Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

683.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Рис. 8. Область D, на которой задано распределение ( , )

Решение.

1. Константа C определяется из условия нормировки

	1	2 x2	1	2C x3	1	2C .

1 f (x, y) dx dy dx			C dy C 2 x2 dx
	0	0	0	3	0	3

Отсюда получим С 3/2. Область D уже показана на рис. 8. 2. Плотность f (x) случайной величины определяется ин-

тегрированием совместной плотности f (x, y) по всем возможным при данном х значениям случайной величины (из рис. 8 непосредственно видно, что 0 2 x2 ). Имеем

f (x)	f (x, y) dy	2 x2	3 dy 3x2	,	0 x 1.
			2
		0

Совершенно аналогично

	1	3		3
		2		2
f ( y)			dx		1	y / 2 , 0 y 2.

y / 2

3. Математические ожидания и дисперсии каждой величины, определяются согласно формулам для вычисления моментов скалярных случайных величин (см. пример 8). Имеем:

M													3	2							y
					y f ( y) dy									y		1							dy
					y f ( y) dy								2	y		1					2		dy
													2	0							2
														0
	3 y2					2	y	5/ 2				2			3					8					3
	3 y2					2		5/ 2				2			3					8					3
																	2										;
	2		2		5 2										2		2			5					5		;
	2		2		5 2							0			2					5					5
M											1								3x			4		1				3
											1											4		1
			x f ( x) dx x 3x2 dx																										;
											0									4				0				4
											0				3	2								0	y					9
			y dy M									2			3	2									y					9
D y2 f																y2		1								dy
D y2 f															2	y2		1							2	dy				25
															2	0									2					25
																0
		3 y3				2			y	7 / 2				2		9					37				;
		3 y3				2				7 / 2				2		9					37


		2		3		7	2							0		25				175
														0

			1			9		3x	5	1		9			3
			1						5	1
D		x2 f x dx M 2 x2 3x2dx														.
D		x2 f x dx M 2 x2 3x2dx						5			16				80	.
			0		16			5		0	16				80
			0	r						0
	4.	Коэффициент	корреляции	r	вычисляется					по		формуле
r	M ( ) M ( ) M ( ) . В этом			выражении			неизвестен							только
		D( ) D( )
		D( ) D( )
смешанный момент второго порядка M ( ) :
	M ( ) xy f (x; y) dxdy 3			1	2 x2		3	1					1.
	M ( ) xy f (x; y) dxdy 3			xdx ydy			3	2x5dx					1.
		D	2	0	0		2	0					2
		D		0	0			0

Тогда

1 3 3

r 2 4 5 0,56. 3 37

80 175

5. Условные плотности распределения

f x

y и

f y

x оп-

ределяются по формулам

f x

f (x, y)

3 2

( y)

y / 2

1 y / 2

3 2 1

Необходимо обратить внимание на то, что возможные значения
аргумента х здесь зависят от у и меняются в пределах
		y / 2; 1 .

Переменная у здесь играет роль параметра и может принимать любое значение в промежутке [0; 2]. Рассуждая аналогично, получим

для f y x выражение

f (x, y)

3 2

; 0

y 2x2 ; 0 x

3x2

2x2

f (x)

6. Общие формулы для условных математических ожиданий

y ,

имеют

вид

x f (x

( y) dx,

y f ( y x) dy. Учитывая замечание предыдущего пункта о воз-

можных значениях случайной величины при фиксированном значении другой случайной величины, получим

M	y		1				1								1				x	2		1
			1																	2		1
				x				dx


					1		y 2					1				y	2		2
					1		y 2					1				y	2		2
			y / 2	1			y 2 2				1 y 2											y 2
			y / 2																			y 2
																		.
																		.
							y 2								2
				2 1											2
				2 1
			2x2											2		2 x2					4
			2x2											2		2 x2					4
M		x		y	1		dy		1				y						4x		2 x2 .
					1				1				y						4x
						2				2
					2x	2		2x		2	2								4x
			0													0
			0													0

Графики условных математических ожиданий показаны на рис. 9.

