Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3 ч. Ч. 2. Частотные характеристики (90
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
И.В. Музылева
КОМПЬЮТЕРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Часть 2
Частотные характеристики
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издательство ЛГТУ
2011
УДК 621.34(07) М 896
Рецензенты:
С.П.Слаута – директор по информационным технологиям ОАО «НЛМК» П.И. Золотухин – зав. кафедрой вычислительных систем Липецкого
филиала НОУ ВПО «Международный институт компьютерных технологий» И.А.Шуйкова – доцент кафедры Прикладной математики Липецкого
государственного педагогического университета
Музылева, И.В.
М896 Компьютерное исследование линейных систем автоматического управления. В 3-х ч. Часть 2. Частотные характеристики [Текст]: учебное пособие / И.В.Музылева. - Липецк: ИздательствоЛГТУ, 2011. - 48 с.
ISBN
Учебное пособие предназначено для студентов очной и очно-заочной формы обучения специальности 140604.65. Содержит методику компьютерного исследования частотных характеристик типовых элементарных звеньев в программной среде VisSim.
Табл.2 Ил. 20 Библиогр.: 4 назв.
ISBN
©Музылева И.В., 2011.
©Липецкий государственный технический университет, 2011 г.
2
1. Теоретическое описание и выбор способов моделирования частотных характеристик
1.1. Основные термины и определения
Частотные характеристики (ЧХ) описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. В том случае, когда на вход линейного звена (системы) подается периодическое гармоническое возмущение
xВХ (t) AВХ e j t AВХ (cos t j sin t) , |
(1) |
по истечении устойчивого (затухающего) переходного процесса на выходе звена (системы) установятся вынужденные периодические колебания, описываемые в экспотенциальной форме как
xВЫХ (t) AВЫХ e j( t ) AВЫХ e j t ej . |
(2) |
Эти колебания совершаются с той же частотой, что и входные колебания, но с другой амплитудой Авых и сдвигом фазы относительно входного сигнала на некоторый угол (рис. 1).
В общем случае звено (разомкнутая система) описывается ДУ вида
a |
n |
d n xВЫХ t a |
n 1 |
d n 1 xВЫХ t ... a |
dxВЫХ t a |
0 |
x |
ВЫХ |
t |
|
|||
|
dt n |
|
dt n 1 |
1 |
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
bm |
d m xВХ t |
bm 1 d m 1 xВХ t |
... b1 dxВХ t |
b0 xВХ t . |
(3) |
||||||
|
|
|
dt m |
|
|
dt m 1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
Производные гармонического входного сигнала:
dxВХ t = j AВХ e j t ; |
|
|
|
dt |
|
|
|
d 2 xВХ t = j j AВХ e j t ( j )2 |
AВХ e j t ; |
(4) |
|
dt 2 |
|
|
|
|
… |
|
|
d m 1 xВХ t |
= ( j )m 1 AВХ e j t ; |
|
|
dt m 1 |
|
|
|
d m xВХ t = ( j )m AВХ e j t .
dt m
3
X вых
X вх
Aвых
Aвх
T 2
Рис. 1. Соотношение входного и выходного гармонических сигналов Производные для выходного сигнала:
dxВЫХ t = j e j AВЫХ e j t ; dt
d 2 xВЫХ t = ( j )2 e j AВЫХ e j t ; |
(5) |
||
dt 2 |
|
|
|
|
… |
|
|
d n 1 xВХ t |
= ( j )n 1 |
e j AВЫХ e j t ; |
|
dt n 1 |
|
|
|
d n xВХ t = ( j )n e j AВЫХ e j t . dt n
Подстановка выражений (1), (2), (4) и (5) в (3) даст уравнение
an ( j )n e j AВЫХ e j t + an 1 ( j )n 1 e j AВЫХ e j t +…+ a1 j e j AВЫХ e j t + a0e j AВЫХ e j t = =bm ( j )m AВХ e j t +bm 1 ( j )m 1 AВХ e j t +…+b1 j AВХ e j t +b0 AВХ e j t .
Оно преобразуется к виду:
e j AВЫХ e j t [an ( j )n an 1 ( j )n 1 ... a1 j a0 ] =
= AВХ e j t [bm ( j )m bm 1 ( j )m 1 ... b1 j b0 ].
