Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110

Из этого рисунка также следует, что восстанавливаемый сигнал совпадает с исходным аналоговым сигналом, только если фильтр обладает идеальной прямоугольной частотной характеристикой. В противном случае (см. пунктир) восстанавливаемый сигнал имеет существенные отличия от исходного.

Рассмотрим теперь случай, когда интервал дискретизации t1 аналогового сигнала s(t ) в 1.5 раза больше максимального значения интервала дискретизации, определяемого теоремой Котельникова, т.е.

Dt1:1.5*Dt$ Wdis1:2*%pi/Dt1$

Найдем вначале спектр дискретного сигнала при выбранном интервале дискретизации. Для этого набираем:

SFdis1(w):=(1/Dt1)*sum(SF(w-kk*Wdis1),kk,-2,2)$ SFDis10:SFdis1(0)$ SFDis1(w):=SFdis1(w)/SFDis10$ SFD1:map(SFDis1,wN3),numer$

В результате нормированные на свои максимумы амплитудночастотные спектры (АЧС) дискретного сигнала и исходного аналогового сигнала s(t ) примут вид

wxplot2d([[discrete,wN3,SF3],[discrete,wN3,SFD1], KF1(w)],[w,-1500,1500]);

Здесь сплошной линией изображен нормированный АЧС исходного аналогового сигнала; пунктиром − нормированный АЧС дискретного сигнала при t1 =1.5 t и, наконец, линией с точками – АЧХ идеального ФНЧ. Убеждаемся в некотором отличии спектра SFdis1(ω) в полосе про-

31

пускания ФНЧ −Ωm ≤ ω≤ Ωm от спектра SF (ω) исходного аналогового сигнала s(t ). Объяснить причину несовпадения спектров.

Определим теперь форму сигнала на выходе идеального ФНЧ, если на

Для этого вначале вычислим спектральную плотность такого сигнала, а затем вычислим преобразование Фурье, используя формулу дискретного преобразования Фурье. В результате имеем

SF_3(w):=SFDis1(w)*KF1(w)$

SF_3d:map(SF_3,wN3),numer$ asw3:makelist(realpart(sum(SF_3d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ wxplot2d([[discrete,tK,ass], [discrete,tK,asw3]]);

На этом рисунке сплошной линией изображен нормированный на максимум восстановленный сигнал, а штриховой линией – исходный аналоговый сигнал. Очевидно, имеются существенные отличия в форме этих сигналов, что подтверждает вышесказанное, а именно то, что невозможно точно восстановить аналоговый сигнал s(t ) по дискретному сигналу sdis (t ),

если интервал дискретизации t сигнала s(t ) превосходит максимально

возможное значение, устанавливаемое теоремой Котельникова

( t > π / ωm ).

Однако из сравнения спектров исходного аналогового сигнала и дискретного сигнала с шагом дискретизации t1 =1.5 t следует, что эти спектры практически совпадают на интервале −Ωm / 2 ≤ ω≤ Ωm / 2 . Сле-

довательно, можно предложить следующий подход к восстановлению ана-

32

логового сигнала. Подадим такой дискретный сигнал на идеальный ФНЧ с частотой среза Ωm / 2 . В результате получим, конечно, не абсолютно точно

восстановленный сигнал. Однако его отличие от исходного аналогового сигнала будет уже не столь значительным, чем в предыдущем случае. Действительно, имеем

KF4(w):=(h(w+Wm/2)-h(w-Wm/2))$ SF_4(w):=SFDis1(w)*KF4(w)$ SF_4d:map(SF_4,wN3),numer$ asw4:makelist(realpart(sum(SF_4d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ wxplot2d([[discrete,tK,ass],[discrete,tK,asw4]]);

Сравнивая сплошные линии на двух последних рисунках, убеждаемся в том, что рассматриваемый подход к восстановлению сигнала более целесообразен.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Принципы цифровой фильтрации

Одной из основных задач цифровой обработки сигналов является их фильтрация, при которой осуществляется селекция требуемых полезных составляющих сигнала и подавление других мешающих его компонентов и шумов. Подобные операции над сигналами выполняют цифровые фильтры (ЦФ). Цифровым фильтром называют цифровое вычислительное устройст-

33

В качестве аналоговых фильтров прототипов будут рассмотрены фильтры нижних частот (ФНЧ) различного порядка. А именно, будут рассматриваться два наиболее известных типа передаточных функций таких фильтров – Баттерворта и Чебышева. В дальнейшем предполагается, что все характеристики таких фильтров являются нормированными, т.е. их коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 dB), а частота среза – 1 рад/с. Фильтры Баттерворта (с максимально плоской характеристикой) отличаются наибольшей равномерностью АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. У АЧХ полностью отсутствуют пульсации (максимумы и минимумы). Однако в результате ухудшается линейность фазовой характеристики. Фильтр Чебышева (фильтр равных пульсаций) характеризуется крутым спадом АЧХ и немонотонностью коэффициента передачи в полосе пропускания. Такие фильтры также обладают нелинейной фазовой характеристикой. Ниже в табл. 1–3 приведены передаточные функции фильтров Баттерворта и Чебышева до пятого порядка включительно. Передаточные функции этих фильтров представлены в виде K( p) = N ( p) / D( p) , где полиномы N ( p) и D( p) определены в соответствующих таблицах.

Таблица 3

Фильтры Чебышева – 2, пульсации в полосе пропускания 0.5 dB

35

Целью настоящей лабораторной работы является изучение методов синтеза линейных цифровых фильтров на примере ФНЧ различных порядков.

