![](/user_photo/_userpic.png)
Рабочая тетрадь для записи лекций по начертательной геометрии (160
..pdf![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs11x1.jpg)
3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ Классификация плоскостей
Плоскости
Общего положения |
Частного положения |
Уровня Проецирующие
Плоскость общего положения
Задание плоскости на чертеже
x |
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
а |
б |
|
в |
г |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
Задание плоскости следами
|
π2 |
Z α |
z |
|
z |
|
|
|
|
||
|
f0α |
|
π |
|
|
|
α |
|
|
||
|
3 |
x |
y |
||
|
Xα |
|
|||
|
|
|
|||
x |
O |
p0α |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
π1 h0α |
|
Yα |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
Рис. 3.3 |
11
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs12x1.jpg)
|
a |
|
|
Точка и прямая в плоскости |
|
|||
|
|
|
|
|
Признаки принадлежности: |
|||
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
b |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
aРис. 3.4 |
z |
|
|
|
|
|
|
Fa Fa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 α |
|
α |
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ha |
a |
|
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
Fa |
|
|
|
|
|
||
|
Ha |
Ha |
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
|
h 0 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 3.5 |
|
y |
|
Рис. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Прямые линии особого положения в плоскости |
||||||
|
|
|
|
z |
|
Прямые уровня |
|
|
π2 |
|
|
|
|
Горизонталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f0 α |
α |
|
f0 α |
a |
b |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fh |
Fh |
h |
|
|
|
|
|
|
|
Fa |
|
|
h |
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
h |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
|
h 0 α |
h 0 α |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 3.7 |
|
y |
Рис. 3.8 |
|
Рис. 3.9 |
|
π2 |
|
|
|
z |
|
Фронталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
f0 α |
α |
|
f0 α |
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
Hf |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
|
|
|
|
b |
|
Hf |
Hf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 0 α |
a |
|
||
|
π1 |
|
h 0 |
α |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 3.10 |
y |
Рис. 3.11 |
|
Рис. 3.12 |
||
|
|
|
|
|||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs13x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
Линии наибольшего наклона |
|
||
|
π2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Fa |
α |
|
f0 α |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f0 α |
|
|
|
|
a |
|||
|
|
|
|
h |
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
α0 |
|
h |
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
h 0 |
α |
b |
|
|
|
H a |
|
|
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π1 |
|
|
|
h 0 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Рис. 3.13 |
|
|
|
Рис. 3.14 |
|
Рис. 3.15 |
||
|
|
|
|
|
|
Плоскости частного положения |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Проецирующие плоскости |
|
||
|
|
|
|
Горизонтально-проецирующая плоскость |
||||||
|
π2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
f0 α |
|
|
||
|
f0 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
x |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π1 |
h 0 α a |
|
|
h 0 α |
|
||||
|
|
Рис. 3.16 |
|
|
|
Рис. 3.17 |
|
|
||
|
|
|
|
Фронтально-проецирующая плоскость |
||||||
|
π2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
f0 α |
|
|
|
|
|
f0 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
a |
α |
|
|
|
x |
A |
|
|
Φ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 0 α |
|
A |
|
π1 y |
h 0 α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 3.18 |
|
|
|
Рис. 3.19 |
|
|
13
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs14x1.jpg)
Профильно-проецирующая плоскость
π2 |
|
|
z |
|
|
f0 α |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
p 0 α |
|
|
|
|
|
||
|
α |
|
|
π |
|
x |
Φ |
|
Φ 3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
π1 |
h 0 |
α |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.20 |
|
|
Плоскости уровня |
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
z |
Горизонтальная плоскость |
|
|
|
|
|
||
Φ |
f0 α |
p 0 α |
|
||
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
Φ |
π |
x |
|
x |
α |
|
3 |
||
|
|
|
|||
|
π1 |
Φ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Рис. 3.22 |
|
|
||
π |
z |
Фронтальная плоскость |
|||
2 |
|
|
p 0 α |
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