Рис. 9. Графики условных математических ожиданий

Пример 12. а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины z 3 8 4, где , — система слу-

чайных величин из примера 11; б) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (0; 0), (0; ), ( ; 0), ( ; ), где ( , ) — систе-

ма случайных величин из примера 11.

Решение.

а)

M (z) M (3 8 4) 3M 8M 4 94 245 4 2920 ;

D(z) D(3 8 4) D(3 8 )

9D 64D 2 3 ( 8)cov( , )

9D 64D 2 3 ( 8)(M ( ) M M )

8027 2368175 48 201 11,49.

б)	Так как	0, 0,	площадь прямоугольника S .
Проще	всего	вычислить	среднее значение MS M ( )

cov ( , ) M M 0,5.

Рис. 10. Разбиение области интегрирования

Легко заметить, что возможные значения S лежат в интервале
0; 2 . Функция распределения FS (z) случайной величины S вы-
числяется как интеграл от совместной плотности		f (x, y) по об-
ласти Dz (x, y)	x y z D, 0 z 2 (см. рис.	10). Разбивая

область

интегрирования

на

две

части

Dz D1z Dz2 ,

D1z

(x, y)

xy z D, 0 x x0 , Dz2 (x, y)

x y z D, x0 x 1 ,

где x 3 z 2

— абсцисса точки пересечения кривых

y 2x2 ,

x y z,

получим

FS (z) P( z) f (x, y)dx dy

f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy

D1z

Dz2

3 x0

2 x2

z / x

2x2 dx

2 x

z ln x

, 0 z

Тогда плотность			fS (z) имеет вид
						1	ln	2	,	z (0; 2];
f	S	(z) F		(z)		2	ln	z	,	z (0; 2];
	S		S			2		z
					0,					z (0; 2].

2. ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 1—10 найти вероятность того, что сумма выпавших очков: 1) равна k; 2) меньше k + 1; 3) больше k – 1; 4) заключена в

промежутке ; . В вариантах 11—30 найти вероятность того, что произведение выпавших очков: 1) равно k; 2) меньше k + 1; 3) больше k – 1; 4) заключено в промежутке ; .

Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени

в течение Т минут. Время обслуживания первой заявки 1 минут,

второй — 2 минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т она обслуживается. Найти вероятность того, что: 1) обе заявки будут обслужены; 2) будет обслужена ровно одна заявка.

Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие Аi — отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы

элементов заданы: P( Ai ) 0,95,

i 1,3,5;

P( Aj ) 0,9,

j 2,4.

Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события Аi независимы в

совокупности). Требуется: 1) выразить событие А через Аi или Аi

( i 1, …, 5); 2) найтивероятностьР(А) безотказнойработысистемы. Задача 4. Из партии, содержащей п изделий, среди которых k — высшего сорта, для контроля последовательно выбирают на-

угад m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно l изделий высшего сорта при условии, что

выборка производится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На i-м станке изготовлено Ri % деталей ( i 1, 2, 3 ). Веро-

ятность выпуска бракованных деталей на i-м станке равна Pi (i 1, 2, 3). 1) определить вероятность того, что деталь, наудачу

взятая со склада, оказалась бракованной; 2) пусть наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на j-м станке.

Задача 6. В отдел технического контроля поступает партия, содержащая N изделий, среди которых имеется М бракованных. Для проверки контролер отбирает три изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью Р. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будет забракована.

Задача 7. Произведено п независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания р. Пусть случайная величина — число

попаданий в цель. Для случайной величины найти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал

( ; ); 4) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятностей f (x). Для случайной величины

найти: 1) ее функцию распределения F(x) и построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f (x); 2) вероятность попадания случайной величины в ин-

тервал ( ; ); 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Задача 9. Плотность распределения вероятностей случайной

величины имеет вид	f (x)	kx,	x [0;c],	Случайная величина
		0,	x [0;c].

связана со случайной величиной функциональной зависимостью a 2 b. Найти: 1) константу k; 2) математическое ожи-

дание и дисперсию случайной величины , используя плотность

распределения вероятностей случайной величины ; 3) функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины и построить их графики; 4) математическое ожи-

дание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность распределения вероятностей.