4
Откуда получаем выражение
W j |
b |
( j )m b |
|
( j )m 1 |
... b |
|
( j ) b |
||
m |
( j )n a |
m 1 |
|
1 |
|
0 |
|||
|
a |
n 1 |
( j )n 1 |
... a |
( j ) a |
0 |
|||
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
AВЫХ |
e j , |
(6) |
|
|||
|
A |
|
|
|
ВХ |
|
аналогичное передаточной функции (ПФ). Поскольку это выражение эквивалентно отношению амплитуд выходного и входного сигналов и учитывает сдвиг фаз между ними, оно носит название амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). Она может быть получена из формулы ПФ заменой комплексной переменной p на выражение jω. Очевидно, что для некоторой частоты ω АФХ
– это комплексное число, из которого можно выделить действительную и мнимую части по правилам арифметики комплексных чисел
W j R( ) jI ( ) , |
(7) |
||||||
где R(ω) – действительная, а I(ω) – мнимая частотная характеристики. С другой |
|||||||
стороны, очевидно, отношение амплитуд |
|
AВЫХ |
и сдвиг фаз φ зависят от частоты |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
|
||
|
|
|
|
ВХ |
|
||
ω. Поэтому в экспотенциальной форме АФХ можно представить как |
|
||||||
W ( j ) |
AВЫХ |
|
e j A( ) e j ( ) , |
(8) |
|||
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
ВХ |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|||
А(ω)= |
R 2 ( ) I 2 ( ) - |
(9) |
это амплитудо-частотная характеристика (АЧХ), показывающая, как изменяется отношение амплитуд выходного и входного гармонических сигналов с изменением частоты;
|
I ( ) |
|
|
|
|
φ(ω)= arctg |
|
- |
(10) |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R( ) |
|
|
фазо-частотная характеристика (ФЧХ), показывающая, как изменяется сдвиг фаз между выходным и входным гармоническими сигналами с изменением их частоты ω.
Графическим представлением АФХ является годограф – геометрическое место на комплексной плоскости конца вектора с амплитудой А(ω) и углом
5
φ(ω) при изменении частоты ω от 0 до +∞. Соотношение всех частотных характеристик показано на рис. 2.
|
R( i ) |
( i ) |
|
A( i )
I ( i ) |
i |
Годограф |
|
Рис. 2. Соотношение частотных характеристик При исследовании САУ часто используются логарифмические амплитуд-
но-частотные характеристики (ЛАЧХ) L( ) , показывающие усиление мощности сигнала при прохождении через звено (систему). При их построении по оси абсцисс откладывается lg и соответствующие им значения частоты , а по оси ординат L( ) . В общем случае ЛАЧХ измеряется в белах. Нужно учитывать, что:
1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз,
2 бела – в 100 раз,
3 бела – в 1000 раз.
Поскольку мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lg A2 2lg A , то усиление мощности, выраженное в отношении амплитуд равно 2lg A( ) . Соответственно в децибелах
L( ) 20lg A( ) .
При этом для характерных точек соотношения между A( ) и L( ) следующие:
6
|
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,316 |
0,89 |
1 |
1,12 |
3,16 |
10 |
100 |
1000 |
L, дб |
-60 |
-40 |
-20 |
-10 |
-1 |
0 |
1 |
10 |
20 |
40 |
60 |
В качестве единицы измерения частоты используют логарифмическую единицу
декаду. Считается, что частоты 1 и 2 отличаются на 1 декаду, если 2 10 .
1
Расположение графика ЛАЧХ выше оси абсцисс означает усиление выходного сигнала, поскольку при этом 20lgA( ) . Следовательно, A( ) 1,
откуда можно сделать вывод о том, что |
вых |
. Другими словами, |
|
вх |
|||
|
|
АВЫХ (ω) АВХ(ω). Соответственно расположение графика ЛАЧХ ниже оси абсцисс означает ослабление выходного сигнала АВЫХ (ω)<АВХ(ω). А пропускание сигнала через звено (систему) без изменения амплитуды происходит на частоте среза ωс, при которой L(ωc)=0 и, следовательно, АВЫХ (ω)=АВХ(ω).
Точка =0 лежит на оси частот слева в бесконечности, поскольку lg 0= - . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от оси ординат на оси частот размещалась та часть ЛАЧХ, особенности которой требуется исследовать.
Применение ЛАЧХ дает следующие преимущества.
Во-первых, для цепочки последовательно соединенных звеньев ПФ представляет собой произведение ПФ входящих в цепочку звеньев (подробно будет
|
|
n |
|
|
рассмотрено ниже) W ( p) Wi ( p) . Отсюда АФХ |
|
|||
|
|
i 1 |
|
|
n |
n |
n |
n |
n |
W ( j ) Wi ( j ) = Ai ( )e j ( ) = Ai ( ) e j ( ) = Ai ( ) · e |
||||
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
n
j ( ) i 1
Следовательно, АЧХ в обычном масштабе частот представляет собой произведение АЧХ всех составляющих
n |
|
|
A( ) Ai ( ) |
, |
(12) |
i 1 |
|
|
а ФЧХ последовательного соединения – сумму ФЧХ всех составляющих |
|
|
n |
|
|
( ) i ( ) . |
|
(13) |
i 1
7
При лог рифмир вании в |
ражение (12) превращается в сумм у |
|
||
|
n |
n |
n |
|
20 lg |
A( ) 20lg Ai ( ) 20 lg Ai ( ) Li ( ) . |
(14) |
||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
Следовательно, ЛАЧХ соединения можно получить как геометрическую сумму ЛАЧХ отдельных звеньев.
