидуальные задания
Москва-2012
УДК 519.17(075.8) ББК 22.174.2 Г593
Г593 Годунова Е. К. Введение в теорию графов. Индивидуальные задания.
–М.: МПГУ, 2012. – 44 с.
Впособии приведены индивидуальные задания по основным разделам и ее приложений: изоморфия, метрика, эйлеровы и га- мильтоновы графы, паросочетания в двудольном графе, система фундаментальных циклов по Кирхгофу, планарность, раскраска карт и вершин графов и др. Задания предназначены для организа- ции самостоятельной работы студентов по курсу. Одно из заданий посвящено организации повторения теорем теории графов. Пособие дополнено приложением, содержащим советы и вопросы общего ха- рактера, помогающие усвоить основные факты теории.
ISBN 978-5-4263-0104-7
©Е. К. Годунова, 2012
©МПГУ, 2012
©Оформление. Издательство«Прометей», 2012
Содержание |
|
Задание 1. Определение графа. Первоначальные понятия………………... |
4 |
Задание 2. Подграфы, простейшие виды графов…………………………... |
7 |
Задание 3. Изоморфизм графов……………………………………………... |
8 |
Задание 4. Перечисление графов……………………………………………. |
10 |
Задание 5. Метрика в графе…………………………………………………. |
10 |
Задание 6. Степени вершин графа…………………………………………... |
12 |
Задание 7. Граф Московского метрополитена……………………………... |
13 |
Задание 8. Двухцветная раскраска ребер графа……………………………. |
14 |
Задание 9. Головоломка с кубиками………………………………………... |
16 |
Задание 10. Поиск в графах эйлеровых циклов и эйлеровых цепей……… |
18 |
Задание 11. Обход лабиринта……………………………………………….. |
19 |
Задание 12. Гамильтоновы циклы…………………………………………... |
21 |
Задание 13. Поиск наибольших паросочетаний в двудольном графе…….. |
24 |
Задание 14. Системы фундаментальных циклов по Кирхгофу…………… |
27 |
Задание 15. Экстремальное дерево………………………………………….. |
28 |
Задание 16. Построение символа (T) дерева T , покрывающего |
|
данныйграф, и решение обратной задачи (алгоритм Пруфера)…………… |
29 |
Задание 17. Планарные графы и их плоские укладки……………………... |
30 |
Задание 18. Раскраска карт и вершин графов………………………………. |
33 |
Задание 19. Матрицы смежностей и инциденций…………………………. |
35 |
Задание 20. Социометрические матрицы, турниры, |
|
ранги индивидуумов………………………………………………………….. |
37 |
Задание 21. Определение порядка следования элементов |
|
по заданному списку предпочтений…………………………………………. |
37 |
Задание 22. Повторение теорем теории графов……………………………. |
40 |
Приложение. Советы и вопросы, |
|
помогающие усвоить доказательства теорем……………………………….. |
42 |
Задание 1 Определение графа. Первоначальные понятия
1. Составьте определение графа. Какая пара множеств участвует в определении? Задайте граф G1 вашего варианта тремя способами:
а. перечислением элементов этих двух множеств; б. таблицей с двумя входами: вершины – вершины; в. таблицей с двумя входами: вершины – ребра.
2.Приведите два-три содержательных примера объектов и отношений между ними, которые интерпретируют понятия графа. Нарисуйте для каждого из них диаграмму какого-либо конкретного случая.
3.Определите понятия «смежность» и «инцидентность». Укажите, какое из них есть отношение между однородными элементами, а какое – между разнородными. Обладает ли отношение смежности свойствами симметрии, транзитивности? Сформулируйте ответ на вопрос: «Как способы задания графа (а), (б), (в) из пункта 1 дают возможность определить смежность вершин, смежность ребер, инцидентность вершин и ребер?»
4.Укажите для графа G1 : а) вершины, смежные с 2 , с 4 ; б) ребра,
смежные с ребром 2 4 ; в) ребра, инцидентные вершине 4 .
5.Сформулируйте определение маршрута. Чем цепь отличается от маршрута? Какая цепь называется простой? Какой цикл называется простым? Попробуйте составить определение цикла, не использующее понятий маршрута и цепи. Сколько ребер в простой цепи Рn и в простом цикле Cn ?
6.Выделите на диаграмме графа G2 , пометив его вершины, и задайте
перечислением вершин а. маршрут, не являющийся цепью,
б. цепь, не являющуюся простой, в. простую цепь Р6 , г. цикл, не являющийся простым,
4
д. простые циклы С3 ,С4 ,С5 ,С6 ,С7 .
7.Сформулируйте определение связного графа. Приведите примеры диаграмм связного графа и графа с тремя компонентами связностей.
