Методические указания к лабораторным работам 2,3,4,5 по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем» (90

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра физики и биомедицинской техники

Математическое моделирование биологических систем

Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5

по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»

Составители: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева

Липецк Липецкий государственный технический университет

2012

УДК 57.02 (07)

К703

Рецензент – Л.Н. Грызова

К703 Корчагина, В.А. Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5 «Математическое моделирование биологических систем» / сост.: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011. - 28 с.

Методические указания предназначены для студентов 5 курса специальности «Инженерное дело в медико-биологической практике».

Ил.12. Библиогр.: 4 назв.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный

технический университет», 2011

Математическое моделирование биологических систем

Краткая теория

Математическое моделирование — это методология исследования процессов и явлений на их математических моделях. Совокупность понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений, которые отражают наиболее существенные свойства изучаемой системы, называют математической моделью этой системы. При этом модель является средством для изучения моделируемого объекта и управления им.

При построении математической модели можно выделить шесть основных этапов. На первом этапе производится описание проблемной области, формулируются цели и задачи моделирования. На втором этапе составляется перечень требований к модели, определяются входные переменные и допустимые погрешности моделирования. На третьем этапе разрабатывается концепция модели, дается ее вербальное описание, строится логическая схема.

Следующий этап является наиболее трудоемким и заключается в разработке математической модели, компьютерной программы для ее реализации и обработке результатов эксперимента. На пятом этапе производится проверка адекватности математической модели. Окончательная проверка пригодности модели для решения поставленных задач осуществляется на заключительном этапе.

Среди математических моделей выделяется группа имитационных моделей.

Процесс построения имитационной модели можно представить следующим образом. Мы записываем в любом доступном для компьютера формализованном виде (в виде уравнений, графиков, логических соотношений, вероятностных законов) все, что знаем о системе, а потом проигрываем на компьютере варианты того, что может дать совокупность этих знаний при тех или иных значениях внешних и внутренних параметров системы.

Основные этапы построения имитационной модели следующие.

Формулируются основные вопросы о поведении сложной системы,

ответы на которые мы хотели бы получить. В соответствии с задачами моделирования задается вектор состояния системы. Вводится системное время, моделирующее ход времени в реальной системе. Временной шаг модели также определяется целями моделирования.

Производится декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные друг с другом, но обладающие относительной независимостью. Для каждого блока определяют, какие компоненты вектора состояния должны преобразовываться в процессе его функционирования.

Формулируют законы и гипотезы, определяющие поведение отдельных блоков и связь этих блоков друг с другом. При необходимости вводится “внутреннее системное время” данного блока модели, позволяющее моделировать более быстрые или более медленные процессы. Если в блоке используются случайные параметры, задаются правила отыскания на каждом шаге некоторых их реализаций. Разрабатываются программы, соответствующие отдельным блокам.

Каждый блок верифицируется по фактическим данным, и при этом его информационные связи с другими блоками “замораживаются”. Обычно последовательность действий при верификации блоков такова: часть имеющейся информации используется для оценки параметров модели, а затем по оставшейся части информации сравнением расчетных данных с фактическими проверяется адекватность модели.

Производится объединение разработанных блоков имитационной модели на базе стандартного или специально созданного математического обеспечения. Апробируются и отрабатываются различные схемы взаимодействия блоков. На этом этапе всю “большую модель” удобно рассматривать как комплекс автоматов с памятью или без нее, детерминированных или стохастических.

Работа с моделью тогда представляет собой изучение коллективного поведения автоматов в случайной или детерминированной среде.

Производятся верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности. Здесь решающими оказываются знания экспертов – специалистов, хорошо знающих реальную систему.

Планируются эксперименты с моделью. При анализе их результатов используются статистическая обработка информации, графические формы выдачи данных и пр. Результаты экспериментов пополняют информационный фонд (банк данных) и используются при дальнейшей работе с моделью.

