Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3 ч. Ч. 2. Частотные характеристики (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Липецкий государственный технический университет»

И.В. Музылева

КОМПЬЮТЕРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Часть 2

Частотные характеристики

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Издательство ЛГТУ

2011

УДК 621.34(07) М 896

Рецензенты:

С.П.Слаута – директор по информационным технологиям ОАО «НЛМК» П.И. Золотухин – зав. кафедрой вычислительных систем Липецкого

филиала НОУ ВПО «Международный институт компьютерных технологий» И.А.Шуйкова – доцент кафедры Прикладной математики Липецкого

государственного педагогического университета

Музылева, И.В.

М896 Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3-х ч. Часть 2. Частотные характеристики [Текст]: учебное пособие / И.В.Музылева. - Липецк: ИздательствоЛГТУ, 2011. - 48 с.

ISBN

Учебное пособие предназначено для студентов очной и очно-заочной формы обучения специальности 140604.65. Содержит методику компьютерного исследования частотных характеристик типовых элементарных звеньев в программной среде VisSim.

Табл.2 Ил. 20 Библиогр.: 4 назв.

ISBN

©Музылева И.В., 2011.

©Липецкий государственный технический университет, 2011 г.

2

1. Теоретическое описание и выбор способов моделирования частотных характеристик

1.1. Основные термины и определения

Частотные характеристики (ЧХ) описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. В том случае, когда на вход линейного звена (системы) подается периодическое гармоническое возмущение

по истечении устойчивого (затухающего) переходного процесса на выходе звена (системы) установятся вынужденные периодические колебания, описываемые в экспотенциальной форме как

Эти колебания совершаются с той же частотой, что и входные колебания, но с другой амплитудой Авых и сдвигом фазы относительно входного сигнала на некоторый угол (рис. 1).

В общем случае звено (разомкнутая система) описывается ДУ вида

Производные гармонического входного сигнала:

d m xВХ t = ( j )m AВХ e j t .

dt m

3

X вых

X вх

Aвых

Aвх

T 2

Рис. 1. Соотношение входного и выходного гармонических сигналов Производные для выходного сигнала:

dxВЫХ t = j e j AВЫХ e j t ; dt

d n xВХ t = ( j )n e j AВЫХ e j t . dt n

Подстановка выражений (1), (2), (4) и (5) в (3) даст уравнение

an ( j )n e j AВЫХ e j t + an 1 ( j )n 1 e j AВЫХ e j t +…+ a1 j e j AВЫХ e j t + a0e j AВЫХ e j t = =bm ( j )m AВХ e j t +bm 1 ( j )m 1 AВХ e j t +…+b1 j AВХ e j t +b0 AВХ e j t .

Оно преобразуется к виду:

e j AВЫХ e j t [an ( j )n an 1 ( j )n 1 ... a1 j a0 ] =

= AВХ e j t [bm ( j )m bm 1 ( j )m 1 ... b1 j b0 ].

4

аналогичное передаточной функции (ПФ). Поскольку это выражение эквивалентно отношению амплитуд выходного и входного сигналов и учитывает сдвиг фаз между ними, оно носит название амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). Она может быть получена из формулы ПФ заменой комплексной переменной p на выражение jω. Очевидно, что для некоторой частоты ω АФХ

– это комплексное число, из которого можно выделить действительную и мнимую части по правилам арифметики комплексных чисел

это амплитудо-частотная характеристика (АЧХ), показывающая, как изменяется отношение амплитуд выходного и входного гармонических сигналов с изменением частоты;

фазо-частотная характеристика (ФЧХ), показывающая, как изменяется сдвиг фаз между выходным и входным гармоническими сигналами с изменением их частоты ω.

Графическим представлением АФХ является годограф – геометрическое место на комплексной плоскости конца вектора с амплитудой А(ω) и углом

5

φ(ω) при изменении частоты ω от 0 до +∞. Соотношение всех частотных характеристик показано на рис. 2.

A( i )

Рис. 2. Соотношение частотных характеристик При исследовании САУ часто используются логарифмические амплитуд-

но-частотные характеристики (ЛАЧХ) L( ) , показывающие усиление мощности сигнала при прохождении через звено (систему). При их построении по оси абсцисс откладывается lg и соответствующие им значения частоты , а по оси ординат L( ) . В общем случае ЛАЧХ измеряется в белах. Нужно учитывать, что:

1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз,

2 бела – в 100 раз,

3 бела – в 1000 раз.

