Механика и молекулярная физика. Поступательное и вращательное движение твердого тела (90

ния, называются псевдовекторами или аксиальными векторами.

Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Отношение угла поворота к промежутку времени, за который

этот поворот произошел, называется угловой скоростью ϖ . Угловая скорость - векторная величина, равная первой производной угла пово- рота тела по времени:

Вектор ϖ направлен вдоль оси вращения по правилу правого

винта, то есть так же, как и вектор dϕ . Единица измерения угловой

При этом модуль векторного произведения, по определению, ра-

вен ϖR sin(ϖ R) , а направление совпадает с направлением поступа-

тельного движения правого винта при его вращении от ϖ к R .

Если ϖ = const, то вращение равномерное и его можно характе- ризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совер- шает один полный оборот, то есть поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени t=Т соответствует Δφ=2π, то ω= 2π/Т, откуда:

Т= 2π/ ω

Единица измерения периода – секунда (с).

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется часто-

11

той вращения n

n = 1/Т = ω/2π, откуда ω = 2πn

Единица измерения частоты – Герц (Гц) или с-1.

При неравномерном движении материальной точки по окружно- сти вместе с линейной изменяется и угловая. Поэтому можно ввести понятие углового ускорения. Отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называ-

ется угловым ускорением ε . Угловое ускорение – это векторная ве- личина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, прой- денного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v,

12

тангенциальное ускорение aτ , нормальное ускорение an ) и угловыми

величинами (угол поворота φ, угловая скорость ϖ , угловое ускорение

ε ) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности ( ε =

const)

где ω0 – начальная угловая скорость

Динамика поступательного движения

Динамика – это раздел механики, который изучает движение совместно с причинами, вызывающими или изменяющими это движе- ние. В основе динамики лежат три закона Исаака Ньютона, сформу- лированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщени- ем результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подверга-

ют не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного дви- жения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заста-

вит ее изменить это состояние. Первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Инерция – явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий. (Пример, при резком торможении автомобиля пассажир по инерции продолжает двигаться вперед с прежней скоростью).

Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют свою скорость. Следовательно, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от воздействия, но и от неко-

13

торого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой. Масса – физическая ве- личина, являющаяся одной из основных характеристик материи, опре- деляющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (грави- тационная масса) свойства. Единица измерения массы в системе СИ – килограмм [кг].

Отмеченное в законе инерции «воздействие других тел» (как причина, изменяющая состояние данного тела) получило общее на- звание силы, действующей на данное тело. Таким образом, сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого, тело либо приобретает ускорение, либо деформируется. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Второй закон Ньютона: Ускорение а , приобретаемое телом

под действием силы F , прямо пропорционально этой силе и обратно пропорционально массе и направлено в сторону действия силы.

Это есть основной закон динамики поступательного движения, который отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Второй закон Ньютона можно переписать в виде

Учитывая, что масса материальной точки в классической ме- ханике есть величина постоянная, в выражении 31 ее можно внести под знак производной:

14

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя 33 в 32, получим

Это выражение – более общая формулировка второго зако-

на Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе – уравнение движения материаль- ной точки.

Единица силы в СИ – ньютон (Н): 1 Н – сила, которая массе 1

кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы: 1 Н = 1 кг · 1 м/с2.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

тру кривизны). Используя выражения

Fn

Рис.8

15

сколько сил, то согласно принципу независимости действия сил, под

F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона (закон действия и противодейст-

вия): Два взаимодействующих тела действуют друг на друга с сила- ми равными по значению и противоположными по направлению

сила, действующая на второе тело со стороны первого Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют пара-

ми и являются силами одной природы. Третий закон Ньютона выпол- няется только в инерциальных системах отсчета.

Динамика вращательного движения

Для описания вращательного движения вводятся следующие динамические параметры: момент инерции, момент силы, момент им- пульса тела. Аналогами их в поступательном движении являются мас- са, сила, импульс тела.

Момент инерции.

Момент инерции материальной точки относительно какой-

либо оси называется произведение массы этой точки на квадрат рас- стояния от ее оси:

Эта величина скалярная. Единица измерения - кг·м2. В дина- мике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения; определяет величину

16

углового ускорения, получаемого телом под действием данного мо- мента силы.

Момент инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассмат-

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводит- ся к интегралу

J = ∫r 2 dm , где интегрирование производится по всему

объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки

скоординатами x, y, z.

Вкачестве примера найдем момент инерции однородного

Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r 2 dm (так как dr r , то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объем

2πrhdr . Если ρ – плотность материала, то

dJ = 2πhρr 3 dr . Тогда момент инерции сплошного цилиндра

17

момент инерции

J = 12 mR 2 .

Если известен момент инерции тела относительно оси, прохо- дящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции JC относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на

квадрат расстоянии а между осями: J = JC + ma2

Кинетическая энергия вращающегося тела

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая ско-

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

18

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела:

Tвр. = Jϖ 2 / 2

Выведенная формула Tвр. = Jϖ 2 / 2 справедлива для тела,

вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например, цилиндра скаты- вающегося с наклонной плоскости без скольжения, или движение ма- ятника Максвелла (лабораторная работа 109), энергия движения скла- дывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

центра масс тела; JC – момент инерции тела относительно оси, прохо- дящей через центр его масс; ω – угловая скорость тела.

Момент силы

силы, на силу F :

M = [r F ](42)

Рис.11

Здесь M - псевдовектор, его направление совпадает с направ-

19

лением поступательного движения правого винта при его вращении от

r к F .

r sin α = l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила

dA = F sinαrdϕ (43)

Учитывая M = Fr sin α = Fl , можем записать

подвижной оси. Таким образом, работа при вращении тела равна про- изведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличении его кинетиче- ской энергии:

20