На каждом из этапов могут возникнуть трудности, для преодоления которых необходимо перестраивать модель, расширять список фазовых переменных, уточнять вид их взаимодействий. По существу, создание имитационной модели включает путь последовательных приближений, в процессе которых получается новая информация об объекте моделирования, усовершенствуется система наблюдений, проверяются гипотезы о механизмах тех или иных процессов в рамках общей имитационной системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим подходом заключается в возможности решать задачи исключительной сложности, а именно:

—при наличии в одной системе элементов непрерывного и дискретного действия;

—в случае нелинейных соотношений любого характера, описывающих связи между элементами системы;

—в условиях воздействия многочисленных случайных факторов сложной природы, которые приводят к принципиальным и часто непреодолимым трудностям при аналитических исследованиях.

Моделирование биологических систем при выполнении лабораторных работ будем осуществлять с помощью математического пакета программ

MathCAD.

Математический пакет программ MathCAD предоставляет набор встроенных функций по численному решению дифференциальных уравнений.

Две из таких функций: rkfixed и Rkadapt, производящие вычисления согласно методу Рунге-Кутта k-го порядка.

Вфункции rkfixed (Y,x1,x2,n,F) и Rkadapt (Y,x1,x2,n,F) входят следующие параметры:

Y – вектор начальных условий с размерностью, соответствующей порядку k дифференциального уравнения или числу уравнений первого порядка;

x1,x2,n – граничные значения интервала и число фиксированных точек, в которых ищется приближенное решение;

F– вектор, в котором записаны правые части дифференциальных уравнений.

Врезультате решения получается матрица, содержащая (k+1) столбцов и (n+1) строчек. В первом столбце содержатся фиксированные значения аргумента t0, t1,t2,…,tn, во втором – соответствующие им значения искомой функции у(t0), у(t1), у(t2),… у(tn), в третьем - значения первых производных в тех же узлах и т.д.

Различия между функциями rkfixed и Rkadapt состоит в следующем. Первая из них ищет приближенное решение с постоянным шагом, втораяосуществляет адаптивный контроль процесса решения: с более мелким шагом при быстром изменении функции и более крупным – при медленном.

Лабораторная работа №2 «Модель Вольтера».

Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование

биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее решение для модели Вольтера.

Пусть в некоторой среде обитания с неограниченными запасами пищи проживает определенный вид животных, который мирно уживается с другими видами и поэтому живет как бы изолированно. Обозначим общее число особей вида в данный момент через N. Примем, что прирост N особей за малый промежуток времени t пропорционален числу особей N и потому определяется зависимостью:

где N0 – число особей при t t0 .

Таким образом, согласно (1.3) в изолированной системе число особей возрастает со временем по экспоненциальному закону. Ситуация усложняется, если часть прироста особей поедается некими «хищниками». С учетом данного фактора, Вольтер при составлении уравнений исходил из следующих, вполне реальных допущений:

-пища «жертвы» не ограничена средой обитания;

-«хищник» питается только жертвой;

-прирост «жертв» пропорционален их численности;

-убыль «жертв» пропорциональна произведению числа «жертв» и «хищников»;

-прирост «хищников» пропорционален произведению числа «хищников» и «жертв»;

-убыль «хищников» пропорциональна их числу.

Модель такого биоценоза, т.е. некоторого сообщества животных, с учетом введенных допущений определяется следующей системой из двух дифференциальных нелинейных уравнений:

где N1 - число особей «жертв»; N2 - число особей «хищников»; 1 -

коэффициент естественного прироста «жертв»; 2 - коэффициент естественной убыли числа «хищников»; 1 - коэффициент уничтожения «хищниками» своих

«жертв»; 2 - коэффициент защиты «жертв» от «хищников».

Приведем уравнения (1.4) к нормированному виду:

нелинейные дифференциальные уравнения (1.5), составив программу,

приведенную на рис.1.

ORIGIN 1

Рис.1. Программа расчета колебаний в модели Вольтера

Результат решения по программе при В=4 в виде графиков приведен на рис.2.

Рис.2. Результаты расчета по программе рис.1

Дадим пояснение к составленной программе (рис.1) решения системы уравнений (1.1).

ORIGIN=1 означает, что нумерация координат вектора начинается с 1. N=3001 – число рассчитываемых точек или узлов.

2

y – вектор начальных значений функций y1 и ее производной y2.1

F(t, у) – вектор правых частей уравнений.