Задача 10. Дана система двух дискретных случайных величин

( , ),	закон распределения		которой	задан таблицей	pij
P xi , y j		i 1, 2, 3, j	1, , 4,	где x1 2, x2 3,	x3 5,
y1 1,	y2 0, y3	1, y4 2.	Найти:	1) законы распределения

случайных величин и ; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 3) коэффициент корреляции r ;

4) условные распределения P xi y2 , P y j x2 ; 5) условные математические ожидания M y2 , M x2 .

Задача 11. Система непрерывных случайных величин ( , ) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями

x a, y b, y x . Найти: 1) совместную плотность распределения f (x; y), предварительно построив область D; 2) плотности вероятности случайных величин и ; 3) математические ожида-

ния и дисперсии случайных величин и ; 4) коэффициент корре-
ляции r ; 5) условные плотности распределения	f x y	и

f y x ; 6) условные математические ожидания M y , M x ,

уравнения линий регрессии и построить их графики.

Задача 12.

а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины a b c, где ( , ) — система случайных величин

из задачи 11; б) Найти функцию распределения, плотность и математиче-

ское ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках

(0; 0), (0; ), ( ; 0), ( ; ), где ( , ) — система случайных величин из задачи 11.

3. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Номер	Задача 1			Задача 2				Задача 4					Задача 7
варианта	k	α	β	T	1	2	n		k	m	l	n	p	α	β
1	3	4	6	100	5	5	12		6	6	5	4	0,2	–1	0,5
2	4	2	5	100	5	10	12		6	6	4	4	0,3	0,5	3
3	5	3	7	100	5	15	12		6	6	3	4	0,4	1,5	2,5
4	6	2	6	100	5	20	12		6	6	2	4	0,5	1,5	3
5	7	3	5	100	5	25	12		7	6	5	4	0,6	0,5	2
6	8	3	4	100	10	10	12		7	6	4	4	0,7	1,3	2
7	9	3	8	100	10	15	12		7	6	3	4	0,8	2	3,5
8	10	4	7	100	10	20	12		7	6	2	4	0,9	1	3
9	2	9	12	100	10	25	12		7	6	1	5	0,1	0,5	4
10	11	8	12	100	10	30	12		8	6	5	5	0,2	–1	0,5
11	4	4	10	150	15	15	12		8	6	4	5	0,3	0,5	3
12	5	2	8	150	15	20	12		8	6	3	5	0,4	0,5	2,5
13	6	5	17	150	15	25	12		8	6	2	5	0,5	1,5	3
14	7	8	12	150	15	30	12		9	6	5	5	0,6	0,5	2
15	8	10	13	150	15	35	12		9	6	4	5	0,7	1,3	2
16	9	20	28	150	20	20	12		10	6	4	5	0,8	2	3,5
17	10	30	35	150	20	25	12		6	5	4	5	0,9	1	3
18	11	21	26	150	20	30	12		6	5	3	6	0,1	3	4
19	12	15	18	150	20	35	12		6	5	2	6	0,2	2	6
20	13	20	23	150	20	40	12		7	5	4	6	0,3	1,5	4
21	14	19	24	200	25	25	12		7	5	3	6	0,4	1	6
22	15	24	28	200	25	30	12		7	5	2	6	0,5	2	7
23	16	28	31	200	25	35	12		7	5	1	6	0,6	4	7
24	17	21	36	200	25	40	12		8	5	4	6	0,7	0,5	3
25	18	17	22	200	25	45	12		8	5	3	6	0,8	–1	4
26	19	15	19	200	30	30	12		8	5	2	6	0,9	–2	3
27	20	22	28	200	30	35	12		8	5	1	3	0,1	0	2
28	21	10	15	200	30	40	12		9	5	4	3	0,2	0,5	3
29	24	12	18	200	30	45	12		9	5	3	3	0,3	–1	1,5
30	25	3	8	200	30	50	12		9	5	2	3	0,5	2	4

Схемы к задаче 3

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3


Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6


Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9


Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12


Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]