Работа выполняется на ЭВМ с использованием программной среды

Maxima.

Задания на выполнение лабораторной работы № 3

Задание 1

Осуществить сравнение АЧХ фильтра Баттерворта первого порядка (табл. 1) и фильтра, выбираемого из табл. 1–3 в соответствии с номером вашего варианта:

Таблица 4

t = 2π/ ωd . Однако учтем, что при использовании табл. 1–3 текущая частота ω нормирована на частоту среза ωc . Следовательно, при расчетах полагаем, что частота среза равна 1 [рад/с], частота дискретизации равна 10 [рад/с], а шаг дискретизации T = t ωc .

Указания к выполнению задания 1. Передаточные функции (операторные коэффициенты передачи) анализируемых фильтров взять из табл. 1–3. Частотные коэффициенты передачи получаются из этих операторных коэф-

фициентов передачи, если в последних положить p = jω, где j = −1 . Вывести на экран графики модулей этих частотных коэффициентов передачи (АЧХ). Сделать выводы относительно поведения этих кривых с ростом порядка фильтра.

36

Задание 2

В соответствии с методом инвариантных импульсных характеристик синтезировать трансверсальные цифровые фильтры, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл. 4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров и исходных аналоговых фильтров.

Указания к выполнению задания 2. Вначале необходимо найти им-

пульсные характеристики аналоговых фильтров прототипов. Для этого следует вычислить обратное преобразование Лапласа от операторных коэффициентов передачи ваших фильтров. Вычисление обратного преобразования Лапласа целесообразно выполнить с использованием формулы обращения. Действительно, для всех рассматриваемых фильтров операторный коэффициент передачи представляется в виде отношения двух многочленов по степеням комплексной частоты K( p) = N ( p) / D( p) , причем степень числителя не превосходит степени знаменателя и все корни знаменателя – простые. Тогда в соответствии с формулой обращения обратное преобразование Ла-

где pi − корни знаменателя, а штрих в знаменателе означает дифференци-

рование по p. Корни полинома в знаменателе найти самостоятельно. Зарисовать вид полученных импульсных характеристик рассматриваемых аналоговых фильтров прототипов. Порядок трансверсального фильтра вначале выбрать M = 3. Далее найти системные функции и частотные коэффициенты передачи соответствующих трансверсальных фильтров, используя формулы

m=0

При построении АЧХ трансверсальных цифровых фильтров учесть, что эти функции являются периодическими с периодом 2π/ T . Поэтому на экран компьютера выводить только один период этой функции. Для сравнения строить АЧХ синтезированных цифровых фильтров и аналоговых фильтров прототипов на одном рисунке. Далее, изменяя последовательно порядок фильтра, т.е. увеличивая параметр М, проанализировать те изменения, которые происходят в форме АЧХ синтезируемых ЦФ.

Задание 3

В соответствии с методом инвариантных импульсных характеристик синтезировать рекурсивные цифровые фильтры первого порядка, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два

37

ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл. 4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров, исходных аналоговых фильтров и трансверсальных фильтров.

Указания к выполнению задания 3. Учтем, что системная функция рекурсивного фильтра первого порядка в соответствии с (6) имеет вид

зом. Учтем, что системная функция рекурсивного фильтра удовлетворяет

Подставляя в последнее выражение системную функцию (8) и вычисляя интеграл, получаем (получить самостоятельно)

h(k T ) = a0δk 0 +(a1 +a0b1)b1k −1.

Здесь δkn − символ Кронекера. Полагая в последнем выражении k = 0,

1 и 2 соответственно, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными a0 ,a1 и b1 . Решая эту систему (решить самостоятельно), получаем

Таким образом, системная функция ЦФ найдена. Частотный коэффициент передачи рекурсивного фильтра находим из системной функции аналогично (2), (7). Выводим на экран компьютера на один график АЧХ двух синтезированных рекурсивных фильтров, двух аналоговых фильтров прототипов и двух синтезированных ранее трансверсальных фильтров. Сделать выводы о характере поведения указанных характеристик.

Задание 4

В соответствии с методом инвариантных частотных характеристик

синтезировать цифровые фильтры, используя в качестве аналоговых фильтров прототипов рассмотренные ранее два ФНЧ (один – фильтр Баттерворта первого порядка, второй – выбирается из табл.4 в соответствии с номером вашего варианта). Зарисовать и сравнить АЧХ синтезированных фильтров, исходных аналоговых фильтров и трансверсальных фильтров.

Указания к выполнению задания 4. Учтем, что в соответствии с ме-

тодом инвариантных частотных характеристик в функции K(p) аналоговой

цепи необходимо выполнить замену переменной по формуле p = 2 z −1 .

T z +1

38

тотный коэффициент передачи такого ЦФ получим из системной функции, как и ранее, из формул (2), (7). Выводим на экран компьютера на один график АЧХ двух синтезированных фильтров, двух аналоговых фильтров прототипов, двух синтезированных ранее трансверсальных фильтров и двух рекурсивных фильтров. Сделать выводы о характере поведения указанных характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 2000. – 462 с.

2.Нефедов В.И. Основы радиоэлектроники и связи / В.И. Нефедов. – М. : Высшая школа, 2002. – 510 с.

3.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноровский, М.П. Демин. – М. : Радио и связь, 1994. – 588 с.

4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач / С.И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 1987. – 208 с.

5. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. – М. : Техносфера, 2006. – 856 с.

6.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг. – М. : Сов. ра-

дио, 1980. – 380 с.

7.Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. – М. : Мир, 1978. – 848 с.

39

40