α |
|
|
||
x |
Φ |
Φ |
3 |
x |
|
|
|
|
|
||
|
h 0 α |
Φ |
|
|
|
π1 y
f0 α |
Рис. 3.24 |
|
Профильная плоскость |
|
z |
|
|||
π2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Φ |
|
π |
|
|
x |
Φ α |
Φ |
3 |
x |
|
|
|
||
|
Φ |
|
|
|
|
h 0 α |
|
|
|
|
π1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.26 |
|
|
|
z
y
0
y
Рис. 3.21
z
y
0
y
Рис. 3.23
z
y
0
y
Рис. 3.25
z
y
0
y
Рис. 3.27
14
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs15x1.jpg)
4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей
Признаки параллельности прямой и плоскости:
Признак параллельности плоскостей:
|
a |
A |
|
|
|
|
|
|
b |
α |
x |
c |
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
d β
Рис. 4.1 |
Рис. 4.2 |
|
Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
|
π2 |
|
|
z |
|
n |
f0 |
α |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
|
|
A |
h |
|
|
|
||
|
|
|
|
f |
|
|
f0 α |
A |
h |
|
A |
|
|
||
x |
|
x |
|
|
|
||
A |
f |
|
A |
|
|
|
π1 |
|
h |
h 0 α |
h 0 |
α |
|
|
|
|
||
Рис. 4.3 |
|
y |
Рис. 4.5 |
|
Рис. 4.4 |
15
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs16x1.jpg)
Перпендикулярность плоскостей
Признак перпендикулярности плоскостей:
|
|
|
a |
c |
d |
n |
β |
|
A |
|
K |
|
|
|
|
||
A |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
α |
a |
|
K |
|
|
|
|
||
|
|
|
A |
c |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
Рис. 4.7 |
|
Пересечение плоскостей
Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
|
|
B |
|
f0 β |
B |
|
β |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
x |
B |
|
2 |
C |
|
||
|
|
|
|||
A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
2 h0 β |
C |
A |
|
|
|
|
|
|
h0 β C |
|
|
Рис. 4.8 |
|
|
Рис. 4.9 |
16
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs17x1.jpg)
Пересечение двух плоскостей общего положения
Алгоритм решения:
|
β |
|
|
|
α |
|
1 |
K1 |
|
|
|
|
m1 |
3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
γ1 |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
5 |
b |
|
c |
d |
|
|
m2 |
K2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
γ2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.10 |
|
|
|
|
|
а |
b |
|
d |
c |
f0 α |
f |
β |
0 |
x |
x |
|
|
|
b |
|
|
|
|
а |
h0 |
α |
h0 |
β |
|
|
|
||
d |
c |
|
|
|
Рис. 4.11 |
|
|
Рис. 4.12 |
|
Пересечение прямой и плоскости
Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью
α |
a |
f0 α |
|
||
|
K |
a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
|
K |
a |
|
h 0 α |
π1 |
|
|
h 0 α |
|
Рис. 4.13 |
Рис. 4.14 |
17
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs18x1.jpg)
Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
|
|
|
B |
a |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A |
|
C |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
A |
|
2 |
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
A |
1 |
К a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
2 |
C |
A |
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 4.15 |
|
Рис. 4.16 |
C |
|
|
|
|
|
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Алгоритм решения:
|
β |
|
B |
|
|
|
α |
|
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
K |
|
A |
|
|
2 |
C |
|
|
a |
||
A |
1 |
K |
||
|
|
|
|
|
|
π1 |
|
2 |
C |
|
|
h 0 β |
||
|
|
Рис. 4.17 |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
x |
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.18 |
|
Задача. Построить проекции точки пересечения прямой a с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми b и c. Определить видимость прямой относительно плоскости.
18
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs19x1.jpg)
|
5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА |
|
||||||
|
B |
A |
B |
C |
а |
f0α |
|
f0α |
|
|
|
|
|
а |
|||
x A |
C |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
||
|
|
|
|
а |
||||
A |
C |
A |
|
C |
|
|
|
|
|
а |
h0α |
|
|
||||
|
|
|
|
h0α |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
Способ замены плоскостей проекций
π2 |
A |
π3 |
|
||
|
|
|
zA |
A |
A |
|
x |
x Ax zA zA
zA A
A Ax1 x1 π1
Рис. 5.3 |
Рис. 5.4 |
19
![](/html/65386/468/html_nzOEzPGgC4.5UGT/htmlconvd-T9nMAs20x1.jpg)
Основные задачи, решаемые заменой одной плоскости проекций
1. Преобразовать чертеж прямой общего положения в чертеж прямой уровня.
A
B
x
B
A
Рис. 5.5
3. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости в чертеж плоскости уровня.
2. Преобразовать чертеж прямой уровня в чертеж проецирующей прямой.
A B
x
A
B
Рис. 5.6
4. Преобразовать чертеж плоскости общего положения в чертеж проецирующей плоскости.
B |
C |
A |
x |
C |
B |
A |
Рис. 5.7 |
B |
C |
A |
x |
B |
A |
C |
Рис. 5.8 |
20