8.Какой граф называется дополнением графа G ? Как он обозначается? Нарисуйте дополнения графов G3 ,G4 ,G5 . Есть ли среди этих дополнений несвяз-
ные и сколько в них компонент? (Для проверки используйте утверждение: суммарное число ребер в графах G и G равно числу ребер полного графа с таким же числом вершин.)
9.Приведите примеры трех графов G6 ,G7 ,G8 , удовлетворяющих сле-
дующим условиям: G6 ,G7 ,G8 ,G8 – связные графы, а G7 и G6 – нет.
10. Докажите теорему: «Либо граф G , либо его дополнение G является связным».
Указания. 1. Рассмотрите 2 случая: G связен и G не связен. 2. Во втором случае тоже рассмотрите две возможности: произвольно выбранные вершины u и принадлежат разным компонентам связности графа G или одной. В последнем случае следует выбрать вспомогательную вершину W на другой компоненте связности.
5
6
Задание 2 Подграфы. Простейшие виды графов
1.Выделите минимальный связный остовный подграф в каждом из графов K5 ,W5 , K3,3 ,C7 . Сколько ребер содержат эти подграфы?
2.Можно ли в графах K4 , K5 , K6 , K3,3 , K3,4 найти два связных остовных
подграфа с различными ребрами? Отрицательный ответ обосновать, положительный – подтвердить рисунком.
3.Выделите из графов K3,4 и G2 (вашего варианта) Cn , Km , K1, r с максимально возможным числом вершин.
4.Какие графы получаются при удалении из графов K5 , K3,4 ,C7 , P7 , K1,6
одной вершины, двух вершин? Подтвердите свои ответы на диаграммах.
5. Сколько ребер следует удалить из графа K5 для получения K2,3 ? C5 ?
K4 ?
6. Сколько циклов C5 содержит в качестве подграфов граф Петерсена? Найдите в нем C6 ,C8 ,C9 .
7. Выделите из графов платоновых тел подграфы Cn , Wm , Pk с максимально возможными m , n , k .
7
8.Что представляют собой дополнения полного и полного двудольного графов? Любое ли число ребер может входить в полный граф, в полный двудольный граф? Приведите контрпримеры. Сформулируйте и докажите отвечающие на поставленный вопрос теоремы.
9.Сформулируйте определения понятий «остовный подграф», «полный двудольный граф», не используя понятий подграфа и двудольного графа соответственно.
10.Докажите, что необходимым и достаточным условием двудольности графа является отсутствие в нем циклов нечетной длины (учтите, что в любом цикле двудольного графа должны чередоваться вершины его разных долей).
Задание 3 Изоморфизм графов
1. Дайте определение изоморфизма графов и приведите в качестве примера 3 графа с 5 вершинами, среди которых 2 и только 2 изоморфны. Нарисуйте все неизоморфные графы с 5 вершинами, имеющие в качестве подграфа K4 . Сколько их?
2. Укажите несколько причин, из-за которых два графа не могут быть изоморфными. Есть ли изоморфные графы среди графов G3 ,G4 ,G5 Вашего варианта из задания 1? Какими из причин неизоморфности здесь можно воспользоваться, а какими нельзя?
3. Существуют ли самодополнительные графы с 7 вершинами? с 8 вершинами? с 10 вершинами? Отрицательный ответ обосновать, положительный – подтвердить рисунком. Сколько вершин могут иметь самодополнительные графы? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему. Можно ли утверждать, что дополнения изоморфных графов изоморфны?
8
4. Определите, какие из графов вашего варианта настоящего задания изоморфны, и установите взаимно-однозначное соответствие между вершинами, доказывающее изоморфизм.
9
Задание 4 Перечисление графов
Постройте диаграммы всех ( p,q) –графов, удовлетворяющих указанным в варианте условиям ( p – число вершин, q – число ребер). В перечисленных графах не должно быть изоморфных.
|
|
Варианты задания |
|
1) |
(6,4) |
6) |
(6,2) и (6,3); |
2) |
(5,4) |
7) |
(6,5), связные графы; |
3) |
(5,5) |
8) |
(6,6), связные и содержащие K3 ; |
4) |
(5,6) |
9) |
(6,5), содержащие K3 ; |
5) |
(5,7) и (5,8) |
|
10) (6,6), связные и содержащие C4 . |
Задание 5 Метрика в графе
1.Нарисуйте связные (m 3,q) графы, где m – номер вашего варианта,
диаметры которых удовлетворяют одному из требований:
а. |
d максимален, |
б. |
d = 3, |
в. |
d = m. |
Укажите на каждом из них вершины с максимальным эксцентриситетом. |
|
2. |
Определите эксцентриситет каждой вершины графов G1 и G2 , найди- |
те диаметры этих графов и их центры и радиусы. Для графа G2 найдите все геодезические с длиной, равной диаметру.
10