Вовторых, при применении логарифмического масштаба кривизна харак-
теристик |
изменя тся, и в больши стве случаев возникает возможно |
ть упро- |
щенно |
зображать частотные хар актеристики ломаными линиями. |
Это так |
называе мые асимптотические характеристики.
Поскольку фазовый сдвиг последовательной цепочки п редставляет собой сумму фазовых сдвигов на отдельн ых ее звеньях (13 ), испол ьзование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имее смысла. Поэтому логарифмическая фазо-частотная характеристика (Л ФЧХ) с роится в полулогарифмич ских координатах в виде зависимости φ от lg , чтобы ЛАЧХ и ЛФЧХ были св заны од им масштабом по оси абсцисс.
1.2. Входной сигнал
Поскольку все ЧХ – это завис мости о частоты ω, вход ным сигналом при их моде ировании является сигнал, линейно нарастающий от 0 до +∞. В VisSim он моделируется блоком ramp [1, приложение 1.1, п.3], который может быть установлен на ра очем поле двумя способами:
1)л бо нажа ием на кнопку на панели инструментов Источники сиг-
н алов Pro ducer Blo cks;
2)либо выбором меню Блоки Blocks категория Источники сигналов
Signal Pro ducer блок ramp.
Впервом приближении можно оставить устано ленные по умолчанию па-
раметры блока ramp (рис. 3). Методика изм нения параметров блоков изложена в прило ении 3 [1].
8
Рис. 3. Диалоговое окно блока Ramp
1.3. Пропорциональное звено (П-звено)
ПФ данного звена [1, п. 3.1.2] имеет вид W ( p) k . Отсюда АФХ W(jω)=k+j·0. Следовательно, действительная ЧХ R(ω)=k , а мнимая ЧХ I(ω)=0. Очевидно, что A(ω)=k - независимо от частоты соотношение амплитуд будет неизменным, равным k. Сдвига фаз нет – φ(ω)=0. Иными словами, при прохождении через П-звено сигнал остается неизменным по форме, но амплитуда его изменяется в соответствии со значением коэффициента усиления k. Годограф данного звена представляет собой точку с координатами (k; 0). Моделирование П-звена можно осуществить как частный случай апериодического звена с постоянной времени (см. ниже). Результаты представлены на рис. 4.
I ( )
k
R( )
а) |
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
||
Рис. 4. Частотные характеристики П-звена: а - АЧХ и ФЧХ; б - ЛАЧХ; в - годограф |
||||||||||
|
1.4. Апериодическое звено (А-звено) |
|
|
|
|
|
||||
Для данного звена уравнение ПФ имеет вид [1, п. 3.1.3] |
W ( p) |
k |
|
, отку- |
||||||
Tp 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
да заменой p на jω получаем уравнение АФХ: W ( j ) |
|
|
k |
|
. Умножая на ве- |
|||||
1 |
j T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
9
личину, комплексно сопряженную со знаменателем, выделяем действительную и мнимую части АФХ:
W ( j ) |
|
|
k |
|
k (1 j T ) |
= |
|
|
k |
|
j |
k T |
. |
||||
|
1 |
j T |
|
1 2T 2 |
|
1 |
2T 2 |
|
|
1 2T 2 |
|
||||||
Таким образом, действительная ЧХ А-звена описывается уравнением |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R(ω)= |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(15) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 2T 2 |
|
|
|
|||||||||
а мнимая ЧХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(ω)= |
|
k T |
|
. |
|
(16) |
||||||
|
|
|
|
|
1 2T 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, годограф данного звена будет располагаться в четвертом квадранте комплексной плоскости. Докажем математически, что полный годограф (получаемый при изменении ω от -∞ до +∞) представляет собой окружность. Для этого осуществим ряд искусственных математических построений. Сначала сложим действительную и мнимую частотные характеристики:
R( ) I ( ) k(1 2 T2) . 1 T
Затем возведем в квадрат левую и правую части полученного равенства:
[R( ) I ( )]2 k 2 (1 T )2 |
= |
k 2 (1 2 T 2T 2 ) |
= |
k 2 (1 2T 2 ) |
|
|
2 Tk 2 |
. |
|||||||||||||||||||
(1 2T 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
(1 2T 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
(1 2T 2 )2 |
|
(1 |
2T 2 )2 |
|
|||||||||
Окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 ( ) 2R( )I ( ) I 2 ( ) = |
|
|
k 2 |
|
|
2 Tk 2 |
|
|
= kR( ) 2R( )I ( ) . |
|
|||||||||||||||||
1 |
2T 2 |
(1 |
2T 2 )2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Взаимное уничтожение 2R( )I ( ) |
в правой и левой частях полученного выра- |
||||||||||||||||||||||||||
жения позволяет записать его в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R2 ( ) I 2 ( ) = kR( ) или R2 ( ) I 2 ( ) kR( ) 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 |
|
Добавим к правой и левой частям последнего равенства величину |
|
: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
( ) I |
|
( ) kR( ) |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем левую часть полученного выражения
10