Поскольку мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lg A2 2lg A , то усиление мощности, выраженное в отношении амплитуд равно 2lg A( ) . Соответственно в децибелах

L( ) 20lg A( ) .

При этом для характерных точек соотношения между A( ) и L( ) следующие:

6

В качестве единицы измерения частоты используют логарифмическую единицу

декаду. Считается, что частоты 1 и 2 отличаются на 1 декаду, если 2 10 .

1

Расположение графика ЛАЧХ выше оси абсцисс означает усиление выходного сигнала, поскольку при этом 20lgA( ) . Следовательно, A( ) 1,

АВЫХ (ω) АВХ(ω). Соответственно расположение графика ЛАЧХ ниже оси абсцисс означает ослабление выходного сигнала АВЫХ (ω)<АВХ(ω). А пропускание сигнала через звено (систему) без изменения амплитуды происходит на частоте среза ωс, при которой L(ωc)=0 и, следовательно, АВЫХ (ω)=АВХ(ω).

Точка =0 лежит на оси частот слева в бесконечности, поскольку lg 0= - . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от оси ординат на оси частот размещалась та часть ЛАЧХ, особенности которой требуется исследовать.

Применение ЛАЧХ дает следующие преимущества.

Во-первых, для цепочки последовательно соединенных звеньев ПФ представляет собой произведение ПФ входящих в цепочку звеньев (подробно будет

Следовательно, АЧХ в обычном масштабе частот представляет собой произведение АЧХ всех составляющих

i 1

7

Следовательно, ЛАЧХ соединения можно получить как геометрическую сумму ЛАЧХ отдельных звеньев.

Вовторых, при применении логарифмического масштаба кривизна харак-

называе мые асимптотические характеристики.

Поскольку фазовый сдвиг последовательной цепочки п редставляет собой сумму фазовых сдвигов на отдельн ых ее звеньях (13 ), испол ьзование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имее смысла. Поэтому логарифмическая фазо-частотная характеристика (Л ФЧХ) с роится в полулогарифмич ских координатах в виде зависимости φ от lg , чтобы ЛАЧХ и ЛФЧХ были св заны од им масштабом по оси абсцисс.

1.2. Входной сигнал

Поскольку все ЧХ – это завис мости о частоты ω, вход ным сигналом при их моде ировании является сигнал, линейно нарастающий от 0 до +∞. В VisSim он моделируется блоком ramp [1, приложение 1.1, п.3], который может быть установлен на ра очем поле двумя способами:

1)л бо нажа ием на кнопку на панели инструментов Источники сиг-

н алов Pro ducer Blo cks;

2)либо выбором меню Блоки Blocks  категория Источники сигналов

Signal Pro ducer  блок ramp.

Впервом приближении можно оставить устано ленные по умолчанию па-

раметры блока ramp (рис. 3). Методика изм нения параметров блоков изложена в прило ении 3 [1].

8

Рис. 3. Диалоговое окно блока Ramp

1.3. Пропорциональное звено (П-звено)

ПФ данного звена [1, п. 3.1.2] имеет вид W ( p) k . Отсюда АФХ W(jω)=k+j·0. Следовательно, действительная ЧХ R(ω)=k , а мнимая ЧХ I(ω)=0. Очевидно, что A(ω)=k - независимо от частоты соотношение амплитуд будет неизменным, равным k. Сдвига фаз нет – φ(ω)=0. Иными словами, при прохождении через П-звено сигнал остается неизменным по форме, но амплитуда его изменяется в соответствии со значением коэффициента усиления k. Годограф данного звена представляет собой точку с координатами (k; 0). Моделирование П-звена можно осуществить как частный случай апериодического звена с постоянной времени (см. ниже). Результаты представлены на рис. 4.

I ( )

k

R( )

9

личину, комплексно сопряженную со знаменателем, выделяем действительную и мнимую части АФХ:

Следовательно, годограф данного звена будет располагаться в четвертом квадранте комплексной плоскости. Докажем математически, что полный годограф (получаемый при изменении ω от -∞ до +∞) представляет собой окружность. Для этого осуществим ряд искусственных математических построений. Сначала сложим действительную и мнимую частотные характеристики:

R( ) I ( ) k(1 2 T2) . 1 T

Затем возведем в квадрат левую и правую части полученного равенства:

Преобразуем левую часть полученного выражения

10